帶有時延和丟包的變增益網絡化預測控制

楊洪玖，李 鵬

(燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

近年來，隨著計算機網絡的廣泛使用和通信技術的迅猛發展，網絡被越來越多地應用到控制系統中，從而產生了網絡化控制系統。隨著網絡技術的不斷發展，網絡通信能力得到了極大的提升，某些情況下的通信時延已經達到了很小的數量級，從而大大改善了網絡化控制系統的控制效果[1]。對于那些具有長時延和多丟包的網絡化控制系統，采用預測控制可以有效補償時延和丟包，使系統達到滿意的控制效果[2-3]。網絡化預測控制是一種基于時延的補償策略，因此需要知道網絡節點的時鐘信息。發送端發送數據包時，需要將發送時刻的時鐘信息也加上，從而接收端可以根據接收時刻與發送時刻的時鐘差值得到時延信息。對于某些網絡化控制系統，實現全部網絡節點的時鐘同步是不現實的，也是非必要的。對于網絡化控制來說，我們只關心系統的回路時延，即傳感器到控制器和控制器到執行器的時延之和，并總能用預測控制算法將回路時延補償掉。不同的是，精確的時鐘同步下，各個通道的單程時延都可以知道，從而減小控制器需要發送數據包的大小，節省網絡帶寬資源[4-5]。

針對一類控制器節點與被控對象節點時鐘非同步的網絡化控制系統，本文研究了對時延和丟包的變增益預測補償問題。在本文所設計的方案中，首先在本地端設置狀態觀測器來獲得更精確的狀態估計值。在預測控制器端，設計一套變增益網絡化預測控制算法來補償網絡中產生的時延和丟包[6-9]。通過錐補線性化的方法將控制器求解過程中的非線性矩陣不等式問題轉化為求解一組帶約束的線性矩陣不等式，得到了閉環網絡化控制系統漸近穩定的充分條件，同時得到滿足控制要求的狀態觀測器參數和一組隨時延變化的控制器增益。最后，通過倒立擺模型的數值仿真驗證了所提出方案的有效性。本文內容的主要貢獻點總結如下：

1) 針對帶有時延、丟包和時鐘非同步的網絡化控制系統，設計了變增益網絡化預測控制器補償時延和丟包。

2) 采用錐補線性化的方法將非線性矩陣不等式問題轉化為帶約束的線性矩陣不等式問題并求解優化問題。

3) 提出的設計方案降低了系統穩定性分析的保守性，同時簡化了控制器參數的設計和調節的過程。

在沒有特別聲明的情況下，本文中的所有矩陣都具有合適的維度。Rn表示n維歐幾里得空間，P-1和PT分別表示矩陣P的逆矩陣和轉置矩陣。I代表具有合適維度的單位矩陣。P>0表示矩陣P是一個正定對稱實數矩陣。N代表非負整數集合。表達式diag{·}表示對稱矩陣。記號*表示對稱矩陣中的對稱內容。

1 系統模型與問題描述

本文考慮如圖1所示的帶有時延和丟包的網絡化預測控制系統。

圖1 網絡化預測控制系統結構圖
Fig.1 Networked predictive control system diagram

在圖1中，被控對象的模型可描述為下面的離散方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),

(1)

y(k)=Cx(k),

(2)

式中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm和y(k)∈Rq分別代表系統的狀態向量，輸入向量和輸出向量，A、B和C是具有合適維度的已知常數矩陣。

為了方便本文研究，給出如下的假設條件。

假設1：系統模型(1)、(2)滿足(A,B)完全可控，(A,C)完全可觀測。傳感器、控制器和執行器均為時間驅動方式且具有相同的采樣周期。

假設2：所有發送到網絡中的數據包都有時間戳，網絡中傳感器節點和控制器節點的時鐘是非同步的，傳感器和執行器的時鐘是同步的。

假設3：傳感器到控制器通信網絡和控制器到執行器通信網絡中數據總的傳輸時延范圍為τ1∈{1,2,…，H} ，反饋通道和前向通道的最大連續丟包數分別為N和R，則回路總時延τ(k)的上界為H=M+N+R。

2 主要工作

2.1 狀態觀測器

考慮到系統狀態不可由傳感器測量的情況，設計如下形式的狀態觀測器

(3)

(A-LC)e(k)。

(4)

2.2 預測控制器

(5)

最后，預測控制器將計算得到的H個預測控制量打包成如下的形式

τ(k)=(tr-ts)/T。

對于時間驅動的傳感器和執行器，時延τ(k)總是整數。執行器將預測控制量u(k|k-τ(k))作為當前時刻的實際控制量。當下一采樣時刻沒有新的預測控制量數據包被接收時，則使用數據包中對下一時刻的預測控制量u(k+1|k-τ(k))作為真實控制量。

在這種固定增益的預測控制算法下，閉環網絡化控制系統的狀態方程可以用下式來描述

Ax(k)+BK(A+BK)τ(k)x(k-τ(k))-

BK(A+BK)τ(k)e(k-τ(k)),

(6)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，閉環系統可以描述成上述包含H個子系統的切換系統，應用切換系統理論可以得到系統漸近穩定的充分條件。如式(6)形式的系統穩定性證明已在文獻[10]中給出，此處不再贅述。

固定增益預測控制算法在傳輸時延和連續丟包步數較少時，可以很好地補償網絡中的時延和丟包。然而，控制器的參數K是針對系統中沒有時延和丟包的情況下設計的，雖然能夠使無網絡的控制系統獲得滿意的控制效果，但并沒有反映出網絡化控制系統中可能出現的時延，因此設計方法比較保守，并沒有考慮根據網絡時延情況來設計控制器。本文提出一種變增益網絡化預測控制方案，控制器參數根據時延信息來設計，可以得到保守性更低的設計方法，同時使系統獲得更好的控制效果。下面給出本文的變增益預測控制器設計方案。

(7)

作為真實控制量。同傳統預測控制方法一樣，當下一時刻執行器沒有接收到新的數據包時，使用可利用數據包中對下一時刻的預測控制量u(k+1|k-τ(k))作為系統的真實控制量。

由上述預測控制方案可得閉環網絡化控制系統的狀態方程為

(8)

令(BKτ(k)-BK0(A+BK0)τ(k))x(k-τ(k))=BK0e(k)，則系統狀態方程可改寫為

x(k+1)=Ax(k)+
BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0e(k)-BKτ(k)e(k-τ(k))=
Ax(k)+BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0(A-LC)He(k-H)-
BKτ(k)(A-LC)H-τ(k)e(k-H)),

(9)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，K0和L為在無網絡情況下能夠使系統漸近穩定的控制器參數和觀測器參數，可以由極點配置的方法來得到。

由式(4)和(9)，閉環網絡化控制系統可以描述為下式所示的切換系統

(10)

式中，

2.3 系統穩定性分析

定理1 對于切換系統(10)，如果存在一個合適維數的正定對稱矩陣P>0使得對于所有的τ(k)=1,2,…,H，都有

(11)

那么閉環切換系統在任意切換律下漸近穩定。

證明根據切換系統理論，如果對所有的子系統存在一個公共的李雅普諾夫函數，且該函數隨時間的差分小于0，那么切換系統在任意切換條件下是漸近穩定的。對于系統(10)，給定公共李雅普諾夫函數為

則有

令ΔV(k)<0，則可得定理1的結論。即對于有限個子系統的切換系統(10)，如果對于所有的τ(k)=1,2,…,H，存在合適維數的正定對稱矩陣P>0使得不等式(11)成立，則閉環系統是漸近穩定的。

證畢。

接下來，在定理1的條件下求解變增益預測控制器的設計問題。首先把閉環系統(10)改寫為

(12)

式中，

下面給出控制器的設計過程。對不等式(11)應用Schur補引理，可以得到ΔV(k)<0等價于矩陣不等式

(13)

由于非線性項P-1的存在，式(13)不能應用線性矩陣不等式的方法來求解。令Q=P-1替換掉非線性項P-1，然后采用錐補線性化的方法將下式轉化為線性矩陣不等式

(14)

然后，通過求解優化問題minimize trace(PQ)，且同時滿足約束條件

(15)

從而得到一組優化問題的解，進而得到控制器參數Kτ(k),τ(k)=1,2,…,H。

3 仿真結果

為了驗證本文所設計變增益預測控制方案的有效性，使用圖2的倒立擺的模型進行數值仿真。

圖2 倒立擺模型圖
Fig.2 Inverted pendulum model

對于通信網絡，給定回路的數據傳輸時延上界M=4，反饋通道和前向通道的最大連續丟包數分別為N=1和R=1，則整個回路由傳輸時延和丟包造成的總的時延上界為H=6。通過極點配置的方法給定滿足本地控制性能要求的控制器參數和觀測器參數分別為

然后通過求解滿足不等式約束(15)的優化問題，得到變增益預測控制器的參數為

最后，仿真得到觀測器的觀測誤差曲線與閉環系統狀態響應曲線分別如圖3中(a)和(b)所示。

由圖3(a)可知，狀態觀測誤差漸近收斂到0，從而證明了所設計狀態觀測器的有效性。由圖3(b)可知，應用本文設計的控制器參數可以使閉環系統漸近穩定。上述仿真結果證明了本文所提出的變增益預測控制方案是有效的，系統能夠以接近本地控制的效果達到漸近穩定。

圖3 狀態觀測誤差和系統狀態響應曲線
Fig.3 State observation error and system state response curves

4 結論

本文研究了網絡時鐘不同步的情況下，帶有時延和丟包的網絡化控制系統的變增益預測控制器設計問題。根據切換系統理論，通過錐補線性化的方法將控制器求解過程中遇到的非線性矩陣不等式問題轉化為線性矩陣不等式問題，通過求解一組優化問題，得到滿足條件的優化問題的解。最后通過倒立擺模型的數值仿真結果驗證了本文設計方案的有效性。