自由曲面網格結構力學性能分析

施 旋，謝中友，徐 培

（銅陵學院建筑工程學院，安徽銅陵 244000）

人類對自由曲面的研究和探索有著很久的歷史，從古羅馬發明單拱、十字拱和球拱，給世界帶來了優美自由曲面的概念后，藝術與結構的結合沖擊著整個歐洲。十九世紀中葉，鋼筋混凝土的大量使用使得曲面建筑得以興起。到了20世紀的時候，多種組合形式的雙曲率混凝土[1]由西班牙著名建筑師Candela F設計成功，突破了傳統的曲面形式，對建筑自由曲面的造型有了極大豐富。在著名建筑師Isler H對于薄殼形態[2]發展道路的堅持努力下，研究得出了40多種新的曲面形態，這些曲面廣泛應用于各類建筑當中，豐富了建筑類型，取得了豐碩成果。隨著人們對建筑美觀的注重，自由曲面因為自身的優美而獲得極大的重視。特別是以“不均勻有理B樣條曲線造型系統”（NURBS）為代表的三維建模技術在計算機上的應用[3]，打破了傳統的局限，使得自由曲面結構的形態能夠被建筑師自由控制。

曲面擬合方法和基于曲線變換技術的曲面生成方法[4]是自由曲面幾何造型的兩種主要方法，其中曲面擬合方法操作更簡便，適用范圍更廣。我國著名的學者崔昌禹教授提出高度調整法，將有限元法作為基礎，通過對自由曲面高度的微分計算，對自由曲面的高度進行調整，從而得出最合理的自由曲面結構[5]。高度差對應的結構應變能的計算是利用高度變化參數來進行，該方法只能計算相對比較簡單的彎曲效應小、受力效應高的曲面結構。Winslow教授開創了基于遺傳算法[6]的計算模型，該模型主要調整設計變量為兩個方向，通過對網格桿方差的計算得出受力均勻的曲面。遺傳算法能很好地求解結構的最優解，但對于計算量較大時存在短板。梯度法[7]是通過對函數自變量x求導，找出自變量x順著函數負梯度的方向變化，從而求出目標函數f(x)的最小值。以找到目標函數單調遞減的方向為基礎，通過它建立自由曲面形狀結構與其控制變量間的關系，從而可以根據要求對自由曲面進行調整。相較于前兩種方法，梯度法更容易得出控制點和全因子的合理取值，通過幾何或數值方法可以方便地創建自由曲面形狀，且只涉及一階求導，更容易進行操作。本文以NURBS為基礎，采用曲面擬合技術建立自由曲面數學模型，對梯度算法進行優化，分析構件模型的力學穩定性。

1 自由曲面結構形態模型的構建

自由曲面模型以計算機NURBS軟件建模技術為基礎，在長度為50m和寬度為50m的范圍內建立自由曲面模型，自由變化的方向定位高度，曲面模型采用混凝土材料，彈性模量設定為E=2.5×104MPa，設定泊松比v=0.2，厚度t=20 cm。模型如圖1所示。

NURBS自由曲面以B樣條曲面為基礎而形成。假設三維空間它的參數定義：u、v定義為兩個方向的參數，是u、v平面上參數u、v的坐標，di,j是曲面控制點在u、v方向的基函數。

其中Wi，j是控制點的權重因子。

圖1 自由曲面模型圖

圖2 自由曲面和控制點之間的關系

2 自由曲面的空間形成

通過（3）式形成的自由曲面結構并不能滿足實際需求，因此需要優化相應的參數，對自由曲面結構進行合理的優化，通過優化后建立的自由曲面結構，才能使得研究具有實際應用意義。優化結構參數的基本思想是通過改變控制點的坐標和權重[5]，使應變能最小時獲得較為合理的自由曲面。優化思想理念是對自由曲面的單一參數進行優化，需采用梯度法進行處理，這樣經過多次逐步優化就形成合理的且應變能較小的自由曲面網格結構[3]。自由曲面結構應變能為

3 結構的穩定性能分析

3.1 理想模型下的自由曲面力學性能分析

前文介紹經過數學參數建立的模型，并不能適應實際的需求，需要對其進行參數優化，形成優美形態的自由曲面網格結構，圖3～圖5是該曲面的具體分析模型圖。圖3是模型1的曲面以受薄膜壓力為主；圖4中模型2的區域比例以拉、彎應力為多，受壓部分的區域面積所占較小；圖5中模型3曲面拉、壓、彎曲區域比例相當。通過對圖3～圖5優化前后的形態模型分析，得到圖6及圖7的結構優化荷載位移圖，可知結構受到拉壓力為主的時候，結構極易發生破壞，且發生破壞之后，荷載-位移曲線的加速度迅速減小。彎曲壓力占比重大時，單元節點的位移處于較大數值，結構處于不穩定的狀態。拉應力及彎曲應力的有利作用，能夠消除自由曲面薄膜拉力與彎矩比重較大對結構帶來的不穩定性問題。

圖3 模型1優化前后的自由曲面網格結構形態

圖4 模型2優化前后的自由曲面網格結構形態

圖5 模型3優化前后的自由曲面網格結構形態

3.2 存在缺陷條件下的自由曲面力學性能分析

對自由曲面進行分析時，影響結構承載力和穩定性重要的因素之一就是缺陷。缺陷越大，自由曲面的承載力和穩定性越差[8]。現施加一個缺陷在優化后的自由曲面上，缺陷為L/1 000～L/200，其中L表示跨度，圖8是不同模型下施加的缺陷對應的屈曲荷載變化，模型1，2，3與前文一致。兩者臨界荷載比值是指考慮缺陷和不考慮荷載缺陷下的比值。

通過圖8可以看出：當薄膜壓力作為主要受力作用于曲面結構時，（模型1）缺陷和屈曲荷載的關系呈負相關性；當薄膜拉力與彎矩比重在曲面結構中的值較大（模型2）時，缺陷和屈曲荷載的關系呈負相關關系，實際案例中此情況發生的概率很低。當受壓、受拉與受彎在曲面結構中比例接近時，屈曲荷載對缺陷的反映靈敏度低。

圖6 優化前后曲面內力拉力和彎曲壓力應力云圖

圖7 優化過程荷載-位移

圖8 不同模型下施加的缺陷對應的屈曲荷載變化

4 結論

綜上所述，通過采用曲面擬合技術并以NURBS為基礎建立自由曲面的數學模型，運用優化的梯度算法，對數學模型進行優化，優化后結合三種施加荷載的模型對理想狀態和存在缺陷兩種狀態的自由曲面結構進行相應的受力分析。分析結果顯示：對于理想狀態的自由曲面結構，其中理想狀態下以受薄膜壓力為主的結構發生極值點失穩，缺陷增加導致屈曲荷載降低；當薄膜拉力與彎矩比重較大，結構具有屈曲后強度，缺陷增加易導致屈曲荷載增加；當結構受拉、受壓以及受彎區域面積比例相當時，曲面對缺陷不敏感。研究結論對自由曲面的穩定性研究及實際工程設計具有參考意義。