堆石顆粒強度的尺寸效應研究

米曉飛，遲世春

(1.大連理工大學 海岸與近海工程國家重點試驗室， 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 建設工程學部水利工程學院 工程抗震研究所， 遼寧 大連 116024))

堆石壩的變形問題一直是當前高土石壩安全設計時的重中之重[1]，作為壩體的主要支撐材料，堆石料一方面易發生破碎，另一方面由于粒徑大，室內試驗設備尺寸有限，只能對縮尺后的粗粒料進行的試驗結果來推算壩體變形。大量研究表明小尺寸試樣的變形特性與原型試樣之間存在明顯的尺寸效應，對大壩變形的估算也經常出現高壩算小，低壩算大的情況。因而，研究堆石顆粒破碎以及堆石顆粒強度的尺寸效應具有重要的意義[2]。

Marsal等[3]提出用顆粒破碎率Bg對粗粒土顆粒破碎程度進行度量，來表示顆粒破碎的程度。馬剛等[4]提出采用考慮顆粒破碎效應的隨機顆粒不連續變形方法SGDD研究堆石料尺寸效應的細觀機制。傅華等[5]深入研究了粗顆粒土的破碎特性，并認為母巖強度、應力狀態、級配以及圍壓等因素對顆粒破碎具有一定的影響。徐永福等[6]提出了巖石顆粒破碎強度尺寸效應規律，并建立了關于巖石顆粒的破碎強度與粒徑大小的關系，呈現冪指數的規律。周海娟等[7]用數值模擬的方法模擬了單個顆粒在壓縮破碎時的破碎過程，并證明不同粒徑堆石顆粒壓縮強度確實存在著明顯的尺寸效應。劉漢龍等[8]通過室內的大型三軸試驗，發現了堆石粗粒料顆粒破碎增加會導致抗剪強度的降低，并提出了峰值內摩擦角與顆粒破碎率之間的冪數關系。

Weibull統計理論是對尺寸效應的傳統解釋，Mcdowell等[9]曾對0.5 mm、1.0 mm、2.0 mm粒徑的石英砂做了單軸壓縮實驗，并發現不同粒徑的石英砂的壓縮強度可以用Weibull分布進行擬合，且效果較好。Ovalle等[10]采用Weibull統計分布函數分析了巖石粒徑對巖石骨料破碎強度的影響，并提出了4參數Weibull尺寸效應影響程度公式。Rozenblat等[11]認為在大多數情況下，單個顆粒破碎強度分布均可以Weibull分布、對數正態分布以及Logistic分布函數來進行很好地擬合，但是Logistic分布函數才是最精確和簡便的，并提出了關于顆粒破碎強度的擴展的Logistic函數分布，并對其中的參數進行了研究及說明。

前人對單顆粒強度的研究主要集中在較小的粒徑范圍，得到的尺寸效應規律外推是否合適也是一個值得思考和研究的問題。本文根據一般堆石料粒徑的分布范圍，選擇20 mm～240 mm范圍內的石灰石顆粒進行了大量的單粒強度試驗和顆粒篩分試驗，對顆粒強度隨粒徑的變化規律和破碎后碎片的分布規律進行了研究。

1 堆石顆粒破碎強度試驗

本次試驗選用大連地區某大型石料廠爆破料，巖性是大連石灰巖，顆粒飽滿、棱角分明。篩取粒徑范圍為20～22 mm、22～24 mm、24～26 mm、26～28 mm、28～30 mm、30～32 mm、32～34 mm、34～36 mm、36～38 mm、38～40 mm以及粒徑為60 mm、120 mm、240 mm的大連石灰石顆粒，共13組粒徑石灰巖，每粒組試驗顆粒數量100顆。

如圖1所示，儀器采用南京中之巖測控技術有限公司出品的DYQ-1型號的單粒巖塊強度測試儀，被加載的顆粒上下相當于兩個剛度無限大的平行鋼板，通過兩個鋼板擠壓堆石顆粒，直至顆粒發生主體破碎，加載速率為0.5 mm/min。圖2為顆粒破碎前后及其力與曲線關系圖。

圖1 單粒巖塊強度測試儀

圖2堆石顆粒力與位移曲線及破碎前照片

試驗過程中，顆粒破碎的標準是發生主體破壞，即顆粒發生一分為幾的毀滅性破壞或者出現貫通性裂縫[1]。顆粒在加載過程中力與位移曲線將出現鋸齒狀上升的趨勢，如圖2力與位移曲線關系圖所示，小鋸齒出現是由于天然堆石顆粒存在很多不規則棱角，在加載過程中，這些小棱角慢慢被磨平和破壞，使得曲線出現小幅度的抖動。而本文選擇曲線的峰值點為顆粒發生主體破碎時的破壞點，其對應的力就是顆粒破碎時的峰值力，位移就是顆粒發生破碎時發生的變形。

2 顆粒破碎模式的探究

Nakata等[12]曾對石英砂單粒破碎試驗中提出5種破碎模型：無明顯損壞型、單一磨損型、多棱角破壞型、大分裂破壞型以及二次破壞型。Tapias等[13]也對堆石料的單粒加載試驗中提出了2種破碎模型：棱角破壞、爆炸破壞。Wang等[14]用高速顯微攝像機拍攝了沙子單粒加載時的破壞過程，并提出了關于沙子單粒破壞時的4種破碎模式：裂開式、破裂式、爆裂式以及爆碎式。雖然國內外學者提出了關于單粒加載過程中的破壞模式，但是由于他們試驗的對象粒徑較小，一般小于5 mm，難以準確的觀察和判定顆粒破碎時的情況，故而并沒有統一的破碎模式被認同。而本文試驗的對象包含120 mm、240 mm等超大粒徑的單粒，在加載過程中能夠明顯地觀察顆粒破碎時的模式。圖3—圖6是根據120 mm粒徑大連石灰石單粒破碎時總結的4種顆粒破碎模式。

(1) 爆裂式破碎。如圖3所示，分別為顆粒破碎前、破碎后及其力與位移曲線圖。爆裂式破碎模式情況下的顆粒破碎過程特征如下：顆粒一分為二，破碎后的小顆粒和碎末很少(幾乎沒有)，同時可以觀察到顆粒所受的力大幅度降至很低乃至0(kN)左右。

圖3爆裂式破碎顆粒前后及其力與位移曲線關系圖

(2)分裂式破碎。如圖4所示，分裂式破碎模式下的顆粒破碎特征如下：顆粒破碎后分裂成3～5部分，加載過程中會出現邊角破壞的情況，破碎后有些許的小顆粒和粉末產生，同時可以觀察到顆粒所受的力會有較大幅度，下降至少50%。

(3)粉碎式破碎。圖5羅列了粉碎式破碎模式下破碎前、破碎后以及力與位移曲線，其破碎特征如下：顆粒破碎后分裂成很多部分，加載過程中曲線比較平穩，破碎后有大量的小粒徑顆粒和較多的粉末產生，主要通過觀察到裂縫產生以及力會有下降，但是幅度不是很大，大致會降峰值力1/3左右。

(4)貫通縫式破碎。如圖6所示，貫通縫式破碎模式特征主要包括以下幾點：顆粒破碎后并未分開，而是裂開了一條明顯的縫隙，此時力有大于50%幅度的下降，破碎后能明顯的觀察到顆粒的貫通縫。在試驗過程中，要特別注意貫通縫式破壞，因為在加載時并不會輕易觀察到貫通縫的發生，特別是粒徑比較小的顆粒。

圖4 分裂式破碎顆粒前后對比及其力與位移曲線關系圖

圖5 粉碎式破碎顆粒前后對比及其力與位移曲線關系圖

圖6貫通縫式破碎顆粒前后對比及其力與位移曲線關系圖

3 堆石料單粒強度統計分布

3.1 Logistic統計學分布

在巴西圓盤劈裂試驗[14]中，提出巖石的最大拉伸應力用下式表示：

(1)

其中：F為最大軸向荷載；d為顆粒的加載高度即上下鋼板之間的距離；σf為顆粒破碎時的最大劈裂應力。Cavarretta等[15]在2012年對不規則顆粒的單軸壓縮試驗中，提出不規則顆粒的最大拉伸應力，可以用下式表示：

(2)

Jaeger[16]以及Lee[17]分別在1967年以及1992年提出顆粒在單軸壓縮試驗中，最大拉伸應力應該表示如下：

(3)

上述研究工作均表明用F/d2來表示夾在兩個鋼板之間的顆粒的最大劈裂應力是比較合理的，而由于0.9<1<π/2，本文便采用式(3)來表示堆石顆粒的最大劈裂應力。

Woitzik等[18]在測定兩個鋼板之間被加載顆粒破碎強度的試驗中提出，Logistic函數相比于傳統的Weibull函數來說，其表達形式更加簡潔方便，也更加能精確地擬合不同粒徑單個顆粒破碎強度尺寸效應曲線。Logistic累積分布函數FX(x)表達式如下：

(4)

其中：X50表示均值參數；S表示曲線分布寬度的形狀參數，S越大表示Logistic函數分布曲線越窄，而且S是與顆粒粒徑無關的參數，只與試驗材料性質有關；x是隨機變量，在這里代表不同顆粒的破碎強度，如圖7所示。

圖7 Logistic累積分布函數示意圖

參照Logistic累積分布函數形式，并根據Rozenblat等[11]在文獻中對Logistic統計函數的表達，本文選擇用下式表示不同粒徑堆石顆粒的破碎強度：

(5)

其中：P表示堆石顆粒的破碎概率；S表示曲線分布的分散性，只與試驗材料性質有關，如石英、砂石以及大連石灰石都具有不同的S值。σc表示顆粒所受的破碎應力，σ50表示該粒組的特征均值破碎應力。圖8(a)—圖8(n)描述了不同粒組的顆粒強度與破碎概率曲線與Logistic統計函數曲線擬合效果圖，縱軸Pf代表顆粒的破碎概率，橫軸σc表示顆粒所受的破碎應力。

由圖8知，對于每組堆石顆粒，顆粒的破碎強度與顆粒的破碎概率基本上呈現Logistic曲線分布關系，且擬合效果非常好。表1列舉了每個粒組的σ50值與S值，從表1可以看出，σ50隨著顆粒粒徑的增大不斷減小，表明顆粒強度是隨著粒徑的不斷增大逐漸減小的，即顆粒粒徑越大，裂縫數量較多，裂縫長度較長，越容易破碎，故而破碎強度越低，具有明顯的尺寸效應，而S值基本上浮動在3.8左右。

表1 堆石顆粒單粒強度試驗的基本參數

Woitzik等[18]測得Poraver和Omega的S值分別為5.18和4.33，Rozenblat等[11]測得0.7 mm～4 mm粒徑的Salt的S值在4.8左右浮動。從上可見，S值對于不同種巖性的顆粒是不同的，而對于同一種巖性的材料，即使是不同粒徑，S值基本上浮動在一個定值附近。正如Weibull分布中的模量m值一樣，只與材料性質有關，原因就是顆粒破碎的原理，即顆粒破碎主要是由于顆粒原始裂縫不斷發展所致，而同一種巖性的堆石顆粒原始裂縫的分布大致，導致其顆粒強度分布的分散性大致相似，而與粒徑的大小無關[19]。

圖8各組粒徑堆石單顆粒強度的Logistic分布圖

3.2 基于Logistic分布上的尺寸效應公式

關于堆石顆粒單粒破碎強度與粒徑大小的關系，國內外學者都做了大量的研究工作。Marsal[3]曾在1967年對堆石顆粒單粒加載試驗過程中發現，堆石顆粒的破碎強度與堆石顆粒粒徑呈現冪函數的關系。Lee[17]對Leighton Buzzard sand、Carboniferous limestone以及Oolitic limestone三種巖性的顆粒進行單粒加載試驗，發現三種巖性的單粒破碎強度與顆粒粒徑的關系可以表示為σ∝db，而參數b只與巖性有關，對于特定巖性的巖石，b是定值。而在2013年，Ovalle等[10]在Weibull理論和前人的研究基礎上，提出引入描述顆粒形狀自相似的參數對冪函數進行改進，即將公式改為σ∝d-n/m，其中n為形狀參數，表示顆粒的形狀自相似程度，m為Weibull模量。

本文在Ovalle等人研究的基礎上，并結合上述介紹的Logistic統計函數，提出了關于大連石灰石堆石顆粒考慮尺寸效應的顆粒強度公式，具體公式如下：

σ50=λd-n/S

(6)

式中：σ50表示該粒徑顆粒的特征均值破碎應力；S表示大連石灰石在Logistic分布曲線上的分散性；n表示顆粒形狀參數，n值越大顆粒外形自相似程度越高；λ是該試驗公式的經驗參數；d取每粒組的平均值。式子(6)通過擬合每組σ50和d的關系曲線圖，從而得到經驗參數λ和n，如圖9所示。

通過對每粒組試驗特征均值強度及平均加載高度進行擬合，進而得到了上述尺寸效應公式的經驗參數λ=70.311，n=2.386，將參數代回式(6)，從而得到大連石灰石顆粒考慮尺寸效應的顆粒強度公式如下：

圖9基于Logistic函數上的單粒強度與粒徑關系曲線

σ50=70.311d-2.386/3.887

(7)

得到了上述尺寸效應公式，便可以直接預測較大粒徑顆粒的特征均值強度。

3.3 顆粒破碎后的分形分布

分形分布理論是Mandelbrot[20]在20世紀70年代提出的，用來描述那些外形較為相似但并不規則的物體，自從分形分布被提出以后，就被廣泛應用于顆粒破碎模型中，Mcdowell曾在對砂子的固結壓縮試驗后，對顆粒粒徑進行篩分，發現粒徑級配曲線較好的服從分形分布，關系如下[14]：

(8)

參照Mcdowell的研究工作，在上式的基礎上，本文也嘗試用分形分布來描述大連石灰石同一粒組顆粒破碎后的形態，顆粒粒組的質量含量占比與顆粒粒徑的關系如下[1]：

(9)

這里，di表示圓篩的孔徑；dmax表示最大圓篩的孔徑；D表示分形維數；Pd

(10)

將20～22 mm、24～26 mm、28～30 mm、32～34 mm、36～38 mm五個粒組單粒加載實驗后的破碎顆粒用篩子進行篩分，其粒徑范圍的占比分布如圖10所示，從圖10中可以明顯的看出，破碎后的新的顆粒粒徑分布曲線近似為一條直線，表明大連石灰石單粒破碎試驗后級配曲線較好的滿足分形分布。不同粒組破碎后級配曲線基本平行，說明分形維數基本上是個定值，在2.15～2.20之間，也側面反映了堆石顆粒的分裂破碎是由其巖性決定。

圖10各粒組顆粒破碎后的粒徑級配曲線

4 結 論

(1) 堆石顆粒破碎強度分布基本滿足Logistic分布曲線，且相關性均在99%以上。顆粒特征均值強度具有明顯的尺寸效應，即粒徑越大，特征均值強度越小。各粒組顆粒破碎強度分散性大致相同，只與材料巖性有關，大連石灰石顆粒強度分散系數在3.88左右。

(2) 提出了顆粒的四種分裂模式：爆破式、分裂式、粉碎式和貫通式。

(3) 基于Logistic統計分布，推導出了考慮尺寸效應的顆粒強度公式，石灰巖的均值特征強度強度隨粒徑的增大而減小，即σ50=70.311d-2.386/3.887。

(4) 對各粒組破碎后的碎片進行篩分，發現破碎后的顆粒能用分形分布較好的擬合，且各個粒組的分形維數較為接近，在2.15～2.20之間。