成都黏土三維非定常分數(shù)階蠕變模型

鄧 稀

(四川省建筑科學(xué)研究院， 四川成都 610081)

黏土是一種蠕變性質(zhì)顯著的巖土材料[1-3]，也是學(xué)術(shù)界的研究熱點。黏土蠕變性質(zhì)研究的重難點是構(gòu)建一個物理意義明確、參數(shù)較少、形式較簡單、適用性較強、對工程具有指導(dǎo)作用的、可以全面反映黏土力學(xué)特性和蠕變?nèi)^程的本構(gòu)模型[4-6]。黏土蠕變模型理論主要有流變理論、老化理論、硬化理論、過速率理論等，蠕變模型[7-10]主要有元件模型、經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?nèi)變量模型等。

目前，研究較多的是元件蠕變模型，主要描述應(yīng)變、應(yīng)力及時間的線性關(guān)系。但是根據(jù)實際工程，黏土蠕變具有顯著的非線性特性，肖宏彬等[11-13]通過研究非飽和膨脹土的流變特性，表明土體在低應(yīng)力條件下，應(yīng)變隨著時間的發(fā)展表現(xiàn)出線性性質(zhì)；在高應(yīng)力條件下，應(yīng)變表現(xiàn)出顯著的非線性性質(zhì)，并通過經(jīng)驗公式構(gòu)建了相應(yīng)的非線性蠕變模型。齊亞靜等[14]在西元模型的基礎(chǔ)上，建立了應(yīng)變觸發(fā)式非線性黏壺，并將其串聯(lián)到西元模型中，構(gòu)建了巖石的三維蠕變本構(gòu)模型。劉開云等[15]通過引入改進的應(yīng)變觸發(fā)非線性黏壺元件，并將其串聯(lián)到Bingham模型中，推導(dǎo)了三維非線性黏彈塑性蠕變本構(gòu)模型，并討論了模型參數(shù)的非定常性，通過擬合分析發(fā)現(xiàn)模型擬合效果較好。

根據(jù)以上分析，本文通過對成都御龍山黏土的三軸蠕變試驗，分析成都黏土的蠕變性質(zhì)；并根據(jù)試驗結(jié)果，結(jié)合元件模型理論和分數(shù)階微積分理論，構(gòu)建分數(shù)階五元件蠕變模型；同時，通過引入相應(yīng)地衰減函數(shù)描述黏土彈性模量和黏滯系數(shù)的非定常性；最后通過模型的擬合驗證分析，表明了本文所構(gòu)建蠕變模型的科學(xué)合理性和先進性。

1 黏土蠕變試驗

1.1 試驗儀器

本文采用CSS-2901TS土體三軸流變試驗機(圖1)，儀器參數(shù)如表1所示。

1.2 試驗方案

黏土試樣取自成都御龍山信和基坑項目，土樣顏色呈黃色，夾雜有少量灰白色黏土(圖2)。黏土基本力學(xué)性質(zhì)如表2所示。

圖1 CSS-2901TS土體三軸流變試驗機

參數(shù)項目參數(shù)值或范圍垂直最大荷載/kN10圍壓控制范圍/MPa0～2空隙水壓力范圍/MPa0～2軸向變形測量范圍/mm0～20試樣規(guī)格/mm?=39.1×80、?=50×100、?=61.8×125

圖2 成都御龍山黏土

含水率/%密度/(g·cm-3)比重塑限/%液限/%24.01.572.7123.146.4

本次試驗采用重塑樣，試樣高度80 mm，直徑φ39.1 mm，在真空條件下飽和2 d。在圍壓為200 kPa下進行三軸蠕變試驗，加壓速率為0.1 kPa/min。固結(jié)完成后進行加載。蠕變加載級數(shù)為四級，每級加載偏應(yīng)力(σ1-σ3)為：70 kPa、140 kPa、210 kPa和280 kPa，加載速率為1 kPa/min，試驗曲線見圖3。

圖3 蠕變試驗曲線

1.3 試驗結(jié)果

由圖3可知：在低應(yīng)力條件下，黏土應(yīng)變隨著時間的發(fā)展逐漸收斂，蠕變曲線也逐漸與時間軸平行，此時黏土表現(xiàn)出衰減蠕變的特征；在中等應(yīng)力條件下，應(yīng)變隨著時間的發(fā)展以某一穩(wěn)定的速率持續(xù)增加，此時黏土表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)蠕變的特征；在高應(yīng)力條件下，黏土隨時間的發(fā)展，蠕變速率顯著增大，土體結(jié)構(gòu)迅速破壞，表現(xiàn)出加速蠕變的特征。

2 三維蠕變模型

2.1 蠕變模型確定

為深入描述成都黏土各階段的蠕變特性，本文在元件理論的基礎(chǔ)上，引入分數(shù)階微積分理論[16]，得出分數(shù)階黏滯元件，描述加速蠕變階段；對參數(shù)的非定常性進行討論，以此描述黏土在蠕變過程中土體結(jié)構(gòu)的變化特性。

分數(shù)階微積分可以描述任意階次的微積分，具有物理意義明確、形式簡單、理論依據(jù)充分等優(yōu)點[16]。根據(jù)Riemann-Liouville理論：假設(shè)函數(shù)f在(0，+∞)上連續(xù)可積，若t>0，Re(n)≥0，分數(shù)階積分有以下關(guān)系：

(1)

式中：n為分數(shù)階階數(shù)。

分數(shù)階微分還可以定義為：設(shè)f∈C，γ>0，m是大于γ的最小整數(shù)，令γ=m-n有：

(2)

若是f(t)在t=0附近可積，且0≤n≤1，分數(shù)階微積分的Laplace變換為：

(3)

根據(jù)分數(shù)階微積分的定義及Laplace變換，對傳統(tǒng)黏滯元件進行改進，可得分數(shù)階黏滯元件，其本構(gòu)如下：

(4)

式中：當n=0時，該元件為彈簧元件，代表理想固體；當n=1時，該元件為牛頓黏壺，代表理想流體。

本文擬采用2個彈簧元件、1個傳統(tǒng)黏滯元件、1個分數(shù)階黏滯元件和1個塑性元件組成五元件模型(圖4)。

圖4 五元件蠕變模型

根據(jù)圖4可知：應(yīng)力、應(yīng)變有以下關(guān)系：

(5)

2.2 蠕變模型構(gòu)建

2.2.1 彈性體

彈性體主要是描述黏土在加載初期的瞬時彈性應(yīng)變，彈性體的三維蠕變關(guān)系有：

(6)

彈性體的球應(yīng)力與球應(yīng)變有：

(7)

彈性體的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

(8)

式中：σmδij為球應(yīng)力張量。

2.2.2 黏彈性體

黏彈性體主要描述黏土衰減蠕變，由彈性元件G2和傳統(tǒng)黏滯元件V1并聯(lián)組成，黏彈性體的三維蠕變關(guān)系有：

(9)

式(9)進行Laplace變換和逆變換可得：

(10)

2.2.3 黏塑性體

黏塑性體主要描述黏土的加速蠕變，由塑性元件P和分數(shù)階黏滯元件V2并聯(lián)組成，黏塑性體的三維蠕變關(guān)系有：

(11)

塑性元件應(yīng)力張量有：

(12)

由式(11)、式(12)可得：

(13)

式(9)進行Laplace變換和逆變換可得：

(14)

因此，根據(jù)式(5)、式(8)、式(10)、式(14)可得黏土的三軸蠕變模型為：

(15)

在三軸試驗中，σ2=σ3(σ3為黏土圍壓)，有：

(16)

S11=σ1-σm

(17)

剪切模量和體積模量與彈性模量有以下關(guān)系：

(18)

(19)

式中：i=1，2。

3 參數(shù)非定常性分析

在蠕變過程中，黏土結(jié)構(gòu)是一個動態(tài)變化過程：在應(yīng)力作用下，一方面土體結(jié)構(gòu)通過應(yīng)變自我調(diào)節(jié)，試圖使得自身結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定；另一方面，外界荷載使得土體不斷產(chǎn)生應(yīng)變，試圖使得土體結(jié)構(gòu)破壞，而黏土的宏觀穩(wěn)定性是二者的最終結(jié)果。因此本文試圖通過對黏土的彈性模量和黏滯系數(shù)的非定常化來反映這一過程。

根據(jù)工程經(jīng)驗，隨著應(yīng)力的逐漸增大，黏土結(jié)構(gòu)逐漸破壞，因此，提出以下公式：

(20)

式(18)分別求應(yīng)力、時間的偏導(dǎo)數(shù)有：

(21)

若黏土彈性模量和黏滯系數(shù)服從函數(shù)f：

(22)

(23)

式中：Ei為初始彈性模量，ηi為初始黏滯系數(shù)。

將式(16)～式(19)、式(22)、式(23)代入式(15)可得黏土蠕變模型：

(24)

式中：σL為黏土屈服應(yīng)力。

4 蠕變模型驗證

采用1STOPT軟件，對本文蠕變試驗數(shù)據(jù)和文獻[17]中的試驗數(shù)據(jù)進行擬合分析，以表明本文蠕變模型的科學(xué)合理性及先進性。擬合曲線見圖5和圖6，擬合參數(shù)見表3。

圖5 御龍山黏土蠕變試驗擬合曲線

圖6 文獻[17]中黏土蠕變試驗擬合曲線

從圖5、圖6以及表3可以發(fā)現(xiàn)，文獻[18]中的蠕變試驗曲線與本文所構(gòu)建的蠕變模型擬合度高，尤其是對穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變階段的描述更加深入，各個擬合參數(shù)與構(gòu)建模型時的假設(shè)規(guī)律一致。因此，本文構(gòu)建的蠕變本構(gòu)模型是科學(xué)合理的，并具有一定的先進性。

5 結(jié)論

(1)以成都御龍山基坑項目為背景，通過三軸蠕變試驗發(fā)現(xiàn)，黏土蠕變包括衰減蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變?nèi)齻€階段。

(2)根據(jù)蠕變試驗結(jié)果，結(jié)合元件模型理論和分數(shù)階微積分理論，構(gòu)建了成都黏土的三維分數(shù)階蠕變本構(gòu)模型；并通過參數(shù)非定常的討論，分別建立了黏土彈性模量和黏滯系數(shù)與應(yīng)力和時間的衰減型函數(shù)關(guān)系，最終得到黏土的三維非定常分數(shù)階蠕變模型。

表3 蠕變模型擬合模型參數(shù)

(3)利用本文構(gòu)建的蠕變模型，分別與本文蠕變試驗曲線和文獻[17]中蠕變試驗曲線進行擬合驗證分析，發(fā)現(xiàn)擬合度高，擬合參數(shù)規(guī)律明確，表明本文所構(gòu)建的三維蠕變模型是科學(xué)合理的，并有一定先進性的。