變精度λ-粗糙集模型及其在決策中的應用研究

摘? 要：就最近提出的λ-粗糙集進行變精度的擴展，更加精確地解決實際問題。首先給出變精度λ-近似空間以及對應上下近似的具體定義，其次給出變精度λ-近似空間重要的性質以及與λ-近似空間的不同之處，最后利用變精度粗糙集的優勢，給出一個具體的實例，呈現它在決策中的實際應用，并說明變精度λ-粗糙模型的優越性。

關鍵詞：λ-粗糙集;變精度;決策

中圖分類號：TP18? ? ? ?文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2019）23-0005-04

Variable Precision λ-Rough Set Model and Its Application in Decision-making

WU Mengxuan

（Renmin University of China，Beijing? 100872，China）

Abstract：This paper extends the variable precision of the recently proposed λ-rough sets to solve practical problems more accurately. Firstly，the definitions of variable precision λ-approximation space and corresponding upper and lower approximation are given，and the important properties of variable precision λ-approximation space and the differences between variable precision λ-approximation space and λ-approximation space are given. Finally，by using the advantages of variable precision rough set，a concrete example is given to show its practical application in decision-making，and the advantages of variable precision λ-rough model are illustrated.

Keywords：λ-rough set;variable precision;decision-making

0? 引? 言

粗糙集理論（RS）最初是由Pawlak提出的，它是軟計算中的一個重要工具。粗糙集理論中的關鍵概念是近似算子。然而Pawlak近似算子的定義依賴于等價關系，這對于應用領域來說過于嚴格。為此，許多學者提出了更為廣義的粗糙集模型。粗糙集理論的普及程度可以通過它在各個領域的應用來衡量，如醫學診斷、機器學習、模式識別、基于案例的推理和數據挖掘等領域。

遵循Pawlak使用等價關系的粗略近似公式，一種常用的定義廣義粗糙近似的方法是基于信息系統中一組局部對象上定義的相似關系。這種方法的一個基本困難是，部分定義的相似關系不能真實、充分地反映信息系統中提供的可用部分知識，類似的方法是用部分對象描述屬性。這種方法也有一些缺點。文獻[1]對傳統的方法進行了一些改進，在廣義不可分辨關系和大數據相關性兩個方面進行了分析：（1）從廣義不可分辨關系的角度，對可用對象具有相同描述的屬性稱為λ-不可區分。作者通過所有對象（而不是部分對象）正確地描述屬性。對象越多，描述屬性就越準確。因此，證明了λ-不可分辨關系的存在性;（2）從大數據相關性的角度來看，谷歌流感趨勢（GFT）是大數據在公共衛生領域的首次應用。GFT于2009年在線開放，立即引起了全世界的關注。隨著大數據的發展，在其核心相關性量化了兩個變量之間的統計關系。強相關性意味著當一個變量發生變化時，另一個變量也很可能發生變化;弱相關是指當一個變量發生變化時，另一個變量可能發生變化，也可能不發生變化。

相關性不能預測未來，它們只能用一定的可能性來預測未來，但這種能力是非常有價值的?；谙嚓P性的預測是大數據的核心。決策過程（DM）可以被看作是一個從集合中選擇或排序備選方案的過程，基于行為條件下的決策信息。群體決策（GDM）試圖提供解決這些復雜現實問題的解決方案。然而，在現實生活中，管理科學、運籌學和工業工程實踐中的許多決策問題往往需要同時解決多屬性決策問題。因此，多重屬性組決策（MAGDM）在涉及存在沖突和交互標準的情況下，由一組可行的備選方案進行選擇或排序。許多研究人員已經通過MAGDM進入這個領域。最近，Mardani等人在文獻[2]中回顧了1994～2014年基于模糊集理論的MAGDM方法。但由于在現實中遇到的問題的復雜性，一個獨特的不確定性模型并不能很好地處理這些問題。并且，粗糙集理論被用于開發解決實際問題的決策方法。但是原始的粗糙集有一些缺點：（1）原始的粗糙集方法不能確定備選方案的優先順序;（2）對多屬性或多標準決策方法的研究，只利用現有數據，不考慮屬性的知識，不考慮屬性之間的關系對決策結果的影響;（3）基于GFT的思想，預測精度對于大多數潛在應用來說都太低了。

文獻[1]利用TOPSIS的方法幫助決策者組織問題，并對備選方案進行分析、比較和排名;且利用λ-粗糙集可以建立利用屬性知識進行決策的模型。文獻[1]推廣了不可區分關系，并定義了屬性之間的相似關系。在新的粗糙集模型下，下近似算子和上近似算子分別體現了屬性的支撐性和可預測性。從理論意義上，λ-粗糙集模型既存在經典粗糙集的特征，又具備調整的新特征。在決策過程中，憑借屬性相關關系的預測可能性的能力，可以從原始信息系統上衍生出預測可能性信息系統，剛好補充了決策過程的不足，而粗糙集理論為處理原始信息系統提供了方法?？偠灾?，此粗糙集模型不僅擴充了粗糙集的理論，而且使得粗糙集的應用結合大數據，讓粗糙集的實際價值凸顯得更明確。

鑒于粗糙集模型的可推廣性，Ziarko于1993年在文獻[3]中首次提出變精度粗糙集（VPRS）模型，作為經典粗糙集模型的重要擴展之一。在給定閾值β的情況下，VPRS模型引入了部分分類的概念，從而允許在給定的較低近似值下對對象進行分類時出現一些錯誤。這與經典的RS模型形成了對比，后者分類精度嚴格，不允許出現錯誤。當應用于數據集中包含錯誤和不確定信息的實際復雜問題時，VPRS模型具有優越的性能。

本文基于λ-粗糙集，對其進行變精度的擴展，更加精確地解決實際問題。本文的結構如下：第一部分給出粗糙集以及信息系統需要的預備知識，第二部分引入變精度λ-粗糙集的定義并且給出重要的性質，第三部分結合實際例子說明變精度λ-粗糙集的應用并且說明變精度粗糙集的優越性，第四部分對文章進行總結。

1? 預備知識

粗糙集理論中的知識表達方式一般采用信息表或信息系統的形式。信息系統（或知識表示系統）是一個有限的表，其中的行由對象標記，而列是由屬性標記的，表的條目是屬性值。因此，信息系統可以看作是由屬性值描述的對象的集合。下面給出了信息系統的正式定義。

信息系統是一個四元組S=（U，Q，V，f），其中U是非空有限對象集，被稱為值域;Q是一個非空有限屬性集;V=∪q∈QVq，Vq是一個屬性q的值;f：U×Q→V是一個信息函數，使信息值f（x，q）∈Vq，其中q∈Q，x∈U。

在信息系統中，對象用有限的屬性來表示，即對象可以通過屬性來進行評價或者排序，也稱為對象決策。而且，如果所有對象都可以評價或排序，并且存在一個最優的對象，則稱為對象的最優排序或最優決策。在實際生活中，學生成績、超市促銷明細、員工考核明細，病人的體檢明細、股票風險分析因素、個人關系等等都是信息系統。

定義1：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統，A?Q且x，y∈U。定義x和y被A不可區分的如果對于任意的a∈A，有f（x，a）=f（y，a）成立。

因此，每個A在U上生成一個二元關系，稱為不可區分關系，用IND（A）表示。對于每個A?Q，IND（A）顯然是一個等價關系。任何等價關系IND（A）產生Q的一個劃分，為方便起見，[x]A代表x∈U相對于IND（A）的等價類。[4]

定義2：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統且A?

Q，X?U。X的A-下近似和A-上近似被分別記為 （X）和 （X），且被定義為 （X）=∪{x∈X|[x]A?X}和 （X）=∪{x∈X|[x]A∩X≠?}。

子集X是可定義的當且僅當 （X）=（X）;子集X是不可定義的當且僅當 （X）≠ （X），即X是粗糙集。根據以上定義，下近似也稱為X關于A的正域，它可以解釋為由那些根據現有知識判斷出肯定屬于X的對象組成的最大的集合。上近似可以解釋為由那些根據現有知識判斷出可能屬于X的對象組成的最小集合。[4]

定義3：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統且a，b∈Q，λ∈（0，1]。定義a和b是λ-不可區分，如果且，其中Ja={x∈U|f（x，a）= 1}，Jb={x∈U|f（x，b）=1}。

顯然λ-不可區分關系滿足自反性和對稱性，但不滿足傳遞性。如果λ=0，則發現所有屬性之間都存在λ-不可區分關系，這樣就失去了實際的意義。同時，如果λ越趨近1，則屬性之間的不可區分度就越高，也就是說，λ越大，分類要求越嚴格。

記[a]λ為Q中與aλ-相關的所有元素組成的集合。即[a]λ 為下面這個形式：[a]λ=。[1]

定義4：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統。三元組（Q，f，λ）被稱為S的λ-近似空間，其中λ∈（0，1]。對任意的A?Q，A的下λ-近似和上λ-近似分別被定義為：

， 。[1]

2? 信息系統的變精度λ-近似空間

本節在文獻[1]的基礎上引入變精度粗糙集，給出變精度λ-近似空間以及一個集合的上下近似，進而給出變精度λ-近似空間的重要性質。

定義5：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統。四元組（Q，f，λ，β）被稱為S的變精度λ-近似空間，其中λ∈（0，1]，β∈（0.5，1]。對任意的A?Q，A的β-下λ-近似和β-上λ-近似分別被定義為：

， 。

性質1：如果β=1，則 （A，f，λ，β）=（A，f，λ），（A，f，λ，β）=（A，f，λ）。

證明：當β=1時，

即 （A，f，λ，β）= （A，f，λ）。

同理得 （A，f，λ，β）=（A，f，λ）。

性質2：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統，0≤ λ≤1且0.5<β1≤β2≤1。則對于任意的A?Q，有 （A，f，λ，β2）? （A，f，λ，β1），（A，f，λ，β1）?（A，f，λ，β2）。

證明：設0.5<β1≤β2≤1。對于任意的a∈Q，若? ? ? ?，則有? 。即 （A，f，λ，β2） ?

（A，f，λ，β1）。若，則有 ，即 （A，f，λ，β1）?（A，f，λ，β2）。

性質3：設（Q，f，λ，β）是S的變精度λ-近似空間。設A，B?Q，則以下幾點成立：

（1）（A，f，λ，β）?（A，f，λ）?（A，f，λ）?（A，f，λ，β）;

（2）（?，f，λ，β）=（?，f，λ，β）=?;

（3）（Q，f，λ，β）=（Q，f，λ，β）=Q;

（4）（A∩B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∩（B，f，λ，β）;

（5）（A∩B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∩（B，f，λ，β）;

（6）（A∪B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∪（B，f，λ，β）;

（7）（A∪B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∪（B，f，λ，β）;

（8）如果A?B，則 （A，f，λ，β）? （B，f，λ，β），且 （A，f，λ，β）?（B，f，λ，β）;

（9）（A，f，λ，β）=（ （AC，f，λ，β））C且 （A，f，λ，β）=（（AC，f，λ，β））C。

證明：由于證明過程相似，在此只證明（1）。由性質1知，（A，f，λ，1）=（A，f，λ），（A，f，λ，1）=（A，f，λ）。由性質2知，（A，f，λ，β）?（A，f，λ）且 （A，f，λ）?（A，f，λ，β）。顯然 （A，f，λ）?（A，f，λ）。

定理1：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統，0≤λ ≤1且0.5<β1≤β2≤1。則對于任意的A?Q，則以下幾點成立：

（1）（A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）;

（2）（A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∪（A，f，λ，β2）;

（3）（A，f，λ，β1∧β2）=（A，f，λ，β1）∪（A，f，λ，β2）;

（4）（A，f，λ，β1∧β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）。

證明：由于證明過程相似，在此只證明（1）。設0.5< β1≤β2≤1。則β1∨β2=β2。由性質2知 （A，f，λ，β2）? （A，f，λ，β1）。即 （A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）。

3? 變精度λ-粗糙集在決策中的應用

在現實生活中，決策問題變得越來越重要。決策是指為了實現一定的目標，決策主體對多個備選方案進行評價，并從中選擇令決策者滿意的方案的過程。決策的本質是為了未來目的做出的選擇，為了解決決策問題，人們提出了許多方法。粗糙集理論已經被證明是一種非常有用的處理幾種類型的決策問題的方法。為了說明變精度λ-近似空間在決策中的應用，提供了以下的示例：

假設S=（U，Q，V，f）是幾個學生的成績表，如表1所示，其中U=（x1，x2，x3，x4，x5）是五個學生的集合，Q=（a1，a2，a3，a4，a5，a6）是六個學科的集合。由表1可知，這五個學生的總成績是一樣的。李老師需要根據學生各科的成績來做一個排名，排名要求能反映學生的潛力。

評價學生的成績好壞一般是通過計算各科目的總成績，總分越高，就認為學生越優秀，但是當總成績相同的時候，這個方法就失效了。接下來，本文使用變精度λ-粗糙集給出的一種方法做出一個排名，這個排名可以反映學生的潛力。

假設信息系統S=（U，Q，V，f），其中U=（x1，x2，x3，x4，x5）是對象集，Q=（a1，a2，a3，a4，a5，a6）是屬性集。

決策方法：

第一步：輸入信息系統S=（U，Q，V，f）;

第二步：根據定義3、定義5以及最優決策目的，確定β和λ值;

第三步：計算β-下λ-近似 （Oi，f，λ，β）和β-上λ-近似（Oi，f，λ，β），其中Oi={a∈Q|f（xi，a）=1}，xi∈U;

第四步：

（1）對于每一個候選對象，都可以得到與Oi的下相似度 ;

（2）對于每一個候選對象，都可以得到與Oi的上相似度 ;

第五步：

（1）根據? 的大小，確定每個對象xi在所有對象中的升序的排列的位置? ;

（2）根據? 的大小，確定每個對象xi在所有對象中的升序的排列的位置? ;

第六步：建立排序的直角坐標系，其中，x軸表示? ，y軸表示? ，即xi在坐標系中x0y中的坐標為（? ，? ）;

第七步：計算偏角θi=arctan ，并根據θi的大小，從大到小輸出xi。

計算偏角的過程中，偏角越大說明排序的偏差越大，也就是潛力越大。

基于算法的模擬實驗：首先根據表1建立信息系統。如果學生xi的學科成績aj在85到100之間，則認為這個學生掌握了這個學科，記作f（xi，aj）=1;否則，f（xi，aj）=0。得到信息系統S=（U，Q，V，f），如表2所示。

第一步：輸入信息系統S=（U，Q，V，f），如表2所示;

第二步：根據定義3、定義5，確定β=0.75和λ=0.6;

第三步：計算β-下λ-近似 （Oi，f，λ，β）和β-上λ-近似 （Oi，f，λ，β），其中Oi={a∈Q|f（xi，a）=1}，xi∈U，同時得到? 和? ，如表3所示。

以及 ，

第四步：根據? 的大小，排列為x3

第五步：在排序的直角坐標系中，其中，x1的坐標為（2，2），x2的坐標為（4，3），x3的坐標為（1，4），x4的坐標為（3，2），x5的坐標為（4，1）;

第六步：計算偏角θ1=45.00，θ2=36.87，θ3=75.96，θ4=33.82°，θ5=14.04°。從大到小輸出為x3，x1，x2，x4， x5。即排序為x3>x1>x2>x4>x5。

為了顯示變精度粗糙集的優越性，下面給出在沒有變精度的時候的對比實驗。把上述實驗的閾值β去掉，可以得到如表4所示的內容。

根據? 的大小，排列為x3

由此得出：由于變精度λ-粗糙集模型把集合的上近似集合變大，下近似集合變小，這樣使得邊界增大。在上述應用中，變精度λ-粗糙集模型的這種不準確性反而使得結果更加清晰，和單純的λ-粗糙集模型相比，更容易得出想要的結果。這使得變精度λ-粗糙集模型的優越性更加明顯。

4? 結? 論

變精度粗糙集由于允許一定錯誤的存在，反而在實際生活中的應用更加廣泛，在解決實際問題時優越性更加明顯。本文在λ-粗糙集模型的基礎上進行變精度的擴展，使得λ-粗糙集模型的應用更加實際、可操作，也擴充了λ-粗糙集模型以及變精度粗糙集的理論以及實際應用。后續會更加深入地研究λ-粗糙集模型的更多擴展，使得此模型更加完善，也在完善中增加它的應用價值。

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作者簡介：吳夢軒（1993.06-），男，漢族，河南平頂山人，研究生在讀，研究方向：數理統計、大數據。