一類Schr?dinger-Virasoro型李代數(shù)的Verma模

張 鑫

（合肥科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥230000）

本文用N,Z,C分別表示正整數(shù)集、整數(shù)環(huán)和復(fù)數(shù)域；文中所指向量空間的底域都是復(fù)數(shù)域C。Schr?dinger-Virasoro代數(shù)是一類重要的無(wú)限維李代數(shù)，其結(jié)構(gòu)理論和表示理論得到很多專家學(xué)者的關(guān)注[1-3]。在文獻(xiàn)[4]中，Roger等在研究Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的同調(diào)理論和表示理論時(shí)引入了一類Schr?dinger-Virasoro型李代數(shù)，它是由復(fù)數(shù)域上的一組基生成的，并滿足下面非平凡的李括號(hào)運(yùn)算：此后，文獻(xiàn)[5-7]分別研究了它的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)、量子化和李共形代數(shù)等結(jié)構(gòu)理論，文獻(xiàn)[8-9]分別研究了一類Schr?dinger-Virasoro型李代數(shù)的Harish-Chandra模和秩為1的自由模。

令加法群Γ=由復(fù)數(shù)C和復(fù)數(shù)加法運(yùn)算組成，其單位元為0；封閉性：?a,b∈C,a+b∈C；結(jié)合律：?a,b,c∈ C,(a+b)+c=a+(b+c)；逆元：?a ∈ C,a-1=-a。現(xiàn)給出Schr?dinger-Virasoro型李代數(shù)定義。

定義1 一類Schr?dinger-Virasoro型李代數(shù)gsv是由復(fù)數(shù)域上的一組基生成，并且滿足下面的非平凡的關(guān)系式：

下面介紹Verma模的定義，為計(jì)算Verma模的不可約性作準(zhǔn)備。在Γ上定義一個(gè)與其加法相容的全序“”，即“”可得“”。當(dāng)且時(shí)，記。令，有且 gsv有一個(gè)三角分解這里這時(shí) gsv 的泛包絡(luò)代數(shù)為當(dāng)且時(shí)，元素和 1 成了的一組基。令是C上由va,b,c生成的一個(gè)1-維向量空間，即把看作滿足的一個(gè)模，這時(shí)通過(guò)令把Va,b,c變成模。

重復(fù)上面過(guò)程，當(dāng)0≠a0∈C時(shí)，則

重復(fù)上面過(guò)程，當(dāng)0≠a2∈ C時(shí)可得。因此，得到綜上所述，是不可約的。