巧“構(gòu)”幾何模型 妙解倍角問(wèn)題
——一道數(shù)學(xué)試題的解法再研究

(郵編：432200)

湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室

本文探討的是2018～2019年第一學(xué)期武漢市黃陂區(qū)期末考試第10題.作為選擇壓軸題，試題主要著眼于學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平和能力儲(chǔ)備，巧妙地將一個(gè)2倍角問(wèn)題融入兩個(gè)等腰三角形中，突出能力立意，關(guān)注核心知識(shí)，聚焦核心素養(yǎng).試題能較好地發(fā)揮考試的評(píng)價(jià)與導(dǎo)向功能，下面總結(jié)了幾種不同的解題思路與方法，試圖探尋試題背后的教與學(xué)的思考，以期與廣大同仁分享交流.

1 試題呈現(xiàn)

C. 90°-αD. 180°-3α

圖1

2 解法賞析

2.1 構(gòu)造角平分線模型

利用2倍角形成角平分線模型從而構(gòu)造全等(即等腰三角形頂角的外角正好是其中一個(gè)底角的2倍).

圖2

方法1 如圖2， 過(guò)點(diǎn)B分別作BE⊥AD，BF⊥AC，垂足分別為E、F，

所以∠EAB=∠BAC=2α，由BC=BD，

易證△BED≌△BFC，

所以∠ADB=∠ACB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

故∠BDC=2α，故選A.

點(diǎn)評(píng)由于等腰三角形頂角的外角正好是其中一個(gè)底角的2倍，而∠ABC也是等腰三角形底角∠ABD的2倍，即頂角∠BAD的一個(gè)外角與∠ABC構(gòu)成角平分線模型，再利用角平分線模型向角兩邊作垂線構(gòu)造全等三角形證明角相等，最后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算、轉(zhuǎn)化即可解決問(wèn)題.這種解法通俗易懂，也是解決此類(lèi)問(wèn)題重要方法.

圖3

方法2 如圖3，延長(zhǎng)DA至E，使AE=AC，

易證△AEB≌△ACB，

故BE=BC=BD，

即∠E=∠ADB=∠ACB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

所以∠BDC=2α，故選A.

點(diǎn)評(píng)同方法一類(lèi)似，利用角平分線模型在DA的延長(zhǎng)線上截取AE=AC，構(gòu)造具有對(duì)稱(chēng)關(guān)系的全等三角形，從而產(chǎn)生等腰三角形△BDE，再用類(lèi)似的方法轉(zhuǎn)化計(jì)算.這種方法學(xué)生也容易理解并掌握，關(guān)鍵還是在于這個(gè)“隱藏”的角平分線信息的提取.

2.2 構(gòu)造等腰三角形模型

圖4

方法3 如圖4，延長(zhǎng)CA至E，使AE=AB.

所以∠EAB=∠BAD，

易證△AEB≌△ADB，

故BE=BD=BC，

故∠E=∠ADB=∠ACB=α，易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

則∠BDC=2α，故選A.

點(diǎn)評(píng)利用2倍角向外作等腰三角形模型，從而產(chǎn)生于原等腰三角形成軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系的全等三角形，從而證明△BCE為等腰三角形.這種方法也是處理2倍角幾何問(wèn)題最常見(jiàn)方法之一.

2.3 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型

圖5

所以 ∠BAC=∠DAE=2α，

易證△BAC≌△DAE，

所以∠E=∠ACB=∠ADB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

故∠BDC=2α，故選A.

點(diǎn)評(píng)：由于等腰三角形△ABD的頂角的外角正好等于∠ABC，利用這一相等關(guān)系旋轉(zhuǎn)△ABC向外構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形，也同樣能產(chǎn)生等腰三角形△BDE.再借助等腰三角形及三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化計(jì)算.這也是一種較常見(jiàn)的幾何變換構(gòu)造方法.

3 題后反思

對(duì)于這類(lèi)角平分線模型“隱藏”很深的題目，學(xué)生往往不容易發(fā)現(xiàn)，從而產(chǎn)生“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困惑，究其根源還是學(xué)生對(duì)題目信息的解讀不準(zhǔn)確，對(duì)數(shù)學(xué)模型及相關(guān)性質(zhì)不熟練，數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力形成不夠.而一旦學(xué)生從已知條件解讀出“隱藏”的幾何模型及其關(guān)系，就會(huì)獲得“柳暗花明又一村”的頓悟.

3.1 挖掘模型本質(zhì)，尋求解題策略

幾何問(wèn)題通常由基本圖形或基本幾何模型構(gòu)成，掌握了這些基本圖形或基本幾何模型及相關(guān)性質(zhì)就能夠解決一般的幾何問(wèn)題.而在實(shí)際應(yīng)用中一些基本圖形往往經(jīng)過(guò)“抽絲剝繭”或是“特殊化”等方式隱藏在圖形之中，學(xué)生往往不易發(fā)現(xiàn)，這就要求平時(shí)要強(qiáng)化讀圖、識(shí)圖的教學(xué)，通過(guò)一題多解、一題多變，深度挖掘幾何模型的基本性質(zhì)特征，探索數(shù)學(xué)解題的基本策略.

3.2 關(guān)注模型疊加，強(qiáng)化模型應(yīng)用

在實(shí)際解題應(yīng)用過(guò)程中，較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往不會(huì)是一個(gè)單一的幾何模型，而是多個(gè)模型的疊加，特別是幾何壓軸題.在教學(xué)中要多引導(dǎo)學(xué)生耐心觀察，仔細(xì)分析，依據(jù)條件挖掘基本模型，尋找多個(gè)模型之間的交叉點(diǎn)，合理轉(zhuǎn)化，深化應(yīng)用，提高學(xué)生識(shí)別的應(yīng)用能力，力爭(zhēng)做到遇到問(wèn)題“站得高，看得遠(yuǎn)，信心足”.

3.3 突出通性通法，提升學(xué)科素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的積累，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，突出核心知識(shí)，熟悉常見(jiàn)的基本幾何模型及其性質(zhì)特征，注重?cái)?shù)學(xué)通性通法.關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)體系與生活的密切聯(lián)系，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)科綜合素養(yǎng).