基于奇異值分解的自混合干涉信號降噪方法

郭晴 葉會英

摘 ?要： 構建光反饋自混合干涉理論模型，通過Matlab仿真分析驗證理論模型的正確性。利用奇異值分解的方法確定Hankle矩陣，對矩陣進行奇異值分解，構造逼近矩陣對含噪自混合干涉信號進行降噪處理。在適度反饋機制下，選取不同的光反饋水平因子[C]值進行仿真。對降噪前后信號波形進行仿真分析，實驗結果表明奇異值分解改善了信號的光滑性，起到了降噪的效果;通過對降噪前后所測位移精度的對比，精度的提高表明奇異值分解的降噪方法在自混合干涉信號噪聲處理方面的有效性。

關鍵詞： 光反饋; 自混合干涉; 奇異值分解; 降噪; OFSMI信號; 條紋計數法

中圖分類號： TN247?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2019）09?0026?05

Singular value decomposition based denoising method of self?mixing interference signal

GUO Qing1， 2， YE Huiying1

（1. College of Information Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China;

2. College of Information and Electronic Engineering， Shangqiu Institute of Technology， Shangqiu 476000， China）

Abstract： The theoretical model of optical feedback self?mixing interference （OFSMI） system is constructed， and its correctness is verified with Matlab simulation analysis. The method based on singular value decomposition （SVD） is used to denoise the self?mixing interference signal with noise by means of determination of the Hankle matrix， SVD of matrix and construction of approximation matrix. By means of moderate feedback mechanism， the different optical feedback level factor [C ]values are selected for simulation， and the simulation analysis is carried out for the signal waveforms before and after denoising. The experimental results show that the SVD can improve the smoothness of the signal， and denoise the signal; in comparison with the measured displacement accuracy before and after signal denoising， the effectiveness of SVD?based denoising method is verified by accuracy improvement in the aspect of noise processing of self?mixing interference signal.

Keywords： optical feedback; self?mixing interference; singular value decomposition; denoising; OFSMI signal; fringe counting method

0 ?引 ?言

激光器輸出的光在傳播途中由于外部物體的阻擋，會出現反射或散射現象，導致一部分光再次折回到激光器的內腔，這部分光與激光器腔內的光相混合，影響激光器輸出功率、頻率，這種現象稱為光反饋自混合干涉（Optical Feedback Self?Mixing Interference，OFSMI），產生的信號稱為OFSMI信號。弱反饋機制下，OFSMI信號呈現類正弦波形狀;適度反饋機制下，OFSMI信號為類鋸齒波形狀，波形向哪個方向傾斜是由目標物體向哪個方向運動決定的;強反饋機制下，半導體激光器處在不穩定的工作狀態，類鋸齒波出現變形，一些干涉條紋消失不見。

OFSMI信號帶有外部振動物體以及激光器的信息，因而可以利用這種現象測量物體的振動、位移[1]、距離[2]、速度[3]、加速度[4]以及激光器線寬展寬因數[5]。OFSMI實驗結構簡單、緊湊性強、準直性高、而且成本很低，易于做成小型化產品，方便攜帶，所以在工業方面[6]的應用越來越多。OFSMI信號受到外部環境干擾常帶有噪聲，本文采用奇異值分解的降噪方法對OFSMI信號進行處理，經過Matlab仿真分析驗證奇異值分解降噪方法在OFSMI信號噪聲處理方面的有效性。

1 ?自混合干涉基本理論

OFSMI經典測量模型[7]如下：

式（1）～式（3）中參數的定義如表1所示。其中，[C]是光反饋水平因子，是反映外部光反饋強弱程度的物理量[8]。根據[C]值大小，把OFSMI系統分成3類不同的反饋機制：當[C<1]時，為弱反饋機制;當1≤[C]<4.6 時，為適度反饋機制;當4.6≤[C]<7.8 時，為強反饋機制。

表1 ?參數定義

有光反饋時激光器外腔的相位，[φF（n）=2πvFτ] [τ] [τ=2Lc]，[L]為激光外腔長度，c為光速 [v0] 激光器無光反饋時的發射功率 [vF] 激光器有光反饋時的發射功率 [g（n）] 歸一化自混合干涉信號 [P0] 無光反饋時激光器的輻射功率 [P（n）] 有光反饋時激光器的輻射功率 [m] 調制系數，通常取[m]=10-3 [C] 光反饋水平因子 [α] 激光器的線寬展寬因子 ]

依據理論模型，設[α]=5時，仿真出3種反饋機制下不同反饋因子[C]的自混合干涉信號的波形，如圖1所示。

圖1 ?不同反饋因子[C]下OFSMI信號

從圖1中可以觀察到，弱反饋機制下，自混合干涉信號呈現類正弦波形狀，這與傳統干涉信號相似，如圖1a）所示。適度反饋機制下，自混合干涉信號為類鋸齒波形狀，波形向哪個方向傾斜是由目標物體向哪個方向運動決定的，如圖1b）所示。強反饋機制下，半導體激光器處在不穩定的工作狀態，類鋸齒波出現變形，一些干涉條紋消失不見，如圖1c）所示。可見，圖1給出的不同反饋機制下的光學輸出信號的模擬波形與以往的理論分析結果相吻合，表明仿真結果是正確的。

2 ?基于奇異值分解的自混合干涉信號降噪算法分析

2.1 ?奇異值分解的算法步驟

假設測量序列信號為[X={x1，x2，…，xN}]，可進一步表示為[Xk=Sk+Wk]，[k=1，2，…，N，Sk]表示真實信號，[Wk]表示噪聲信號，[N]為數據長度。

奇異值分解的降噪算法的詳細步驟如下：

1） 將上述測量數據構造為[m×n]階Hankel矩陣的步驟為：

① 選定重構矩陣的維數[n];

② 從原序列中抽取[x1，x2，…，xn]作為矩陣的首行;

③ 向后延遲一個采樣間隔，抽取[x2，x3，…，xn+1]作為矩陣的第二行;

④ 以此類推，直到第[m]行的最后一個元素是[xN]，即矩陣的最后一行。構造的矩陣如下所示：

式中：[N=m+n-1];[S]是真實信號構成的[m×n]維矩陣;[W]是噪聲信號構成的[m×n]維矩陣。在確定矩陣行數和列數時，依據原則[9]為：若[N]為偶數，構造的Hankel矩陣的行數取[m=N2+1]，列數取[m=N2];若[N]為奇數，構造的Hankel矩陣的行列數均取[m=（N+1）2]。

下面分別選取偶數采樣點[N=]2 048和奇數采樣點[N=]2 049進行信號重構仿真，對上面的結論進行驗證。如圖2，圖3所示，其中，[m]是行數，[n]是列數。對于偶數采樣點，當矩陣行數取[m=N2+1]，列數取[m=N2]，如[N=]2 048時對應行數1 025，列數1 024。從圖2仿真分析可以看出，在同一采樣點時，此時矩陣重構信號比其他的光滑。

對于不同的奇數采樣點，當矩陣行、列數取[m=（N+1）2]，如[N=]2 049時對應行數1 025，列數1 025。從圖3仿真分析可以看出，在同一采樣點時，此時重構信號比其他的光滑。

圖2 ?[N=]2 048不同矩陣行列重構信號

圖3 ?[N=]2 049不同矩陣行列重構信號

2） 對[B]進行奇異值分解，則[B=UΣVH]。其中，[U]和[V]分別為[m×m]維和[n×n]維的酉陣，分別稱為[B]左奇異陣和右奇異陣;上標[H]表示矩陣的共軛轉置，[Σ]是一個[m×n]維對角陣，其主對角線上的元素[σi]稱為[B]的非零奇異值，且以非增順序排列，即[σ1]≥[σ2]≥…≥[σi]。

3） 確定奇異值對角陣[Σ]的有效秩，即前[p]個最大的奇異值，然后重構[B]的逼近矩陣[Yp]，即不受噪聲干擾的信號分量組成的矩陣。

式中：[Up]是前[p]個較大奇異值對應的左奇異向量;[Vp]是前[p]個較大奇異值對應的右奇異向量;[Σp]為前[p]個較大奇異值對應的對角陣：

4） 將得到的矩陣[Yp]中不受噪聲干擾的信號分量按照Hankel矩陣的形式構造矩陣：

即對矩陣[Yp]中反對角線上的元素求平均得到真實信號的一種估計，即降噪后的信號。

綜上所述，基于SVD的自混合干涉信號的降噪算法流程如圖4所示。

圖4 ?SVD的降噪算法流程圖

2.2 ?奇異值分解在OFSMI信號的仿真分析

假設外部物體的運動規律為[x0（t）=am0+][am?sin（2πft）]，其中，[am0=30]，[am=19]，[f=ftfs]，[ft=195]，[fs=200 ?000]，[n=2 ?000]。

在適度反饋下，固定線寬展寬因子[α=5]，水平因子[C=2.8]，依據自混合干涉理論模型并對其加入高斯白噪聲，其信噪比為10 dB，對應的時域頻域如圖5所示。

圖5 ?含噪信號時域頻域圖

從圖5中可以看到，原始信號的時域特征明顯，頻域非常干凈;含噪信號時域特征被噪聲淹沒，而頻域中信號比較集中，噪聲均勻地分布在頻域中。

經過奇異值分解進行降噪之后的信號波形時域頻域如圖6所示。將圖5～圖7進行對比分析，從直觀圖中可以看出，降噪后時域信號的毛刺變少了，波形變得平滑，頻域圖中噪聲部分的含量減小了，表明起到了降噪的效果。

圖6 ?降噪后信號時域頻域圖

圖7 ?降噪前后誤差信號波形

取采樣點[n=]2 000，故重構Hankel矩陣的行數[m]取1 001，列數[n]取1 000。對構造的矩陣進行奇異值分解得到以奇異值為對角線的對角陣，通過實驗調試選取前若干個較大的奇異值構造成Hankel矩陣，對反對角線上的元素求平均得到真實信號的估計。在適度反饋下，選取[α=4]，[C=1.5];[α=3.5]，[C=2.5]對含噪自混合干涉信號的降噪處理仿真如圖8，圖9所示。

從圖中可以看出：

1） 對適度反饋下的含噪OFSMI信號進行奇異值分解降噪處理后得到的OFSMI信號的高頻部分有了較大改善，波形變得較為平滑，表明噪聲在信號中的含量有所減少，基于奇異值分解的降噪方法在含噪OFSMI信號的噪聲處理方面起到了一定的作用，對含噪OFSMI信號有一定的濾波效果。

圖8 ?[α]=4，[C=]1.5降噪前后信號波形圖

圖9 ?[α]=3.5， [C=]2.5降噪前后信號波形圖

2） 奇異值分解降噪處理后的信號與降噪前的信號波形形狀相吻合，保留了有用信號的特征，而且不存在偏移現象。

3 ?奇異值分解降噪方法在位移測量中的實驗驗證

為了驗證奇異值分解降噪方法在位移測量中的有效性，本文參照條紋計數法精確測量外腔振動位移的方法，如表2所示。

表2 ?條紋計數法對奇異值分解降噪前后的位移測量結果

選取10組信號進行仿真分析，用條紋計數法測出無降噪時各信號的相對位移，計算出相對誤差;再計算出利用奇異值分解降噪后信號的相對位移，得出相對誤差。假定[C=2.5]，[α=]3，疊加10 dB的噪聲，進行位移測量，測量相對誤差平均為0.47%左右;在相同條件下，先利用奇異值分解的降噪方法對OFSMI信號進行降噪處理，之后利用條紋計數法精確測量外腔振動位移的方法進行位移測量，測量相對誤差平均為0.22%左右。

從表2中可以看出，降噪后的相對誤差是0.22%左右，降噪前是0.47%左右，相對誤差有所減小，進而達到了提高測量精度的目的。進一步從側面說明奇異值分解降噪的有效性。

4 ?結 ?語

本文在自混合干涉的理論基礎上利用Matlab仿真出自混合干涉信號，并通過奇異值分解的降噪方法對含噪自混合干涉信號進行降噪，經過Matlab仿真分析可知，奇異值分解的降噪方法實現了含噪OFSMI信號的降噪，達到了抑制噪聲、重構有用信號的目的。

參考文獻

[1] 葉會英，朱君瑤，王珍雪.基于條紋丟失補償的自混合干涉位移測量算法[J].鄭州大學學報（工學版），2014，35（6）：56?59.

YE Huiying， ZHU Junyao， WANG Zhenxue. A self?mixing interference displacement measurement algorithm with fringe?loss phenomenon and compensation [J]. Journal of Zhengzhou University （Engineering Science）， 2014， 35（6）： 56?59.

[2] WANG Bingling， PANG Shutao， ZHANG Xiaoling， et al. Levels of polybrominated diphenyl ethers in settled house dust from urban dwellings with resident preschool?aged children in Nanjing， China [J]. Archives of environmental contamination and toxicology， 2015， 68（1）： 9?19.

[3] MARIANGELA G， MARIUS D， LUKAS D， et al. Two?state semiconductor laser self?mixing velocimetry exploiting coupled quantum?dot emission?states： experiment， simulation and theory [J]. Optics express， 2014， 22（19）： 23402?23414.

[4] 楊穎，李醒飛，李洪宇，等.基于激光自混合效應的加速度傳感器[J].光學學報，2013，33（2）：1?7.

YANG Ying， LI Xingfei， LI Hongyu， et al. Acceleration sensor based on laser self?mixing interference [J]. Acta optica Sinica， 2013， 33（2）： 1?7.

[5] 張玉燕，胡偉，監雄，等.一種自混合干涉位移測量系統中參數[C]的測量方法[J].光電子·激光，2013，24（6）：1150?1157.

ZHANG Yuyan， HU Wei， JIAN Xiong， et al. A measurement method of parameter [C] in self?mixing interference displacement measuring system [J]. Journal of optoelectronics·laser， 2013， 24（6）： 1150?1157.

[6] FATHI M T， DONATI S. Thickness measurement of transpa?rent plates by a self?mixing interferometer [J]. Optical letters， 2010， 35（11）： 1844?1846.

[7] ZABIT U， BONY F， BOSCH T， et al. A self?mixing displacement sensor with fringe?loss compensation for harmonic vibrations [J]. IEEE photonics technology letters， 2010， 22（3）： 410?412.

[8] ACKET G A， LENSTRA D， DENBOEF A J， et al. The in?fluence of feedback intensity on longitudinal mode properties and optical noise in index?guided semiconductor?lasers [J]. IEEE journal of quantum electronics， 1984， 20（10）： 1163?1169.

[9] 趙學智，葉邦彥，陳統堅.基于小波?奇異值分解差分譜的弱故障特征提取方法[J].機械工程學報，2012，48（7）：37?48.

ZHAO Xuezhi， YE Bangyan， CHEN Tongjian. Extraction method of faint fault feature based on wavelet?SVD difference spectrum [J]. Journal of mechanical engineering， 2012， 48（7）： 37?48.