數學分析技巧在高等代數教學中的一點應用

◆摘 要：高等代數處理的矩陣都是有限維的，因此比較容易養成學生離散性的思維。然而具體在矩陣教學聯系到二次型或者多項式的處理時我們一些時候可以用數學分析的極限技巧來處理。

◆關鍵詞：實對稱矩陣；二次型；正定；連續；上確界

一、引言

大學數學的教學過程中，數學分析與高等代數往往容易被看做兩個完全不同的學科來學習，高等代數中較少出現連續性的討論，本文將把多項式看做連續函數來處理高等代數中一個較為常見的問題，希望能讓學生看到對該問題更為清晰的刻畫。

二、極限技巧處理高等代數問題

本節我們主要將以例題的方式來極限的技巧在高等代數問題中的應用。我們首先回顧以下定義。

定義2.1：假設A是n階實對稱矩陣。如果對任意非零的n維實（列）向量X都有[XtAX>0]，則稱A是正定矩陣。

例2.1：假設A是n階實對稱矩陣。則存在足夠大的實數t使得tE+A為正定矩陣。

（從高等代數角度，我們首先可以得到實對稱矩陣正交相似于對角矩陣，其中對角上元素為矩陣的特征值，再根據tE+A與A的特征值的關系，只需取到足夠大的實數t使得tE+A的特征值均為正數即可。）以下我們從數學分析角度給出一個證明。

證明：我們在n維實（列）向量空間[Rn]中定義向量長度如下：

取集合B=[X∈Rn：X≤1]。易知B為[Rn]中的有界閉集。我們定義[Rn]上的連續函數[f]：[Rn→R]滿足[fX=XtAX]。故[f]在B上有下確界。取M為[f]在B的下確界并取t[>1-m]，可得對任意[X∈B]有：

特別地，對任意非零的[X∈Rn]，我們有：

因此tE+A為正定矩陣，得證。

參考文獻

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].高等教育出版社，2007.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析上下冊[M].高等教育出版社，2000.

作者簡介

錢文華（1986—），男，民族：漢族；籍貫：安徽安慶；職稱：講師；學歷：博士；研究方向：算子代數。