帶裂縫圓弧曲梁面內振動方程的攝動解析

何文正，徐林生

(1.重慶交通大學 山區公路水運交通地質減災重慶市高校市級重點實驗室， 重慶 400074；2.重慶廣播電視大學 城市建設工程學院， 重慶 401520)

曲梁在公路橋梁工程中已經得到廣泛的應用，其動力特性是曲梁結構設計中所關注的重要內容,隨著使用年限的增加，橋梁結構的強度和剛度將下降[1]，在復雜的工作環境下可能會產生開裂損傷，如果曲梁出現裂縫，其動力特性就會產生變化，通過研究橋梁結構動力特性的變化來識別其損傷特性是當前一個重要研究課題。如何準確模擬和分析裂紋對橋梁工程的曲梁動力特性具有重要意義。

曲梁的振動問題國內外已有廣泛的研究[2-7]。但由于曲梁計算理論十分繁冗和帶損傷問題的復雜性，在現有曲梁的研究文獻中，曲梁振動問題研究對象均為無損傷的完整曲梁，研究中均未考慮裂縫等損傷對曲梁的動力特性的影響；對于帶裂縫結構動力特性的研究成果則主要集中在直線梁。現有的研究中裂縫模擬方法主要分兩種：第一種為無質量轉動等效彈簧模擬裂紋[8-10]，該方法缺點在于模擬裂紋的等效彈簧模型計算復雜，且不能直接描述裂縫特性；另一種方法為直接將梁開口裂紋模擬成梁微段內的橫截面折減，采用攝動法分析裂紋梁的動力特性。一些學者基于攝動理論對帶開口裂縫橋梁的簡支梁、懸臂梁以及連續梁[11-13]動力特性進行了研究 ,但是以上文獻研究對象均為直梁，帶裂縫曲線梁的動力特性及損傷識別理論還有待于進一步研究；目前本文基于圓弧曲梁面內自由振動微分方程，采用攝動法將裂縫損傷展開成一階攝動，推導了帶裂縫曲梁固有頻率、模態振型的解析式，通過數值計算驗證了所提公式的正確性，分析了不同損傷程度下的動力參數的的變化規律，為帶損傷的曲梁動力特性及損傷識別理論研究作了必要準備工作。

1 帶裂縫圓弧曲梁振動方程

1.1 帶裂縫圓弧曲梁的基本計算模型

以等截面勻質圓弧曲梁(以下簡稱為曲梁)為研究對象，采用三維流動直角坐標系，沿曲梁形心軸的切向方向為x軸，圓心方向為z軸，垂直于曲線平面向下方向為y軸；坐標系符合右手螺旋法則，如圖1所示。

圖1三維流動直角坐標系

圖2為一矩形截面圓弧曲梁裂縫計算模型，曲梁梁半徑為R,長度為l，橫截面高度為h，寬度為b，假定在曲梁的xd處有一處裂縫，裂縫深度為hd，寬度為Δl，則損傷部分梁的截面慣性矩為：

(1)

Id=I0(1-3ε)

(2)

同理，令m0=ρbh，ρ為材料密度，那么在梁的損傷部分，單位長度梁的質量為：

md=ρb(h-hd)=m0(1-ε)

(3)

如果在曲梁在xd處的小區域內存在裂縫，考慮在曲梁的全部長度上，其截面慣性矩的函數表達式可以用窗函數D來進行表示，定義窗函數

(4)

那么在梁的全部長度上，截面慣性矩的函數表達式為：

Id(x)=I0[1-3εD(x-xd)]

(5)

同理在梁的全長范圍內，單位長度質量也可以用窗函數表示為：

md(x)=m0[1-εD(x-xd)] (6)

圖2帶裂縫曲梁模型

由于彎扭耦合導致面外振動求解極為復雜，本文中暫只考慮面內振動的情況，文獻[14]推導了單跨簡支預應力圓弧曲梁面內振動微分方程，本文中直接引用該文獻導出的方程，令預加力P=0即可得到無損傷狀態下曲梁振動微分方程：

(7)

上式中v為曲梁的徑向位移函數，采用分離變量法可以得到方程：

(8)

式中：λ為特征值；φ為振型函數。

在無損傷狀態下彈性模量Id(x)和單位長度質量md(x)分別為常數I0和m0，可采用分離變量法[15]求解得到無損傷曲梁的第i階特征值和振型函數：

(9)

(10)

其中Ai為任意非零常數。

將式(5)和式(6)代入式(8)可以得到帶裂縫狀態下曲梁的自由振動微分方程：

(11)

1.2 帶裂縫曲梁動力學方程的攝動解

裂縫深度遠小于截面高度，ε和Δl均為小量，假定開裂后曲梁的特征值和振型函數是開裂前的一個微小擾動，根據攝動理論，開裂后的特征值和振型可表示為：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

ηij為組合系數。

(17)

(18)

由積分中值定理可知：

(19)

(20)

(21)

(22)

分別考慮當i=k和i≠k時的情況，可以求得：

(23)

(24)

將式(16)、式(23)、式(24)代入式(12)和式(13)，進一步化簡后得：

(25)

(26)

由式(25)和式(26)可以看出，當裂縫寬度或者裂縫相對深度為零的時候，振型和特征值的一階攝動值均為零，即退化為無損傷狀態下的曲梁特征值問題。

2 算例分析

2.1 數值驗證和適用性分析

采用有限元數值分析方法驗證所提方法的正確性和適用范圍，無損傷狀態的曲梁計算模型各物理參數見表1。

表1 曲梁物理參數

2.1.1 圓心角對自振頻率的影響

圖3圓心角對曲梁自振頻率的影響

表2 不同圓心角曲梁自振頻率計算結果

由表2可以看出，在梁長一定的情況下圓心角越小，自振頻率越大，數值分析結果和理論分析結果一致，其中當圓心角θ=π/2時，理論結果與數值分析結果相比，一階頻率的誤差為3.537%，二階頻率的誤差為6.135%；隨著圓心角的不斷減小，相對誤差也逐漸減小，當θ=3π/8時，一階和二階頻率的誤差均小于1%，本文提出的公式適用于圓心角θ=3π/8時的計算，當圓心角較大即半徑過小的時候不宜用本文的公式進行計算，而應該考慮用拱的理論。

2.1.2 裂縫深度自振頻率的影響

假定曲梁在跨中處存在裂縫，裂縫的相對深度ε分別取0.05、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，裂縫寬度取5 mm。采用梁單元模擬曲梁，裂縫采用截面高度折減方式模擬，進行特征值分析求解自振頻率。運用式(25)計算帶裂縫曲梁自振頻率理論值，理論分析結果和數值分析結果見表3。

由計算結果表3可以看出，當裂縫相對深度小于等于0.3的時候，數值計算結果和理論計算結果吻合，其中一階頻率計算最大相對誤差為0.265%，二階頻率最大相對誤差為0.814%，誤差較小。但是當裂縫相對深度大于0.3時，理論計算結果和數值分析結果偏差有增大趨勢。這是由于攝動法本身適用于解決“小擾動”的問題，而當ε過大的時候已經不能再將截面的折減視為“小擾動”，此時本方法不再適用。

另外理論分析和數值分析都可以看出，裂縫位于跨中部位時，對一階頻率的影響較大，而對二階頻率幾乎沒有影響，這是因為裂縫所在的跨中位置位于一階振型的峰值處和二階振型的反彎點處。裂縫位置對動力特性的影響不可忽略。

表3 跨中存在裂縫時頻率計算結果

2.2 裂縫對動力特性的影響

由數值驗證分析可知裂縫位置與曲梁動力特性的變化有很大的關系，裂縫深度和裂縫寬度都對自振頻率有一定的影響；以前述曲梁為例，用式(25)進行計算，繪制裂縫深度和裂縫寬度對頻率的影響圖形，由于其他裂縫對一階頻率的影響與其他階次頻率的影響圖形相差不大，文中只繪制了裂縫寬度和深度對一階頻率的影響圖形，見圖4；裂縫位置對一階—四階頻率的影響見圖5—圖8。由計算結果可以看出，裂縫寬度和相對深度越大，頻率降低越多，但總體上頻率下降幅度很小，分析認為自振頻率是一個整體的指標，而局部微裂縫對曲梁整體剛度和質量分布的影響很小，故局部的梁裂縫對曲梁自振頻率影響較小，無法通過自振頻率的變化來有效識別曲梁的損傷。

圖4 裂縫寬度和深度對一階頻率的影響

圖5 不同位置裂縫對一階頻率的影響

圖6 不同位置裂縫對二階頻率的影響

圖7不同位置裂縫對三階頻率的影響

圖8不同位置裂縫對四階頻率的影響

此外裂縫的位置對曲梁各階次的頻率變化有較大的影響，其影響與各階次的振型有明顯的相關性。當裂縫位于振型的峰值附近時影響較大，而位于振型的反彎點的時候則幾乎沒有影響。

3 結 論

推導了帶裂縫曲梁振動微分方程，采用攝動法求解方程得到了帶裂縫曲梁的面內模態頻率和振型近似解析計算公式。進行數值計算驗證了公式的正確性，分析了其適用范圍，得到以下結論。

(1) 在梁長一定的情況下，本文的公式在圓心角θ<3π/8時有較高的計算精度，但是θ>3π/8時會有較大的誤差，此時應考慮使用拱的理論。

(2) 隨著裂縫深度和裂縫寬度越大，曲梁自振頻率下降越多，且裂縫位置對曲梁各階次的頻率的影響與各階次的振型形狀相關；但是當裂縫損傷程度較小的情況下，帶裂縫曲梁的動力特性與完好曲梁相差不大。