素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)能力的考查
——2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)(理科Ⅰ卷)部分試題分析

(郵編：237331)

安徽省金寨第一中學(xué) 六安市徐道奎名師工作室

2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)(理科Ⅰ卷)試題的學(xué)科特色突出，素養(yǎng)導(dǎo)向明確，對(duì)素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)能力的考查較為全面.試題有以下特點(diǎn)：對(duì)必備關(guān)鍵能力的要求更強(qiáng)，對(duì)創(chuàng)新能力的要求更強(qiáng)，對(duì)應(yīng)用能力的要求更強(qiáng).注重考查學(xué)生的探究實(shí)踐能力，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，適應(yīng)新情境以及在新情境中獲取信息能力，閱讀理解能力，遷移聯(lián)想能力，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維和思維轉(zhuǎn)化能力等等，融綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性于一體，注重?cái)?shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的高度融合.實(shí)現(xiàn)了“從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向”的轉(zhuǎn)化，本文僅以學(xué)生普遍反響較為強(qiáng)烈的幾個(gè)問題為例予以分析.

1 全方位的能力考查

1.1 數(shù)學(xué)需要探究和實(shí)踐，要有在探究中發(fā)現(xiàn)問題的能力

素養(yǎng)視域下的探究發(fā)現(xiàn)是一種主動(dòng)、自覺的活動(dòng)，是一種習(xí)慣、意識(shí)的使然，是自主發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的行動(dòng)過程.

題1 (第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

解決數(shù)學(xué)問題需要主動(dòng)的觀察、分析、嘗試，這就是探究，探究沒有固定的模式.探究活動(dòng)要以關(guān)鍵條件切入，以條件如何運(yùn)用找到契機(jī)，如：作出三棱錐的高，在此基礎(chǔ)上嘗試、摸索.探究是感知、發(fā)現(xiàn)隱含信息的基本方法.探究過程需要不斷地遷移聯(lián)想，不斷地提出問題，條件有什么用？為什么要給“這個(gè)”條件？條件能否轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后又可發(fā)現(xiàn)什么，得出什么？回到本題，立體幾何中的“垂直關(guān)系”非常重要，是否隱含其它的垂直關(guān)系？具體地，能否通過“中點(diǎn)”、∠CEF=90°和PA=PB=PC得出新的“垂直關(guān)系”？怎樣得出？

學(xué)生解題的障礙是：習(xí)慣于思路明了、直覺就能做出判斷的問題，對(duì)于條件和關(guān)系隱含的問題“無從下手”，缺乏探究經(jīng)驗(yàn)，不知道運(yùn)用條件深入分析，發(fā)散思維，不能夠遷移聯(lián)想，比較分析.當(dāng)然，探究發(fā)現(xiàn)不是“無中生有”，不是“空中樓閣”，而是建立在一定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之上的數(shù)學(xué)活動(dòng).

1.2 數(shù)學(xué)需要適應(yīng)情境，要有在新情境中分析問題的能力

高考要體現(xiàn)時(shí)代精神，要?jiǎng)?chuàng)新，要與時(shí)俱進(jìn)，跟上時(shí)代潮流，“對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查”，“在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題”是今后考查的方向，毫無疑問，素養(yǎng)視域下的能力考查，更需關(guān)注創(chuàng)新能力、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，而新情境、新背景是考查創(chuàng)新能力的重要載體，在新情境中用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)價(jià)值的體現(xiàn).

題2 (第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

題目具備創(chuàng)新能力考查的三個(gè)特點(diǎn)：新的角度，新的情境，新的知識(shí)組合方式.對(duì)于具有實(shí)際意義的情境問題，如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化？需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，分析問題中的關(guān)鍵要素，建立數(shù)學(xué)模型.

第一問：求一輪試驗(yàn)中甲藥得分的分布列，根據(jù)題目設(shè)置和約定，容易分析甲藥在一輪試驗(yàn)中得分有三種的可能，即：-1、0、1，概率分別是：(1-α)β、αβ+(1-α)(1-β)、α(1-β).

平心而論，本題并沒有學(xué)生反應(yīng)的那么難，但學(xué)生為什么怕？第一，不能適應(yīng)新情境，不能理解新情境.情境是廣義的概念，包括自然情境，實(shí)踐情境，學(xué)術(shù)情境等等.情境陌生，融入不了.不明白題目要表述的是什么事？第二，缺乏在新情境中閱讀、獲取信息的能力，很多學(xué)生根本讀不懂題目，不理解題目表述的方法去對(duì)比藥效.第三，也是最關(guān)鍵的，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科語言的理解轉(zhuǎn)化存在障礙，數(shù)學(xué)符號(hào)語言不能“翻譯”為通俗的自然語言，如：怎樣用隨機(jī)變量表示試驗(yàn)結(jié)果？“pi(i=0,1,…,8)表示甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率”是什么含義？pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…7)有什么作用？第四，缺乏把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的基本素養(yǎng)，缺乏靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.如：第二問實(shí)際上就是一般的數(shù)列問題，構(gòu)造法證明等比數(shù)列和累加法求數(shù)列通項(xiàng)問題，情境(學(xué)術(shù)情境)變化了(不在單一的數(shù)列問題里面)，就無所適從.

素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)考查將逐漸從“學(xué)科知識(shí)化”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢鎸?shí)情境化”，因此，適應(yīng)、理解新情境至關(guān)重要，呆板、機(jī)械、僵化的知識(shí)將無用武之地.“情境化”不是“去數(shù)學(xué)化”，而恰恰更能發(fā)揮其應(yīng)用價(jià)值、實(shí)踐價(jià)值和社會(huì)價(jià)值.所以，我們要強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)新情境，在情境中分析問題的能力，培養(yǎng)情境中的問題意識(shí)和靈活、綜合解決問題的基本素養(yǎng).

1.3 數(shù)學(xué)需要科學(xué)的思維，要有在不斷推理轉(zhuǎn)化中解決問題的能力

對(duì)邏輯思維能力的考查貫穿于整個(gè)試卷的始終.數(shù)學(xué)是思維的體操，是思維的科學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題離不開科學(xué)的思維，離不開邏輯推理和抽象概括.數(shù)學(xué)問題的解決需要不斷地把條件、結(jié)論進(jìn)行分解組合，變式轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)學(xué)推理，當(dāng)然，主要是邏輯推理.

題3 (第20題)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

分析(1) 求f′(x)的極大值點(diǎn)，實(shí)際上只要分析f′(x)的導(dǎo)數(shù)f″(x)的變號(hào)零點(diǎn)，可通過對(duì)f″(x)再求導(dǎo)，證明f″(x)單調(diào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出.

(3)f(x)的零點(diǎn)可按照f″(x)→f′(x)→f(x)路徑分析，思維不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至得出結(jié)論.推理要鍥而不舍、嚴(yán)密周全，從二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，到一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，到原函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，一步一步的分析.

學(xué)生解題的障礙是：缺乏思維的條理性，由高階導(dǎo)數(shù)逐步分析原函數(shù)的思路不清，目標(biāo)不明確.

素養(yǎng)視域下的思維能力既是一種能力，也是一種品質(zhì)，更反映了一種嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神.

1.4 數(shù)學(xué)需要學(xué)科貫通和領(lǐng)域融合，要有在文化背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力

高考是綜合能力素養(yǎng)的考查，全國(guó)一卷試題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值.

題4 (第4題，試題略)把數(shù)學(xué)美、藝術(shù)美和數(shù)學(xué)運(yùn)用充分結(jié)合起來，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，雖然不是難題，也容易出錯(cuò)，問題出在是否理解生理學(xué)意義“腿長(zhǎng)”的定義，跨學(xué)科的知識(shí)對(duì)問題解決非常重要.素養(yǎng)視域下的能力考查，要適應(yīng)“試題條件從結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)不良”，“試題要素從單一因素到復(fù)合因素”的變化，要學(xué)會(huì)批判、判斷、選擇和分析.

數(shù)學(xué)在體育中運(yùn)用也非常廣泛，第15題是涉及體育比賽規(guī)則的概率問題.

題6 (第15題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該對(duì)獲勝，決賽結(jié)束)，根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是______.

問題抽象為獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.首先要充分理解題目，如：比賽的規(guī)則，要根據(jù)題目的表述結(jié)合實(shí)際理解，注意主客場(chǎng)獲勝概率的不同，甲4∶1獲勝的含義.有的學(xué)生沒有理解比賽的規(guī)則，把4∶1取勝理解為5場(chǎng)比賽勝4場(chǎng)，發(fā)生錯(cuò)誤.

素養(yǎng)導(dǎo)向的能力考查要求學(xué)生關(guān)注生產(chǎn)生活，關(guān)注社會(huì)，有寬廣的知識(shí)面，能把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，能以科學(xué)的方法和數(shù)學(xué)原理解決實(shí)際問題.

2 新高考對(duì)教學(xué)的啟示

高考是教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，考試制度的改革對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求.高考命題整體質(zhì)量高，要充分發(fā)揮高考試題的教學(xué)導(dǎo)向作用，要透過高考考試風(fēng)格和考試方向反思教學(xué)的不足，積極彌補(bǔ)和改進(jìn).

(1)有基礎(chǔ)才能有潛能，提升能力素養(yǎng)的前提是扎實(shí)教學(xué)，夯實(shí)基礎(chǔ)，因此，必備的基礎(chǔ)知識(shí)必須加寬加厚，要全面而有深度地理解掌握基礎(chǔ)知識(shí).教學(xué)要回歸概念，回歸基礎(chǔ)，整體把握數(shù)學(xué)學(xué)科體系，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.

(2)不能依靠刷題來提高學(xué)生成績(jī).要讓學(xué)生在理解數(shù)學(xué)、掌握原理的基礎(chǔ)上獲得“四基”，提高“四能”，以不變應(yīng)萬變.學(xué)生在解答本套試題中暴露很多問題，為什么能計(jì)算復(fù)數(shù)卻不理解復(fù)數(shù)的概念(第2題)，會(huì)用參數(shù)的意義解題而不會(huì)消參(第22題)，能解情境熟悉的“難題”，卻不能解情境陌生的簡(jiǎn)單問題(第4、6、15、21題)，是長(zhǎng)期單一訓(xùn)練，機(jī)械做題，思維固化的結(jié)果.

(3)要認(rèn)真研究課標(biāo)，研究教材.2019年數(shù)學(xué)試題逐步由“實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)”向“2017版課標(biāo)”過渡，放棄了三視圖、線性規(guī)劃的考查，有一定的道理.尤其三視圖，從數(shù)學(xué)角度分析，其反映學(xué)生空間想象力作用并不明顯，在備課組討論時(shí)我們把該問題提出，但老師們不敢輕易放棄，平時(shí)練習(xí)和考試中的三視圖問題偏、怪、難，意義不大，浪費(fèi)了時(shí)間.當(dāng)然，并不是今年不考的，將來不考，筆者只是強(qiáng)調(diào)要注意研究課標(biāo)，注意課標(biāo)的變化.

(4)注意素養(yǎng)視域下能力考查的變化，尤其是探究能力的考查，多引導(dǎo)學(xué)生解決開放型、組合型問題.注意情境的變化，提出問題方式的變化，考查目的變化.樹立正確的教學(xué)觀，要在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力(包括閱讀理解能力)上下功夫.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)科觀念，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，追求有深度的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想，融入數(shù)學(xué)文化，堅(jiān)持以人為本，立德樹人，注重培養(yǎng)創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，養(yǎng)成科學(xué)的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等方面培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力.

3 關(guān)于命題的幾點(diǎn)思考

(1)數(shù)學(xué)文化包羅萬象，數(shù)學(xué)概念的形成，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)美學(xué)，數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程，數(shù)學(xué)家不屈不撓、孜孜以求、敢為人先的思維方法、探索歷程和創(chuàng)新精神，中西方數(shù)學(xué)思想方法的差異等，都是數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)文化素材的選擇要凸顯數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的成果和過程，要積極向上，涉及的范圍可以更廣.

(3)概率或以概率為背景的試題(第6、15、21題)出現(xiàn)多次，雖說考查的內(nèi)容不同，但是否有比重失調(diào)之嫌呢？基于高考選拔功能，函數(shù)及其性質(zhì)(或者考查函數(shù)方程思想的試題)是否可以加大份額？

上述分析僅一孔之見，不足之處敬請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.