經(jīng)歷問題解決過程感悟基本數(shù)學(xué)思想

張壽蘭

摘? 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出將學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)基本思想”作為主要內(nèi)容之一。蘇教版教材中“解決問題的策略”單元的教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)基本思想。策略教學(xué)需要教師通過引導(dǎo)學(xué)生問題解決，在解決問題的過程中親自動(dòng)腦，主動(dòng)動(dòng)手實(shí)踐，獲得體驗(yàn)，產(chǎn)生領(lǐng)悟，從而形成解決問題的策略意識(shí)，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想和方法。

關(guān)鍵詞：解決問題;策略教學(xué);基本數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出“四基”，將“學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想”作為主要內(nèi)容之一。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅是需要關(guān)注基本知識(shí)和技能，更應(yīng)關(guān)注基本的數(shù)學(xué)思想。蘇教版教材從三年級(jí)上冊(cè)開始安排了“解決問題的策略”教學(xué)單元。涉及的教材內(nèi)容包括：三年級(jí)的“從條件和問題想起”，四年級(jí)的“畫圖”“一一列舉”，五年級(jí)的“轉(zhuǎn)化”，六年級(jí)的“假設(shè)”以及“策略的選擇與綜合應(yīng)用”。通過這些教材內(nèi)容的分析，我們可以看出教材通過問題解決的經(jīng)歷，更多的是其中蘊(yùn)含了基本的數(shù)學(xué)思想。如四年級(jí)“畫圖”的策略能夠幫助學(xué)生初步感受到“數(shù)形結(jié)合”的思想，學(xué)習(xí)“一一列舉”的策略可以幫助學(xué)生初步體會(huì)“分類思想”;五年級(jí)“轉(zhuǎn)化”的策略幫助學(xué)生體會(huì)了“化歸”的數(shù)學(xué)思想……也就是說，解決問題的策略單元教學(xué)內(nèi)容可以有效地讓學(xué)生體會(huì)“基本的數(shù)學(xué)思想”。

“解決問題的策略”單元教學(xué)一般會(huì)有兩條線索：一條是外顯的問題分析與解決的過程和方法，一條是內(nèi)含其中的所使用的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于學(xué)生來說，困難的不是接受解決問題所使用的某一策略的具體概念，而是能夠經(jīng)歷策略形成的過程，并將所學(xué)習(xí)的策略進(jìn)行內(nèi)化形成主動(dòng)應(yīng)用的意識(shí)。《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中指出：在實(shí)踐中值得注意的是，真正有效的數(shù)學(xué)策略性知識(shí)往往很難訴諸語言文字，“只可意會(huì)不可言傳”。由此教者意識(shí)到只有在實(shí)踐的過程中，學(xué)生親自動(dòng)腦，主動(dòng)動(dòng)手實(shí)踐，獲得體驗(yàn)，產(chǎn)生領(lǐng)悟，才能達(dá)到學(xué)會(huì)的目的。因此解決問題策略形成就需要教師在實(shí)際的教學(xué)中選擇好恰當(dāng)?shù)摹皢栴}點(diǎn)”，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷過程，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)感悟，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，這是策略性知識(shí)獲得的真正途徑。

[?]一、問題解決感悟數(shù)學(xué)策略價(jià)值

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開問題解決。學(xué)生對(duì)于解決問題策略的感悟需要學(xué)生親身經(jīng)歷“解決問題”的過程。蘇教版教材在教學(xué)“解決問題的策略”單元時(shí)，首先是讓學(xué)生從典型的問題入手，這樣的問題解決給學(xué)生一定的“挑戰(zhàn)性”，讓學(xué)生充分經(jīng)歷獨(dú)立思考、自主探究的過程，然后揭示解決問題的具體策略，這樣學(xué)生才能充分感悟到這一策略的具體方法。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，這種狀態(tài)下所迸發(fā)出的強(qiáng)烈探求和表達(dá)欲望，是學(xué)習(xí)、思考的重要?jiǎng)恿Α?/p>

例如，教學(xué)用“轉(zhuǎn)化”的策略解決問題時(shí)，蘇教版教材呈現(xiàn)了兩個(gè)形狀不規(guī)則的圖形并且比較兩幅圖形的面積大小。為了讓學(xué)生能夠充分經(jīng)歷解決問題的過程，筆者首先讓學(xué)生進(jìn)行了觀察：兩個(gè)圖形有什么樣的特點(diǎn)，然后獨(dú)立思考哪一個(gè)圖形的面積大，并且用自己的方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生很快地想到需要剪刀、彩筆等工具，興趣盎然地動(dòng)手在作業(yè)紙上進(jìn)行操作和思考。

通過學(xué)生的動(dòng)手操作后呈現(xiàn)了多種方法。有的學(xué)生說可以通過數(shù)方格的方法進(jìn)行比較。筆者讓其上黑板展示自己數(shù)方格的結(jié)果（不滿一格按照半格計(jì)算），其他學(xué)生表示這樣的方法既不夠方便而且還會(huì)產(chǎn)生誤差，數(shù)出的結(jié)果可能不準(zhǔn)確。有的學(xué)生想到了用剪拼的方法，將這兩個(gè)圖形剪拼成長(zhǎng)方形，這樣這個(gè)不規(guī)則的圖形就能轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形。而且小組同學(xué)們之間還有不同的剪拼方法。還有的同學(xué)想到不用剪拼直接進(jìn)行平移或者旋轉(zhuǎn)也能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化成兩個(gè)長(zhǎng)方形進(jìn)行比較。

在這個(gè)教學(xué)中學(xué)生經(jīng)歷觀察、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的過程，在問題解決的“做數(shù)學(xué)”的過程中，感受到解決問題的多種方法，同時(shí)也自然地探尋出解決問題的方法，并且也產(chǎn)生了解決問題的策略的必要性。

[?]二、運(yùn)用對(duì)比策略感悟數(shù)學(xué)策略特點(diǎn)

在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生對(duì)解決問題的策略并不是沒有接觸，或多或少都是一些感性的認(rèn)識(shí)。只不過學(xué)生在運(yùn)用的過程中可能沒有主動(dòng)運(yùn)用的意識(shí)，也就沒有認(rèn)識(shí)到解決問題的策略在實(shí)際運(yùn)用中的作用。對(duì)比能夠突出策略的特點(diǎn)，有助于學(xué)生加深對(duì)策略的理解。

如五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化策略，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)運(yùn)用過轉(zhuǎn)化的策略解決實(shí)際問題，但是并沒有意識(shí)到這樣的策略在實(shí)際學(xué)習(xí)中的作用。通過第一個(gè)例題中兩個(gè)圖形面積大小的比較，學(xué)生通過剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)等方法將原來的圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形之后，提出問題：這些方法各不一樣，但是有沒有共同的地方？為什么要將原來的圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？讓學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化之后解決更方便，從而感悟到“轉(zhuǎn)化”是將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題。我們將這些不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，解決了這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比較也就是解決了原來這兩個(gè)不規(guī)則的圖形的面積比較。

四年級(jí)學(xué)習(xí)的畫圖的策略教學(xué)中，呈現(xiàn)教材的文字內(nèi)容，讓學(xué)生理解題目中的意思。

從圖中學(xué)生能夠清晰地理解小春和小寧之間的郵票關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生將文字題與線段圖相比較，學(xué)生能夠清晰地感受到，線段圖在表達(dá)題目中的條件和問題更清晰、清楚，這樣就能更容易理解題目中的數(shù)量關(guān)系。

[?]三、回顧反思感悟數(shù)學(xué)策略普遍意義

僅僅只是一個(gè)例題的體驗(yàn)，策略是很難走進(jìn)學(xué)生的內(nèi)心的。怎樣讓學(xué)生感悟到策略的價(jià)值以及在解決問題中的普遍意義，這就需要教學(xué)中不斷地給學(xué)生充分的感性積累和大量的實(shí)踐體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。策略教學(xué)的重要環(huán)節(jié)就是“回顧與反思”。在“回顧與反思”環(huán)節(jié)可以包含兩個(gè)方面，一個(gè)方面是對(duì)于本節(jié)課解決問題過程的回顧，另一方面是回顧以前的學(xué)習(xí)有沒有運(yùn)用過這樣的策略解決過什么樣的數(shù)學(xué)問題。通過這樣的回顧不僅可以感受到解決問題的策略學(xué)習(xí)的連續(xù)性，更能悟具體方法、悟運(yùn)用的好處、悟在學(xué)習(xí)過程中的用處。

以“一一列舉”的策略解決實(shí)際問題教學(xué)為例。通過例一的教學(xué)之后，教師隨即啟發(fā)學(xué)生感悟：“這樣的方法在我們剛才解決問題的過程中有什么好處？”從而使學(xué)生初步感悟到：這樣的方法比較有順序，按照這樣的順序進(jìn)行列舉就不會(huì)重復(fù)也不會(huì)遺漏。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)讓學(xué)生進(jìn)行回顧：“在以前的學(xué)習(xí)中我們運(yùn)用這樣的策略解決過哪些實(shí)際問題？”通過這樣及時(shí)的感悟，讓學(xué)生不僅僅只有今天學(xué)習(xí)策略時(shí)的點(diǎn)滴體驗(yàn)，更能夠?qū)⒁郧暗膶W(xué)習(xí)感受聯(lián)系起來，遇到如此這類的問題有“原來如此”的感覺。兩個(gè)層次的回顧讓學(xué)生感受到策略的學(xué)習(xí)是一種重要的解決問題的方法，并且感悟到解決同一種類型問題時(shí)策略所具有的普遍的價(jià)值意義。

[?]四、拓展應(yīng)用感悟數(shù)學(xué)思想

策略的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的行為滲透過程。這主要是因?yàn)椴煌臄?shù)學(xué)思想方法有可能隱含于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之中，同一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法也可以在不同的知識(shí)點(diǎn)中發(fā)揮作用。認(rèn)知心理學(xué)家建議提供具有變化性條件的問題解決練習(xí)。因此在教學(xué)的過程中應(yīng)該注意呈現(xiàn)不同背景、富有變化的問題，引導(dǎo)學(xué)生在不同的拓展應(yīng)用中豐富對(duì)于所學(xué)策略的體驗(yàn)。如在教學(xué)列舉的策略解決問題時(shí)，除了讓學(xué)生解答類似教材和習(xí)題中的數(shù)學(xué)問題還可以聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際生活呈現(xiàn)更豐富的現(xiàn)實(shí)問題背景。如“某列車從南京到上海，中間停靠鎮(zhèn)江、常州、無錫、蘇州四個(gè)站。那么來往南京和上海之間要準(zhǔn)備多少種車票？”這樣就將書本知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，讓學(xué)生能夠感受到策略的知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題，將基本的數(shù)學(xué)思想就滲透在實(shí)際的問題解決中。

同時(shí)我們也要認(rèn)識(shí)到學(xué)生理解和形成策略的意識(shí)需要一個(gè)長(zhǎng)期的過程，需要在這個(gè)過程中逐步豐富認(rèn)識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、加深感悟。不僅只是在學(xué)習(xí)到某一個(gè)策略時(shí)才運(yùn)用到這個(gè)策略解決問題。如在六年級(jí)教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法，不僅僅是教學(xué)生能夠計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法，而且在教學(xué)過程中可以與“畫圖”的策略相結(jié)合，在長(zhǎng)方形圖中得出兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的具體意義，從而理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。這樣通過“畫圖”的策略，讓“數(shù)形結(jié)合”的思想融合在平時(shí)的教學(xué)中。也就是說，作為教師，在平時(shí)的教學(xué)中一直要有策略教學(xué)的意識(shí)。解決問題的過程時(shí)不斷幫助學(xué)生加深對(duì)策略作用的感受，不斷積累“可以用什么策略”的經(jīng)驗(yàn)，促使他們逐步形成“為了更好地解決問題，就要學(xué)會(huì)主動(dòng)應(yīng)用策略”的心理體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

總之，解決問題的策略教學(xué)基本點(diǎn)在問題解決，但策略意識(shí)的形成以及感悟其中蘊(yùn)含的基本的數(shù)學(xué)思想才是重中之重。因此教學(xué)中由問題出發(fā)，結(jié)合分析和解決問題的過程，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生感悟策略的方法、作用等，重視學(xué)生的“學(xué)”，更重視學(xué)生的“用”，不斷增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于解決問題的感悟，逐步形成策略的意識(shí)，從而形成基本的數(shù)學(xué)思想。