改進(jìn)的正弦混沌系統(tǒng)及性能分析?

高曉蕓 吳成茂 田小平

（西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710121）

1 引言

混沌行為廣泛存在于許多自然和非自然現(xiàn)象中，如香煙燃燒的運(yùn)動(dòng)，海水的潮汐運(yùn)動(dòng)，天氣和氣候［1］等，混沌理論科學(xué)研究促進(jìn)了人們對(duì)自然的認(rèn)識(shí)。混沌是一種非線性現(xiàn)象，是確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的類似隨機(jī)性的行為，確定但又難以預(yù)測(cè)［2］。混沌是指在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性、類似隨機(jī)的過程，這種過程既非周期又非收斂，并且對(duì)初值具有極其敏感的依賴性［3～6］。正是因?yàn)檫@些重要的性質(zhì)，混沌理論被廣泛應(yīng)用在不同的科學(xué)和工程領(lǐng)域［7～9］，尤其在密碼學(xué)和通信［10～12］領(lǐng)域。混沌系統(tǒng)的遍歷性、偽隨機(jī)性、有界性、對(duì)初始值高度敏感性，使混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列很適合于信息加密，具有良好的擴(kuò)散和混亂效果。因此，如何產(chǎn)生一種具有優(yōu)良混沌性能的混沌系統(tǒng)顯得尤為重要。

近年來也不斷有新的混沌系統(tǒng)被提出，其中文獻(xiàn)［13］提出了一種利用已有的混沌映射獲取新混沌映射的輪切換系統(tǒng)，但生成的新混沌映射的混沌性能有限，不具有魯棒性［14］。文獻(xiàn)［15］引入了一個(gè)參數(shù)控制混沌系統(tǒng)來生成新的混沌映射，生成的混沌映射一些具有良好的魯棒性，而有的則混沌性能較差，不具穩(wěn)定性［16］。文獻(xiàn)［17］提出了一個(gè)新的一維混沌系統(tǒng)，可以生成具有魯棒性的新混沌映射，但是由于包含模塊化操作，故新混沌映射的性能可能無法在理論上進(jìn)行分析［18］。

針對(duì)基于正弦變換的混沌系統(tǒng)（sine-transform-based chaotic system，STBCS）構(gòu) 造 出 來 的Tent-Sine混沌映射的魯棒性、復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性低等不足，文章提出了Tent-Sine混沌的延時(shí)混沌映射。首先是對(duì)Tent-Sine混沌映射執(zhí)行延時(shí)一到八個(gè)單位的延時(shí)操作，再通過Matlab仿真，對(duì)各個(gè)延時(shí)Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵、Kolmogorov熵測(cè)試與分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法的有效性。

2 傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)

Sine映射、Tent映射是兩種常見的經(jīng)典混沌系統(tǒng)，它們將被用作種子映射來生成新的混沌映射。

Sine混沌映射是由正弦函數(shù)派生出來的正弦映射，它是將[0，1/π]范圍內(nèi)的輸入角度轉(zhuǎn)換到一定范圍內(nèi)輸出。正弦映射的數(shù)學(xué)模型定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，S(xi)表示Sine映射，r是控制參數(shù)。其分叉圖如圖1（a）所示。

Tent映射根據(jù)其范圍拉伸或折疊輸入變量，若輸入小于0.5，則延長(zhǎng)輸入；否則折疊輸入。Tent映射定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，T(xi)表示Tent映射，r是控制參數(shù)。其分叉圖如圖1（b）所示。

分叉現(xiàn)象是指動(dòng)力系統(tǒng)的定性行為隨著參數(shù)的改變而發(fā)生質(zhì)的變化，用于描述動(dòng)力系統(tǒng)的輸出范圍隨其參數(shù)的變化情況。

3 正弦變換混沌映射系統(tǒng)

3.1 正弦變換混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法

正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造的原理示意圖如圖2所示。

圖2 正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造原理圖

其中 f(a，xi)和 g(b，xi)分別是具有控制參數(shù)a和b的兩個(gè)種子映射，該組合是兩個(gè)經(jīng)典種子混沌映射線性加權(quán)的輸出，而正弦變換對(duì)組合的結(jié)果執(zhí)行非線性變換。在每次迭代的過程中，輸入xi被同時(shí)反饋到 f(a，xi)和 g(b，xi)中，然后對(duì)f(a，xi)和g(b，xi)的組合輸出進(jìn)行正弦變換。

設(shè)N(xi)表示STBCS，其定義如下：

任何現(xiàn)有一維混沌映射都可用作STBCS的種子映射。用戶可將種子映射 f(a，xi)和g(b，xi)設(shè)置為相同或不同的混沌映射。

1）當(dāng) f(a，xi)和 g(b，xi)是相同的一維混沌映射時(shí)，STBCS可表示為

或

在這種情況下，兩個(gè)不同控制參數(shù)混沌映射的輸出線性組合，而并非線性變換以獲得更復(fù)雜的混沌行為，故STBCS的混沌性降低。

2）當(dāng)所選 f(a，xi)和 g(b，xi)是兩個(gè)不同的一維混沌映射時(shí)，式（3）中定義的STBCS具有交換性。使用不同的 f(a，xi)和g(b，xi)可生成大量新的混沌映射，這些新的混沌映射和它們對(duì)應(yīng)的種子混沌映射是完全不同的，且總是具有更復(fù)雜的混沌行為。

此外，圖2中STBCS的結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步擴(kuò)展為三個(gè)或更多個(gè)種子映射。如圖3所示。

圖3 多種子映射的混沌系統(tǒng)構(gòu)造原理

圖3 為具有N個(gè)種子映射的STBCS擴(kuò)展原理示意圖。每一次迭代會(huì)將輸入xi同時(shí)反饋到N個(gè)種子映射中，即 f1(a1，xi)，f2(a2，xi)，…，fN(aN，xi)，并且對(duì)所有種子映射的輸出進(jìn)行正弦變換，這為用戶選擇種子混沌映射提供了靈活性，生成的混沌映射具有更復(fù)雜的混沌行為和參數(shù)設(shè)置，因此它們具有更好的混沌性能，并產(chǎn)生更多的隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的輸出序列。然而利用更多的種子映射可能會(huì)帶來一些負(fù)面影響，比如時(shí)間延遲，實(shí)施困難和分析復(fù)雜等問題。

3.2 基于正弦變換混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌映射方法的一個(gè)例子

本節(jié)將介紹一個(gè)現(xiàn)有的一維種子混沌映射生成的混沌映射的例子。下面將以Tent-Sine（TS）映射為例對(duì)基于正弦變換的混沌系統(tǒng)進(jìn)行說明。

定義：當(dāng)選擇種子映射 f(a，xi)為Tent映射，g(b，xi)為Sine映射時(shí)，可以生一個(gè)稱為Tent-Sine（TS）的新混沌映射，并將其控制參數(shù)a、b分別設(shè)置為r和1-r，則TS混沌映射可定義如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi)。

3.3 改進(jìn)的延時(shí)TS混沌的新型映射

延時(shí)TS混沌映射的表達(dá)式如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi-m)，m=1，2，…，8 ，m 表示TS混沌映射延時(shí)的單位數(shù)，如當(dāng)m=1時(shí)表示TS混沌映射延時(shí)一個(gè)單位。

為了便于理解，下面也給出種子映射Tent映射、Sine映射的延時(shí)表達(dá)式：

1）延時(shí)Tent映射的表達(dá)式：

2）延時(shí)Sine映射的表達(dá)式：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及性能分析

基于正弦變換混沌系統(tǒng)生成的Tent-Sine的延時(shí)混沌映射具有更好混沌性能。為了證明該性質(zhì)，本節(jié)評(píng)估了TS延時(shí)混沌映射，并將原始未延時(shí)的、延時(shí)一到八個(gè)單位的新混沌映射進(jìn)行比較和分析。具體從以下三個(gè)方面展開：分叉圖、樣本熵（Sample entropy，SE）［19］和 Kolmogorov熵（Kolmogorov entropy，KE）［20］。

4.1 分叉圖—混沌性和魯棒性分析

分叉圖用于描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出范圍隨參數(shù)的變化情況。如圖4（a）為原始未延時(shí)TS映射的分叉圖，圖4（b）～（i）分別為TS映射延時(shí)一到八個(gè)單位時(shí)，其輸出范圍隨控制參數(shù)r變化的分叉圖。

從圖中可以看出，未延時(shí)的TS混沌映射在2＜r＜4時(shí)不具備魯棒性的混沌行為，而經(jīng)過延時(shí)的TS混沌映射在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)都具有良好的魯棒性和混沌性。

4.2 樣本熵（SE）—復(fù)雜性分析

樣本熵（SE）來源于近似熵，它是時(shí)間序列復(fù)雜度的度量，可用來描述由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生序列的相似性。樣本熵的值越大，其規(guī)律程度越低，即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)越復(fù)雜。如圖5所示，對(duì)未延時(shí)TS混沌映射、延時(shí)一到八個(gè)單位的TS混沌映射的SE曲線圖作對(duì)比。圖5（a）為原始未延時(shí)TS映射的SE曲線圖，圖5（b）～（i）分別為TS混沌映射延時(shí)一到八個(gè)單位的SE曲線圖。

從圖中可觀察到，未延時(shí)的TS映射，當(dāng)r≈0.04時(shí) ，SE=0；當(dāng) 0.04＜r≤0.92時(shí) ，SE＜1；當(dāng)0.92＜r≤1時(shí)，SE＞1。TS映射延時(shí)一個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤1時(shí)，SE＜0.5。TS映射延時(shí)兩個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.18時(shí)，SE≤1；當(dāng) 0.18＜r≤1時(shí)，SE＞1。TS映射延時(shí)三個(gè)單位時(shí)，當(dāng) 0＜r≤0.1且0.2＜r≤1時(shí)，0.5＜SE≤1；當(dāng) 0.1≤r＜0.2時(shí)，SE＞1。TS映射 延 時(shí) 四 個(gè) 單 位 時(shí) ，當(dāng) 0＜r≤0.2時(shí) ，0.6＜SE＜0.8；當(dāng) 0.2＜r≤1時(shí)，SE≤0.6。TS映射延時(shí)五個(gè)單位時(shí)，當(dāng) 0＜r≤0.2時(shí)，0.5＜SE＜0.6；當(dāng) 0.2＜r≤1時(shí)，0.3＜SE＜0.5。TS映射延時(shí)六個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤1時(shí)，0.4＜SE＜0.5。TS映射延時(shí)七個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤1時(shí)，0.3＜SE＜0.4。TS映射延時(shí)八個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤1時(shí)，0.2＜SE＜0.3。從以上分析來看，當(dāng)TS映射延時(shí)兩個(gè)單位時(shí)，其SE值最大、大于1的范圍更廣且相對(duì)將穩(wěn)定，這就意味著提出的延時(shí)兩個(gè)單位的TS映射比原始未延時(shí)的、延時(shí)其他單位的TS映射規(guī)律程度低，即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)更具復(fù)雜性。

圖4 TS映射的分叉圖

圖5 TS映射的SE曲線圖

4.3 Kolmogorov熵—不可預(yù)測(cè)性分析

KE是一種度量熵，它為有限對(duì)象的隨機(jī)性提供了數(shù)學(xué)解釋。它可用于使用其先前t次輸出軌跡需要多少額外信息去預(yù)測(cè)第（t+1）次輸出。確定的KE意味著需要額外的信息來預(yù)測(cè)軌跡，KE越大表示所需的信息越多。因此，具有正KE值的動(dòng)力系統(tǒng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，而更大的KE意味著更好的不可預(yù)測(cè)性。如圖6對(duì)由STBCS生成的原始未延時(shí)的TS混沌映射、延時(shí)一到八個(gè)單位的TS混沌映射的KE曲線圖作對(duì)比。圖6（a）為原始未延時(shí)的TS混沌映射的KE曲線圖，圖6（b）～（i）分別為TS混沌映射延時(shí)一到八個(gè)單位的KE曲線圖。

圖6 TS映射的KE曲線圖

從圖中可以看出，未延時(shí)的TS映射，當(dāng)0＜r≤0.04時(shí)，KE=0；當(dāng)0.04＜r≤0.8時(shí)，KE＜1；當(dāng)0.8＜r≤1時(shí)，KE＞1。TS映射延時(shí)一個(gè)單位時(shí)，當(dāng) 0＜r≤0.8 時(shí) ，KE＜0.5 ；當(dāng) 0.8＜r≤1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.7。TS映射延時(shí)兩個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.22時(shí)，0.2＜KE＜0.8；當(dāng) 0.22＜r≤1時(shí)，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時(shí)三個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.8 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時(shí)四個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.7 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時(shí)五個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.7 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時(shí)六個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.6 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.6＜KE＜0.7；TS映 射 延 時(shí) 七 個(gè) 單 位 時(shí) ，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.4＜KE＜0.5 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.5＜KE＜0.6。TS映射延時(shí)八個(gè)單位時(shí)，當(dāng)0＜r≤0.1 時(shí) ，0.3＜KE＜0.4 ；當(dāng) 0.1＜r≤1 時(shí) ，0.4＜KE＜0.5。從以上分析來看，當(dāng)TS映射延時(shí)兩個(gè)單位、三個(gè)單位時(shí)，其KE值較未延時(shí)穩(wěn)定，且相對(duì)延時(shí)其他單位的TS映射KE值更大。故延時(shí)兩個(gè)或三個(gè)單位的TS映射具有更好的不可預(yù)測(cè)性，其混沌性能更優(yōu)。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于正弦變換混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的Tent-Sine混沌映射的延時(shí)混沌映射。它首先是對(duì)現(xiàn)有的種子映射Tent映射、Sine映射的輸出進(jìn)行線性加權(quán)組合，其次對(duì)組合的輸出結(jié)果進(jìn)行正弦函數(shù)變換，產(chǎn)生出Tent-Sine混沌映射，再對(duì)產(chǎn)生的Tent-Sine混沌映射分別進(jìn)行一到八個(gè)單位的延時(shí)處理，得到延時(shí)后的新混沌映射，最后通過Matlab軟件仿真出各個(gè)延時(shí)的Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵曲線和Kolmogorov熵曲線，并對(duì)它們進(jìn)行一系列的測(cè)試、分析和對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文章中提出的延時(shí)Tent-Sine混沌映射比未延時(shí)的Tent-Sine混沌映射有更大的混沌范圍，延時(shí)兩個(gè)單位的Tent-Sine混沌映射樣本熵的值大于1的范圍比原始未延時(shí)的、延時(shí)其他單位的映射均有所擴(kuò)大，延時(shí)兩個(gè)和三個(gè)單位的Tent-Sine混沌映射其Kolmogorov熵的值更具穩(wěn)定性。延時(shí)Tent-Sine混沌映射更具魯棒性，復(fù)雜性更高，具有更好的不可預(yù)測(cè)性。