考慮橫截面變形的合成橋面桁梁的扭轉計算方法

劉凱園

(中鐵第一勘察設計院集團有限公司, 陜西西安 710043)

合成橋面桁梁近年來越來越多的應用到了懸索橋的加勁梁中[1-3]。對于雙層橋面的桁梁，往往沒有設置橫聯或者橫聯的剛度較弱，在扭轉荷載作用下橫截面不僅會產生剛性扭轉，而且會有較大的剪切變形。本文研究的內容就是考慮橫截面變形的合成橋面桁梁扭轉問題，將空間上不連續的結構，根據等效前后剛度不變的原則轉化為在空間上連續分布的薄壁箱梁，將桁梁的扭轉問題轉化為薄壁箱梁的扭轉，然后用解析法進行求解。

1 合成橋面桁梁的等效

合成橋面桁梁的橋面系與主桁直接焊接在一起，橋面系既作為傳力構件將車輛荷載傳遞給主桁，而且有類似于一般空間桁梁中平縱聯結系的作用，參與到結構的整體受力當中，在對合成橋面桁梁等效化處理為薄壁箱梁的過程中，主要是針對桁架腹桿體系和橋面系兩部分進行的。

1.1 腹桿體系的連續化處理

桁架的結構形式主要有如圖1所示幾種。關于將桁架腹桿體系連續化處理的方法在多篇文獻中均有介紹[4-6]。

圖1 腹桿體系主要結構形式

1.2 橋面系的連續化處理

合成橋面桁梁橋面系的基本構造是：橋面板是平鋼板，下面焊接橫向和縱向加勁肋。橋面系的主要作用是：豎向彎曲和橫向彎曲時抵抗彎矩、剪力，以及承擔扭轉作用引起的剪力流。在將橋面系等效化為均勻平鋼板的過程中，需要考慮正向受力和切向受力的差異，引入正向等效厚度和切向等效厚度[5]，正向等效厚度只承受法向應力，切向等效厚度只承受剪切應力(圖2)。

圖2 閉口加勁肋剪力流傳遞

在加勁肋范圍內的橋面等效為厚度t*的鋼板，依據等效前后剪切變形相等的原則得t*=(satr+srtp)/sr，在加勁肋s范圍內的剪切變形為qsa/Gt*+qse/Gtp，將這一范圍內的加勁板等效為一塊平板，厚度為teq,t，可以得到閉口加勁肋的切向等效厚度：

(1)

對于閉口加勁肋正向厚度的等效，與開口加勁肋是類似的，假設橋面板和加勁肋在正向的變形與等效后的平板是相同的，那么可以得到正向等效厚度為：

(2)

至此就完成了橋面系和腹桿系的全部等效。對于一般合成橋面桁梁的等效結果如圖3所示，Ai(i=1～4)是弦桿的面積，δi(i=1～4))是正向等效厚度，由腹桿系轉化而來的薄壁正向等效厚度δ2=δ4=0，ti(i=1～4)為切向等效厚度，t1和t3為橋面系或者平縱聯結系的剪切等效厚度，t2和t4為腹桿系的剪切等效厚度。

圖3 桁梁等效后的橫截面

2 閉口薄壁箱梁在扭轉荷載作用下的受力分析

閉口薄壁桿件的扭轉研究應用最多的是烏曼斯基扭轉理論[8]，該理論假定結構的橫截面是剛性的，對于橫聯剛度比較弱甚至沒有橫聯的桁梁，在扭轉荷載作用下橫截面不僅會產生剛性的扭轉，而且會發生畸變。對于這類結構，可以將扭轉荷載分解為純扭矩荷載和雙向反力偶荷載[4](圖4)，純扭矩只會使橫截面剛性扭轉，雙向反力偶作用將會使四片薄壁—頂板、底板以及腹板產生各自面內的撓曲，從而橫截面發生剪切變形，結構的最終變形是兩種荷載模式的疊加效果。

圖4 扭轉荷載的分解

2.1 純扭矩荷載作用下微分方程的建立

純扭矩荷載作用下，結構的橫截面只產生剛性扭轉，完全符合烏曼斯基閉口截面桿件約束扭轉理論剛性截面的假定。

(3)

上式就是運用烏曼斯基閉口截面薄壁桿件約束扭轉理論得到的薄壁箱梁在均布扭矩荷載作用下關于扭轉角θ的微分方程表達式。

2.2 雙向反力偶荷載作用下微分方程的建立

雙向反力偶荷載作用下薄壁箱梁的變形如圖5所示，四片薄壁在各自平面內發生撓曲，橫截面產生了剪切變形。

圖5 雙向反力偶荷載作用下變形示意

頂板和右側腹板的平衡條件為：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

上式就是雙向反力偶荷載作用下薄壁箱梁的變形微分方程。

圖6是考慮橫截面變形的合成橋面桁梁在扭轉荷載作用下的變形示意圖，其中的偏角ψ和仰角φ與橫截面的扭轉角θ和剪切變形γ具有以下關系：

圖6 扭轉荷載作用下變形示意

(9)

(10)

目前就得到了考慮橫截面變形的合成橋面桁梁在扭轉荷載作用下的微分方程組，求解下列的方程組還需要借助相應的邊界條件，才能獲得具體的解。

(11)

3 實例分析

3.1 結構介紹

為驗證上述理論分析的正確性，選取了楊泗港長江大橋作為實例。楊泗港長江大橋的加勁梁是典型的合成橋面桁梁，桁架的腹桿形式是華倫式桁架結構，構造如圖7所示，桁高10 m，兩片主桁中心間距28 m，節間長度9 m。該橋為雙層橋面布置，在上下橋面之間沒有沒有橫聯構件布置(圖8)，上下層橋面的構造完全相同，均采用正交異性板整體鋼橋面，橋面系與主桁直接焊接在一起。

圖7 主桁構造(單位：m)

圖8 上下層橋面整體構造(單位：m)

3.2 結構薄壁化等效

根據前面介紹的方法對桁架和橋面系進行連續化處理，合成橋面桁梁被轉化成如圖9所示的形式—特殊的薄壁箱梁結構。截面的幾何特征計算如表1所示。

3.3 有限元與解析法計算結果的對比

這里選取了跨度為90 m(主桁10個節間)的簡支桁梁為研究對象，采用ANSYS建立了比例1∶1的板—梁混合單元有限元模型。在有限元模型全跨施加了100 kN·m/m的均布扭矩。建立的有限元模型如圖10所示，并且將各根弦桿的編號標在圖中。

圖9 簡化后薄壁箱梁示意

圖11～圖13為采用有限元方法計算的合成橋面桁梁在均布扭矩荷載作用下的變形響應，分別為各根弦桿的豎向位移、橫向位移以及通過弦桿的豎向位移和橫向位移計算的結構的仰角φ和偏角ψ，其中仰角φ以同一層橋面左右弦桿的豎向位移差除以橋面寬度來確定，偏角ψ以同一片桁架上下弦桿的橫向位移差除以桁高來確定。

表1 截面幾何特征

圖10 板梁混合單元有限元模型

由圖11～13可以看出，在均布扭矩荷載作用下，同一片桁架兩根弦桿的豎向位移是一致的，左右兩片桁架的豎向位移大小相等方向相反，同一橋面兩根弦桿的橫向位移是一致的，上下兩層橋面都發生了相同方向的橫向位移但大小不同，通過比較仰角φ和偏角ψ發現，桁梁的橫截面不僅發生了剛性扭轉，而且發生了剪切變形，且剪切變形的大小不容忽略。

圖14、圖15和表2、表3分別對比了有限元和解析法兩種方法計算的結構扭轉角θ和剪切變形γ，兩種計算方法的相對誤差等于有限元法計算結果與解析法計算結果的差值除以有限元法的計算結果。

從圖14、圖15可以看出，采用解析法和有限元法兩種方法計算的扭轉角θ和剪切變形γ沿跨度方向上的變化趨勢具有很高的一致性。根據表2、表3列出的典型橫斷面位置，兩種方法的計算結果及對比，發現兩種方法計算的結構扭轉角數值吻合度很高，相對誤差很小，剪切變形數值的吻合度較低，最大的相對誤差達到了18.3 %。通過觀察計算的結構的扭轉角和剪切變形數值的大小，發現扭轉角和剪切變形的大小在同一個數量級上，在實際中都需要關注。在支座位置處橫截面的剪切變形達到最大，扭轉角最小，而在跨中位置，橫截面的扭轉角達到最大。

圖11 有限元計算的各根弦桿豎向位移

圖12 有限元計算的各根弦桿橫向位移

圖13 有限元計算的仰角φ和偏角ψ

圖14 有限元和解析法計算的扭轉角θ的對比

圖15 有限元和解析法計算的剪切變形γ的對比

表2 有限元和解析法計算的扭轉角θ的對比

表3 有限元和解析法計算的剪切變形γ的對比

4 結 論

對于橫聯剛度比較小，尤其是沒有橫向聯結系的雙層橋面桁梁，在扭轉荷載作用下，結構的橫截面不僅會產生剛性扭轉，而且會發生剪切變形，且大小在同一數量級，在工程中需要特別關注。針對該類桁梁，將扭轉荷載分解為純扭矩荷載和雙力偶荷載，獲得了關于扭轉角和剪切變形的微分方程組，求解方程，并且與ANSYS的計算結果進行了對比，證明該方法計算精度良好，求解效率高。