考慮耦合與剛度影響的齒輪傳動系統分析

吳啟豪，吳新躍，魏 維

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

齒輪傳動系統具有壽命長、傳動比恒定、效率高、運行平穩、結構緊湊等諸多優點，被廣泛運用于航天航空、車輛工程、船舶運輸、風電等領域，是現代機械傳動中的重要組成部分，其可靠性將直接影響到機械設備的穩定運轉。其中，作為評價齒輪系統的關鍵因素之一，系統的振動特性一直受到人們的廣泛關注和研究。在傳動過程中，齒輪系統不僅將受到來自原動機與負載帶來的外部激勵，還存在由時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙、軸承剛度及間隙等因素引起的內部激勵。一直以來，國內外學者就齒輪傳動系統做了大量研究[1-4]。張建云等[5]建立了斜齒輪傳動的多平行軸轉子系統動力學模型，模型綜合考慮了彎扭耦合、陀螺力矩、滑動軸承支承剛度及阻尼因素的影響。唐進元等[6]利用有限元法研究了螺旋錐齒輪剛度的計算方法，得到了單齒嚙合和多齒綜合嚙合剛度，分析了載荷影響下剛度曲線的變化。馬輝等[7]對斜齒輪傳動進行精確建模，研究了斜齒輪傳動的模態特性和響應。徐向陽等[8]利用有限元法分析了某大型船用齒輪箱傳動系統，通過分析表明齒輪箱系統轉頻、嚙合頻率遠低于固有頻率，不存在共振現象。陳小安等[9]建立了多間隙耦合齒輪傳動系統模型，在考慮齒側間隙、軸承間隙、齒面摩擦影響的基礎上，首次利用有限元法分析了支撐狀態下齒輪耦合系統的非線性動態特性。相對于數值仿真法與解析法，有限單元法與復雜的實際情況更為貼合，可以處理多種任意復雜結構，求解過程簡便，求解精度高。本文以某多級斜齒輪傳動對為研究對象，通過大型通用有限元分析軟件Ansys 建立耦合系統動力學模型，分析耦合與非耦合情況下多級傳動系統的模態特性，并研究了不同齒輪嚙合剛度與支撐軸承剛度對系統模態特性的影響規律。

1 齒輪-軸承耦合系統動力學模型

利用線性彈簧單元對齒輪副嚙合過程進行模擬，在此過程中，首先要計算彈簧剛度。考慮到齒輪傳動過程中剛度是個動態變化的過程，以平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度。

1.1 齒輪嚙合剛度及軸承剛度

對于斜齒輪而言，其當量齒數為：

同時，由于齒輪傳動是周期運動，輪齒接觸對數隨時間改變，剛性外嚙合齒輪平均嚙合剛度與單對嚙合剛度關系表達式為：

在斜齒輪中，其重合度關系如下式：

由于斜齒輪傳動中會產生軸向力，因此采用角接觸滾動軸承，在手冊[11]中根據相應準則確定軸承剛度，如表1 所示

1.2 有限元模型的建立

在三維CAD 軟件UG 中建立齒輪傳動對模型，后將幾何模型導入Hypermesh 進行前處理。網格劃分過程中，首先對齒輪與軸進行切割，齒輪平面建立二維網格后進行拉伸，齒輪軸與齒輪采用共節點連接方式。為了定義傳動系統中角接觸軸承受到的力，在定義邊界條件時將其簡化成x，y，z 三個方向上的彈簧單元。就齒輪之間嚙合關系而言，同樣利用彈簧單元來模擬齒面之間的嚙合力，彈簧剛度由前文計算的齒輪嚙合剛度確定。由于齒輪對的齒數相同，故傳動比為1:1，剛度值也相同，取。齒輪采用20CrMnMo，軸采用材料為40Cr，密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.3，彈性模量為206 GPa，齒輪幾何參數如表2 所示。在Hypermesh 中共得到417 962 個單元（其中五面體24 284 個，六面體393 448 個，彈簧單元230 個），共466 528 個節點。為了實現斜齒輪副的轉動自由度，需對其進行自由度約束，對主動輪及從動輪的X,Y,Z 的移動自由度，繞軸X,Y 的轉動自由度都建立約束。齒輪嚙合對的有限元模型如圖1 中所示。

表 1 滾動軸承剛度Tab. 1 Stiffness of rolling bearing

表 2 斜齒輪幾何參數Tab. 2 Geometric parameters of helical gear

圖 1 齒輪嚙合對有限元模型Fig. 1 Finite element model of gear meshing

2 齒輪傳動系統模態特性分析

對于多級齒輪傳動系統，先對單對嚙合齒輪進行模態特性分析，然后分析耦合狀態下齒輪系統的模態特性，通過比較，得到單對嚙合傳動與耦合傳動模態上的區別和聯系。

2.1 單對嚙合齒輪-軸模態特性分析

由于2 對齒輪幾何、材料參數均相同，因此結果對稱，只需要1 對齒輪嚙合對即可，前10 階模態參數如表2 所示，其中第1 階為剛體模態，振型為齒輪的繞軸扭轉。

表 3 單對齒輪嚙合對的前10 階模態頻率及振型描述Tab. 3 Description of the first ten order modal frequencies and modes of gear meshing pairs

除第7 和第8 階模態振型不同外其他的階數都相同，圖2 和圖3 為第8 階輸入、輸出端齒輪振型圖。

可以看出，由于齒輪軸幾何材料參數相同，且對稱分布，兩軸在Y 方向和Z 方向的彎曲和擺動模態對稱，除去前1 階和2 階模態外，相鄰階模態都存在振型和頻率值接近的情況。

2.2 耦合齒輪-軸系統模態特性分析

圖 2 輸入軸第8 階振型圖Fig. 2 Eighth order mode diagram of the input shaft

圖 3 輸出軸第8 階振型圖Fig. 3 Eighth order mode diagram of the output shaft

利用建立好的有限元模型，綜合考慮耦合情況下，2 對齒輪嚙合對，分析其模態頻率特征和振型。

根據單對嚙合齒輪模態特性，比較耦合模態特性數據，得到以下結論：

1）在耦合情況下，除了第19 階和20 階模態為輸出軸端的振動外，其他情況下都存在1 對或多對的對稱頻率。

表 4 耦合系統的模態頻率及振型描述Tab. 4 Modal frequency and mode description

2）單對齒輪傳動振動模態在耦合中得以保留存在，例如，如在耦合狀態下，第15 到18 階模態與輸入軸的第7 和第8 階模態頻率接近，振型對應，耦合系統下模態可看作是單體模態的疊加。

3）當系統耦合振動時，產生了振型描述為三軸耦合扭轉的新模態，頻率為249.23 Hz。而對于單個軸而言，第1 階模態頻率幾乎為0，前后振型均為齒輪扭轉，但模態頻率變化很大。

3 剛度對系統模態的影響

3.1 齒輪嚙合剛度對模態的影響

分別考慮不同齒輪嚙合剛度影響下，單對嚙合齒輪模態特性的變化。保持模型其他參數不變，分別取嚙 合 剛 度 為，代入模型計算后的前20 階模態頻率如表5 所示。

由表5 及圖8 可得出以下結論：

圖 4 模型第15 階振型圖Fig. 4 Model fifteenth order mode diagram

圖 5 模型第16 階振型圖Fig. 5 Model sixteenth order mode diagram

圖 6 模型第17 階振型圖Fig. 6 Model seventeenth order mode diagram

圖 7 模型第18 階振型圖Fig. 7 Model eighteenth order mode diagram

1）隨著設定嚙合剛度的不斷增大，模態頻率呈上升趨勢，但當剛度值大于時，后續的模態頻率曲線變化幾乎重合，說明模態頻率幾乎不再受剛度影響，逐漸趨于穩定。

表 5 不同嚙合剛度下模態頻率Tab. 5 Modal frequency of different meshing stiffness

圖 8 不同嚙合剛度下模態頻率變化曲線Fig. 8 Modal frequency variation curve under different meshing stiffness

2）當剛度值變化時，低階模態頻率受影響程度最大，而對于14 階的模態頻率而言，剛度的變化對其影響有限，敏感程度遠低于低階頻率。

3） 結合耦合狀態下的模態頻率可知，嚙合剛度的變化對于耦合模態影響較大，而對于非耦合情況，影響較小。

3.2 軸承支撐剛度對模態的影響

保持齒輪的嚙合剛度不變，通過改變軸承支撐剛度的數量級107，108，109，1010來考慮不同軸承剛度。

由表6 及圖9 可得出以下結論：

表 6 不同軸承剛度下系統的模態頻率Tab. 6 Modal frequency under different bearing stiffness

圖 9 不同軸承剛度影響下模態頻率變化曲線Fig. 9 Modal frequency variation curve under theinfluence of different bearing stiffness

1）當嚙合剛度不變時，提高軸承剛度，系統的模態頻率逐漸增大，不同軸承剛度下頻率數值變化大，因此，在選取滾動軸承時就要綜合考慮軸承對系統帶來的影響，選取合適軸承規格，避免因不恰當的軸承剛度使系統處于共振頻率。

2）結合振型圖可知，系統前14 階為耦合振動狀態，后6 階為單軸振動模態，因此，軸承剛度的大小變化不影響齒輪傳動的耦合狀態。

4 結 語

1）建立了傳動系統多級耦合傳動模型，在考慮耦合情況下，齒輪對的模態會在單齒嚙合疊加模態的基礎上成對出現，并會產生新的模態。

2）齒輪對的模態頻率會隨著齒輪嚙合剛度的增大而增大，當嚙合剛度增大到一定程度時，嚙合剛度將不再影響傳動系統的模態。

3）當嚙合剛度不變時，提高軸承剛度，系統的模態頻率逐漸增大，不同軸承剛度下同階模態數值變化大。軸承剛度的大小并不影響齒輪傳動的耦合狀態。