成都黏土三維非定常分數階蠕變模型

鄧 稀

(四川省建筑科學研究院， 四川成都 610081)

黏土是一種蠕變性質顯著的巖土材料[1-3]，也是學術界的研究熱點。黏土蠕變性質研究的重難點是構建一個物理意義明確、參數較少、形式較簡單、適用性較強、對工程具有指導作用的、可以全面反映黏土力學特性和蠕變全過程的本構模型[4-6]。黏土蠕變模型理論主要有流變理論、老化理論、硬化理論、過速率理論等，蠕變模型[7-10]主要有元件模型、經驗模型、內變量模型等。

目前，研究較多的是元件蠕變模型，主要描述應變、應力及時間的線性關系。但是根據實際工程，黏土蠕變具有顯著的非線性特性，肖宏彬等[11-13]通過研究非飽和膨脹土的流變特性，表明土體在低應力條件下，應變隨著時間的發展表現出線性性質；在高應力條件下，應變表現出顯著的非線性性質，并通過經驗公式構建了相應的非線性蠕變模型。齊亞靜等[14]在西元模型的基礎上，建立了應變觸發式非線性黏壺，并將其串聯到西元模型中，構建了巖石的三維蠕變本構模型。劉開云等[15]通過引入改進的應變觸發非線性黏壺元件，并將其串聯到Bingham模型中，推導了三維非線性黏彈塑性蠕變本構模型，并討論了模型參數的非定常性，通過擬合分析發現模型擬合效果較好。

根據以上分析，本文通過對成都御龍山黏土的三軸蠕變試驗，分析成都黏土的蠕變性質；并根據試驗結果，結合元件模型理論和分數階微積分理論，構建分數階五元件蠕變模型；同時，通過引入相應地衰減函數描述黏土彈性模量和黏滯系數的非定常性；最后通過模型的擬合驗證分析，表明了本文所構建蠕變模型的科學合理性和先進性。

1 黏土蠕變試驗

1.1 試驗儀器

本文采用CSS-2901TS土體三軸流變試驗機(圖1)，儀器參數如表1所示。

1.2 試驗方案

黏土試樣取自成都御龍山信和基坑項目，土樣顏色呈黃色，夾雜有少量灰白色黏土(圖2)。黏土基本力學性質如表2所示。

圖1 CSS-2901TS土體三軸流變試驗機

參數項目參數值或范圍垂直最大荷載/kN10圍壓控制范圍/MPa0～2空隙水壓力范圍/MPa0～2軸向變形測量范圍/mm0～20試樣規格/mm?=39.1×80、?=50×100、?=61.8×125

圖2 成都御龍山黏土

含水率/%密度/(g·cm-3)比重塑限/%液限/%24.01.572.7123.146.4

本次試驗采用重塑樣，試樣高度80 mm，直徑φ39.1 mm，在真空條件下飽和2 d。在圍壓為200 kPa下進行三軸蠕變試驗，加壓速率為0.1 kPa/min。固結完成后進行加載。蠕變加載級數為四級，每級加載偏應力(σ1-σ3)為：70 kPa、140 kPa、210 kPa和280 kPa，加載速率為1 kPa/min，試驗曲線見圖3。

圖3 蠕變試驗曲線

1.3 試驗結果

由圖3可知：在低應力條件下，黏土應變隨著時間的發展逐漸收斂，蠕變曲線也逐漸與時間軸平行，此時黏土表現出衰減蠕變的特征；在中等應力條件下，應變隨著時間的發展以某一穩定的速率持續增加，此時黏土表現出穩態蠕變的特征；在高應力條件下，黏土隨時間的發展，蠕變速率顯著增大，土體結構迅速破壞，表現出加速蠕變的特征。

2 三維蠕變模型

2.1 蠕變模型確定

為深入描述成都黏土各階段的蠕變特性，本文在元件理論的基礎上，引入分數階微積分理論[16]，得出分數階黏滯元件，描述加速蠕變階段；對參數的非定常性進行討論，以此描述黏土在蠕變過程中土體結構的變化特性。

分數階微積分可以描述任意階次的微積分，具有物理意義明確、形式簡單、理論依據充分等優點[16]。根據Riemann-Liouville理論：假設函數f在(0，+∞)上連續可積，若t>0，Re(n)≥0，分數階積分有以下關系：

(1)

式中：n為分數階階數。

分數階微分還可以定義為：設f∈C，γ>0，m是大于γ的最小整數，令γ=m-n有：

(2)

若是f(t)在t=0附近可積，且0≤n≤1，分數階微積分的Laplace變換為：

(3)

根據分數階微積分的定義及Laplace變換，對傳統黏滯元件進行改進，可得分數階黏滯元件，其本構如下：

(4)

式中：當n=0時，該元件為彈簧元件，代表理想固體；當n=1時，該元件為牛頓黏壺，代表理想流體。

本文擬采用2個彈簧元件、1個傳統黏滯元件、1個分數階黏滯元件和1個塑性元件組成五元件模型(圖4)。

圖4 五元件蠕變模型

根據圖4可知：應力、應變有以下關系：

(5)

2.2 蠕變模型構建

2.2.1 彈性體

彈性體主要是描述黏土在加載初期的瞬時彈性應變，彈性體的三維蠕變關系有：

(6)

彈性體的球應力與球應變有：

(7)

彈性體的本構關系可以表示為：

(8)

式中：σmδij為球應力張量。

2.2.2 黏彈性體

黏彈性體主要描述黏土衰減蠕變，由彈性元件G2和傳統黏滯元件V1并聯組成，黏彈性體的三維蠕變關系有：

(9)

式(9)進行Laplace變換和逆變換可得：

(10)

2.2.3 黏塑性體

黏塑性體主要描述黏土的加速蠕變，由塑性元件P和分數階黏滯元件V2并聯組成，黏塑性體的三維蠕變關系有：

(11)

塑性元件應力張量有：

(12)

由式(11)、式(12)可得：

(13)

式(9)進行Laplace變換和逆變換可得：

(14)

因此，根據式(5)、式(8)、式(10)、式(14)可得黏土的三軸蠕變模型為：

(15)

在三軸試驗中，σ2=σ3(σ3為黏土圍壓)，有：

(16)

S11=σ1-σm

(17)

剪切模量和體積模量與彈性模量有以下關系：

(18)

(19)

式中：i=1，2。

3 參數非定常性分析

在蠕變過程中，黏土結構是一個動態變化過程：在應力作用下，一方面土體結構通過應變自我調節，試圖使得自身結構趨于穩定；另一方面，外界荷載使得土體不斷產生應變，試圖使得土體結構破壞，而黏土的宏觀穩定性是二者的最終結果。因此本文試圖通過對黏土的彈性模量和黏滯系數的非定?；瘉矸从尺@一過程。

根據工程經驗，隨著應力的逐漸增大，黏土結構逐漸破壞，因此，提出以下公式：

(20)

式(18)分別求應力、時間的偏導數有：

(21)

若黏土彈性模量和黏滯系數服從函數f：

(22)

(23)

式中：Ei為初始彈性模量，ηi為初始黏滯系數。

將式(16)～式(19)、式(22)、式(23)代入式(15)可得黏土蠕變模型：

(24)

式中：σL為黏土屈服應力。

4 蠕變模型驗證

采用1STOPT軟件，對本文蠕變試驗數據和文獻[17]中的試驗數據進行擬合分析，以表明本文蠕變模型的科學合理性及先進性。擬合曲線見圖5和圖6，擬合參數見表3。

圖5 御龍山黏土蠕變試驗擬合曲線

圖6 文獻[17]中黏土蠕變試驗擬合曲線

從圖5、圖6以及表3可以發現，文獻[18]中的蠕變試驗曲線與本文所構建的蠕變模型擬合度高，尤其是對穩態蠕變和加速蠕變階段的描述更加深入，各個擬合參數與構建模型時的假設規律一致。因此，本文構建的蠕變本構模型是科學合理的，并具有一定的先進性。

5 結論

(1)以成都御龍山基坑項目為背景，通過三軸蠕變試驗發現，黏土蠕變包括衰減蠕變、穩態蠕變和加速蠕變三個階段。

(2)根據蠕變試驗結果，結合元件模型理論和分數階微積分理論，構建了成都黏土的三維分數階蠕變本構模型；并通過參數非定常的討論，分別建立了黏土彈性模量和黏滯系數與應力和時間的衰減型函數關系，最終得到黏土的三維非定常分數階蠕變模型。

表3 蠕變模型擬合模型參數

(3)利用本文構建的蠕變模型，分別與本文蠕變試驗曲線和文獻[17]中蠕變試驗曲線進行擬合驗證分析，發現擬合度高，擬合參數規律明確，表明本文所構建的三維蠕變模型是科學合理的，并有一定先進性的。