基于相關系數的IOWGA算子區間組合預測方法

陳然 熊一珊 周悅

摘要：各種錯綜復雜的因素導致數據表現出不確定性，區間型數據為取值在一定邊界的現象提供了強有力的分析工具。為提高區間型觀測信息的預測精度，本文結合相關系數和誘導有序加權平均（IOWGA）算子給出一類區間值時間序列的組合預測模型。通過最大化實際值和基于IOWGA算子的組合預測值區間中心和半徑序列的相似性程度，給出組合預測的一類客觀權重信息確定方法。最后，結合實例表明本文所提出的區間型信息組合預測模型能夠有效提高預測精度。

Abstract： All kinds of complicated factors lead to the uncertainty of the data. The interval data provides a powerful analytical tool for the phenomenon of taking value at a certain boundary. In order to improve the prediction accuracy of interval type observation information， this paper presents a combined prediction model of interval value time series by combining correlation coefficient and induced ordered weighted average （IOWGA） operator. By maximizing the similarity between the actual value and the combination predicted value based on IOWGA operator， a kind of objective weight information determination method of combination forecast is proposed. Finally， an example shows that the interval information combination prediction model proposed in this paper can effectively improve the prediction accuracy.

關鍵詞：預測精度;相關系數;IOWGA算子;組合預測

Key words： prediction accuracy;correlation coefficient;IOWGA operator;combination prediction

中圖分類號：TP273? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）21-0207-04

0? 引言

在對對象進行預測時，由于數據產生的速度不斷加快以及體量的不斷增加，那么預測就存在不確定性，單一的預測方法可能只考慮了一部分的信息，缺少部分重要性的信息。因此，Bates和Granger[1]在1969年首次對組合預測方法進行系統研究，其研究成果引起許多學者的重視。此后，組合預測方法的研究受到高度重視，并且在組合預測方法上取得了許多研究成果[2-7]。

文獻[8]中提出了有序加權平均（OWA）算子的概念，之后一系列信息集成算子理論的提出都是基于OWA算子的概念之上[9-11]，隨著社會的進步，學者們將視覺從實數預測轉變到區間組合預測，探究到區間組合預測具有更強的實用性。陳華友[11]等提出了誘導有序加權幾何平均算子（IOWGA），后續學者們將IOWGA算子用于區間組合預測，取得了很好的效果。文獻[12]中研究了基于相關系數的IOWGA算子的關于實數的最優組合預測。

在現有的組合預測方法中，給出了基于有效度、灰色關聯度、基于相關系數[13-15]，等等，與各種算子相結合的組合預測方法，這些方法都被證明了是可以提高預測精度的。本文在此基礎上，結合IOWGA算子，進行了區間值的組合預測，首先對原本的區間值進行簡單的變換，使用區間中點和區間半徑來刻畫區間值，區間中點可以反映區間的均值信息，區間半徑可以用來反映區間的波動情況，將區間中點和半徑的預測精度作為誘導值帶入IOWGA算子中，從相關系數層面對區間中點和區間半徑進行研究，建立相應的組合預測模型，并通過實例驗證了本文提出的模型是有效可行的。

1? 預備知識

在這里，首先給出一些關于區間值信息與相關運算的定義，后文中會運用到相關的定義與運算，具體如下：

定義1[16] 設 為非負區間數，區間數a就可以用區間中點ma和區間半徑ra來表示，即 。其中

為對相似的預測區間進行集成，給出IOWGA算子的定義：

定義2[6] 設 為n個二維數組，則稱

為IOWGA算子，ui為ai的誘導值。其中 是 按從大到小的順序排列的第i大的數的下標， 是與IOWGA有關的加權向量，滿足 IOWGA算子是對誘導值 按照從大到小的順序排序后對應的 進行有序加權平均，？棕i與？琢i的大小和位置無關，而是與其誘導值所在的位置有關。

2? 基于相關系數的IOWGA算子的區間組合預測模型

由于現實生活中各種錯綜復雜的因素，導致了數據的不確定性，所以，在這里假設某個指標序列為區間數時間序列，可將其設為 。設有m種單項預測方法對其進行區間預測，第i種單項預測方法在第t時刻的預測區間值可表示為 。本文提出的基于相關系數的IOWGA算子的步驟如下：

Step1. 對于給出的實際觀察序列 和各單項預測序列區間值 由式（2）計算區間值的中點和半徑表示形式。

Step2. 計算每個時點各單項預測值中點和半徑的精度，并按照由大到小的順序排列[16]：

uit稱為第i種單項預測方法在第t時刻的預測精度，其中 。我們將預測精度uit作為誘導值，與單項預測序列可組合成m個二維區間數組 。

Step3. 對于每個時點的各單項預測值的中點和半徑按照對應精度的排列順序分別賦予相應的權重值 ，可以求得區間組合預測值的中點和半徑分別是 。

其中 是uit按照從大到小的順序排列的第i大的數的下標，

Step4. 分別計算區間組合預測值中點和半徑與實際觀測值之間的相關系數：

Rm是基于IOWGA算子的區間組合預測方法中預測值的中點序列 與實際區間觀測值中點序列 的對數相關系數，Rr是基于IOWGA算子的區間組合預測方法中預測值的半徑序列 與實際區間觀測值半徑序列 的對數相關系數。其中

，當Rm和Rr越接近于1，即預測值與實際值的對數相關系數越大，預測值與實際值越接近，兩者之間的誤差越小，預測值越可靠。令：

，則稱 分別為基于相關系數及IOWGA算子的區間組合預測模型的中點和半徑誤差信息矩陣。有：

將式（6）分別記為 ，我們所期望的是預測值具有更高的可靠性，這里就要求對數相關系數足夠大，則應使得區間組合預測值的中點和半徑序列的對數相關系數最大化，則有：

上面的目標函數模型是多目標的非線性最優化問題， 求解比較復雜，為了簡化問題的求解，這里需要引入一個變量？籽，使得多目標規劃問題變為單目標的非線性規劃問題。最終的目標函數為：

3? 實例分析

為了驗證基于相關系數的IOWGA算子下的連續區間組合預測值的有效性，利用文獻[14]的數據，對于本文提出的模型進行了實例分析，表1給出了實際觀測值與各單項預測值的信息。

這里取參數？籽=0.5，使用軟件處理工具（lingo），求出該區間組合預測模型的最優權重解為？棕1=0.3427，？棕2=2865，？棕3=0.3708。

下面從4種誤差指標進行模型效果分析，各指標結果如表2。

我們可以看到本文提出的基于相關系數的IOWGA算子的組合預測模型（？籽=0.5）的MSEP和MSEI值都是比較小的，相對單項預測方法來說，這2項指標明顯降低，而MSEL和MRIE值并非最小，但也不是最大的，說明本文提出的方法是非劣性的。綜合來看，基于相關系數的IOWGA算子的組合預測方法可以很好地提高預測精度。

下面對最優化模型中的參數？籽作靈敏度分析，參數？籽是對組合預測區間中點和半徑的重要性程度的度量。由目標函數的表達式可知，最優權重隨著？籽的變化而變化，因此，得到的預測值也不是唯一的。為了分析對所有的參數？籽的取值，模型是否具有有效性，這里需要對參數？籽的取值作靈敏度分析。取？籽∈[0，1]，分別計算其對應的最優權重？棕1，？棕2 ，？棕3以及相應的誤差指標的值。

由靈敏度分析圖可知，隨著的增大，MSEP值是由穩定值逐漸減小到0.1附近，而MSEL值的變化則是和MSEP完全相反，MSEL值隨著？籽的增大而增大，MSEI先逐漸減小到最小值后迅速增大，MRIE先趨于穩定值后再減小，類似于MSEP的變化。總體觀察4個指標的變化趨勢，當？籽？燮0.5時，變化都很平穩，當？籽>0.5時，變化比較劇烈，因此，當我們選取？籽？燮0.5時，預測都會得到不錯的效果。

4? 結論

本文首先將區間值用區間中點和半徑來表示，計算出區間中點和半徑所對應的區間精度作為IOWGA算子的誘導值，結合相關系數和誘導有序加權平均（IOWGA）算子給出一類區間值時間序列的組合預測模型。通過最大化實際值和基于IOWGA算子的組合預測值之間區間中心序列和半徑序列的相似性程度，給出組合預測的一類客觀權重信息確定方法。最后根據4個誤差指標，通過實例分析驗證了本文提出的基于相關系數的IOWGA算子的區間組合預測方法是有效的。但本文是簡單地基于區間中點和區間半徑進行求解，缺乏基于區間值兩端點的討論，對于區間值兩端點的研究結果與本文的結果是否會有出入還需要進一步研究。

參考文獻：

[1]Bates J M， Granger C W J. The Combination of Forecasts[J]. Journal of the Operational Research Society，1969，20（4）：451-468.

[2]唐小我.最優組合預測方法及其應用[J].數理統計與管理， 1992（1）：31-35.

[3]Xie K， Zhou J. Research of the Weight Changeable Combination Forecast Model[J]. SYSTEMS ENGINEERING-THEORY & PRACTICE， 2000.

[4]Chao Z， Zhang Q. Weight Changeable Combination forecast method based On ACA[C]. IEEE International Conference on Industrial Engineering & Engineering Management， 2010.

[5]Hu Z， Ma J， Yang L， et al. Decomposition-Based Dynamic Adaptive Combination Forecasting for Monthly Electricity Demand[J]. Sustainability， 2019， 11.

[6]陳華友.組合預測方法有效性理論及其應用[M].科學出版社，2008.

[7]唐小我，馬永開，曾勇，等.現代組合預測和組合投資決策方法及應用[M].科學出版社，2003.

[8]Yager R R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making[J]. Readings in Fuzzy Sets for Intelligent Systems， 1993， 18（1）：80-87.

[9]Xu Z S， Da Q L. The uncertain OWA operator.[J]. International Journal of Intelligent Systems， 2002， 17（6）：569-575.

[10]Zhou L G ， Chen H Y ， José M. Merigó， et al. Uncertain generalized aggregation operators[J]. Expert Systems with Applications， 2012， 39（1）：1105-1117.

[11]Xu Z S. Dependent uncertain ordered weighted aggregation operators[J]. Information Fusion， 2008， 9（2）：310-316.

[12]陳華友，盛昭瀚.一類基于IOWGA算子的組合預測新方法[J].管理工程學報，2005，19（4）：36-39.

[13]丁子千，汪晶瑤，周禮剛，等.基于相關系數的IOWGA算子組合預測模型[J].運籌與管理，2010，19（4）：45-50.

[14]王應明.基于相關性的組合預測方法研究[J].預測，2002（2）：58-62.

[15]陳華友，李翔，金磊，等.基于相關系數及IOWA算子的區間組合預測方法[J].統計與決策，2012（6）：83-86.

[16]陳月.基于相關系數及誘導算子的組合預測模型研究[D]. 安徽大學，2014.

[17]周禮剛.幾類廣義信息集成算子及其在多屬性決策中的應用[D].安徽大學，2013.