淺談圓錐體積的解析法求解

孫啟晗　聶秀榮

摘 要：文章從解析法的角度提出了圓錐體積的求解方法。圓柱和圓錐可以分別切割為無數(shù)個相似的三棱柱和三棱 錐，文章將“同底等高”的圓柱體積是圓錐體積的3倍問題轉(zhuǎn)化為“同底等高”的三棱柱體積是三棱錐體積的3倍問題，通過切割三棱柱的方法得到圓錐體的體積公式。

關(guān)鍵詞：圓錐體積;三棱錐體積;倒水法

一、問題描述

小學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐體積公式時經(jīng)常產(chǎn)生這樣的疑問，“圓柱是由矩形以其中一條邊為軸，順時針或者逆時針旋轉(zhuǎn)360度得到的，而圓錐是由此矩形沿對角線切開的直角三角形以相同邊為軸，順時針或者逆時針旋轉(zhuǎn)360度得到的，該直角三角形面積是矩形面積的二分之一，那么該圓錐的體積為什么是圓柱體積的三分之一而不是二分之一呢？”。教師的回答往往是“倒水法”或者“倒沙法”，然而此類方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。更進(jìn)一步的追問將會得到“微積分”的答案，而在小學(xué)生的眼中，“微積分”又是那樣遙不可及。因此，一種易懂的圓錐體積解析證明方法亟待提出。

二、圓錐體積解析法求解

如下圖所示，我們可以將圓柱切割成無數(shù)個相同的近似三棱柱，再將同底等高的圓錐切割成相同個數(shù)的近似三棱錐。因此，任意選取一個三棱柱和三棱錐，兩者之間同底等高，于是我們將圓柱體積是其同底等高圓錐體積的三倍問題轉(zhuǎn)化為三棱柱體積是三棱錐體積的三倍問題。

更進(jìn)一步，我們將得到的三棱柱命名為三棱柱ABCDEF，同底等高的三棱錐命名為三棱錐BDEF，我們只需證明三棱柱ABCDEF的體積是三棱錐BDEF的體積的三倍即可。

第一，三棱錐BDEF和三棱錐ABCF都是以三角形BFE為底，由于BE是矩形BCDE的對角線，所以點(diǎn)C到BE的垂線段距離等于點(diǎn)D到BE的垂線段距離，因此三棱錐BDEF和三棱錐ABCF等高且同底，所以三棱錐BDEF和三棱錐ABCF的體積是相等的。

第二，三棱錐ABCF和三棱錐BCEF都是以三角形BCF為底，因?yàn)镃E是矩形ACEF的對角線，所以點(diǎn)A到CF的垂線段距離和點(diǎn)E到CF的垂線段距離相同，因此三棱錐ABCF和三棱錐BCEF等高同底，所以三棱錐ABCF和三棱錐BCFE的體積相等，因?yàn)槿忮FBDEF和三棱錐ABCF的體積相等，三棱錐ABCF和三棱錐BCEF的體積相等，所以三棱錐BDFE體積等于三棱錐BCEF的體積等于三棱錐ABCF的體積，即三棱柱ABCDEF的體積是三棱錐BDEF體積的三倍。也就是同底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍。

綜上所述，同底等高的圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

三、 圓錐體積解析法與倒水法對比

圓錐體積解析法與倒水法分別從公式推導(dǎo)和動手操作兩個角度給出了圓錐體積和圓柱體積的關(guān)系。本文內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的面積、長方體和棱柱體的體積基礎(chǔ)上接觸到的新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。六年級的學(xué)生不僅具備了較強(qiáng)的動手操作能力，也具備了一定的抽象思維和空間想象能力，因此采用“倒水法”等動手實(shí)驗(yàn)和解析法等抽象推導(dǎo)相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式將是一個最佳的選項。

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作者簡介：孫啟晗，女，遼寧沈陽人，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)研究;

聶秀榮（1970—），女，遼寧沈陽人，本科，研究方向：中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究。