從2019年全國Ⅰ卷概率與統計解答題談2020高考概率統計高考備考建議

鐘雪媛

【摘要】近4年高考全國Ⅰ卷的理科數學的概率與統計的解答題背景來源于生活實際。2018年全國Ⅰ卷的理科數學概率與統計解答題位于20題，2019年全國Ⅰ卷的理科數學概率與統計解答題放在壓軸題的位置。該試題的解答對數據分析，數學抽象，數學運算，邏輯推理，數學建模有一定的要求。本文從簡要分析兩道高考解答題的基礎上，就高三復習如何促進學生深度學習，提出幾點高考備考建議。

【關鍵詞】概率統計;試題分析;備考啟示

一、引言

概率統計是近代數學的重要分支也是高中數學的重要內容。近4年高考全國Ⅰ卷的理科數學的概率與統計的解答題背景來源于生活實際。概率與統計解答題在2018年全國Ⅰ卷的理科數學位于20題，而在2019年理科數學全國Ⅰ卷放在壓軸題的位置。解答題綜合考查了學生通過審題提取有效信息，分析數據，建立數學模型，數學運算的能力。而回歸考綱，《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）》考綱主要考查考生統計內容中的隨機抽樣，用樣本估計總體，變量的相關性，包括線性回歸分析，獨立性檢驗;概率則考查隨機事件的概率，古典概型，隨機數與幾何概型，離散型隨機變量的分布列、期望、方差，正態分布。統計考查重點是應用回歸分析、獨立性檢驗思想方法和用樣本估計總體，概率則重點考查古典概型，離散型隨機變量的分布列、期望和方差。所以，本文以2019年的高考理科數學全國Ⅰ卷為載體，著重從分析解答題中，深度探索高中概率統計中高考備考的復習對策。

二、試題分析

1.試題呈現

（2019年全國高考Ⅰ卷理科數學第21題）（見下圖）

2.考查思路分析

該題以生物科技試驗為背景，由概率值解釋試驗方案的合理性。將概率與數列結合，綜合性強，作為壓軸題，具有創新性。對學生而言，對其數學應用、創新也有新的要求。審題時，如何從403個字符里抽象出數學模型，邏輯推理的能力.突出了學生對數學應用能力的考查。該題以分布列，數列證明作為基礎知識，通過離散型隨機變量分布列，遞推關系證明等比數列的方法以及累加法求通項的方法基礎知識方法。對該題中的條件“當甲藥治愈比乙藥治愈多4只或當乙藥治愈比甲藥治愈的多4只時，則停止”“在每輪試驗中，若甲藥治愈且乙藥未治愈則甲得1分，乙得-1分”，反之“若乙藥治愈且甲藥未治愈則乙1分，甲得-1分”“均治愈或者均未治愈則兩藥為0分”進行信息分析整合.通過第二小題第一問“（）為等比數列”，通過觀察問題結構為的形式，利用累加法求出第2問中的。對學生對數列遞推關系的掌握，也即對其分析和解決問題的能力要求較高。

3.解答思路分析

依據信息，第一問由題意可知X表示的是一輪試驗中甲藥的得分，又因為題目中的約定，易知X的所有可能的取值為：-1，0，1。利用甲藥與乙藥得分的“相關性”求解概率，再根據獨立事件的概率計算公式和離散型隨機變量分布列等基礎知識寫出分布列。第二問分為2小題，第1小題由“， ，（i=1，2，…，7）其中，，，結合第1小題的提示“（i=1，2，…，7）為等比數列”運用構造法得出等比數列的證明。第2小題由第1問中遞推公式應用累加法求通項得出，再結合題干中“假設，”，總結出該試驗方案的合理性。

4.解答過程

表示在初始4分的情況下，甲藥累計得分為4時，認為甲藥比乙藥更有效的概率僅為，而事實上確實如此，因為乙藥的治愈率大于甲藥，故這種試驗方案是合理的。

三、2020高考備考啟示

1.把握高考命題方向

高考備考中，對真題的研究與解讀，把握備考方向顯得尤為重要。通過對近4年的高考概率統計解答題的背景，命題方向，問題解決的難點突破分析對比，全國卷對概率統計的考查由偏重概率到概率統計結合，到偏重統計到概率統計與其他知識點結合。按照表格，19年概率統計解答題結合數列，難度較之18年的題目也是增加，預計2020年的概率統計試題依然會保持近4年的命題思路，推陳出新。

而對于學生，近幾年的高考概率統計解答題字符數多，閱讀量大，對于信息數據的處理能力要求就更高了.而試題背景多為生活實際問題，應用性強.從命題角度思考，試題對樣本數據的概率及其分布進行考查，考查統計規律，結合其他知識點對數據進行檢驗分析。那么，在概率復習教學中要立足隨機試驗，重點是隨機變量，概率模型的選取。而在統計復習中要體現統計的過程，結合統計案例的分析，統計模型的理解，突出統計思想。

2.研讀考綱，回歸教材，注重概率統計與其他知識點的結合

命題專家專業知識深厚，對于知識點的串聯更加游刃有余，結合時事熱點，契合考綱命制出創新性題目。而近幾年的高考概率統計所結合的知識點不穩定，甚至會考查“冷門”邊角知識。這也要求我們在平時復習中要注意真題中暫時考查頻率較低的正態分布、條件概型、殘差圖、擬合效果等。近幾年的試題基本是生產方案決策問題，方案判斷問題，注重與其他知識點的結合。例如，2019年的高考全國Ⅰ卷解答題與數列證明相結合，往前一年，2018年全國Ⅰ卷則對函數、導數內容綜合考查，2016年的試題與不等式內容結合。這也啟發教師在高考復習備考中要重視概率統計與其它專題的知識結合，比如，函數、導數、不等式、三角等綜合性練習，在備考其他專題知識學習中也要強化知識之間的聯系，舉一反三，深度學習。

3.關注統計圖表、樣本數字特征與事件類型和概率模型

高考概率統計解答題在考查隨機變量分布列，數學期望和樣本的數字特征可能通過頻率分布直方圖，折線圖，莖葉圖的形式出現。這樣有利于考查學生的數學數據分析與處理能力，在高考備考復習中建議先對每種統計表進行了解，如何看表，如何從表中提取有效信息，再結合實際問題分析，也會大大降低難度。

樣本的數字特征，首先要理解數字特征的含義，例如，眾數、中位數、平均數、方差、標準差的表示的含義，要求學生能根據實際問題選取合理的特征進行說明。建議在平時復習中能讓學生能夠理解數字特征的含義，加強學生的利用數字特征來描述數學問題。

事件，理解互斥、對立事件及獨立事件的含義，根據具體問題，分析屬于哪種事件，再結合不同事件類型計算概率.對于概率模型，有超幾何分布、二項分布、正態分布等。而理解好事件模型對于選取概率模型也是有幫助的。所以，在高考備考中，對于把握概念，如何更好地理解事件類型，從何角度理解（如集合角度理解獨立事件與互斥事件）？如何分辨二項分布與超幾何分布？首先試驗是相互獨立的，常見的信息有，有放回的抽取，即每次抽取概率不變，選二項分布;又或者題目樣本總數很大的字眼的時候即使不放回，也要選二項分布。當題目中出現N次完全相同重復試驗并且試驗是相互獨立的，樣本個體有限，不重復抽樣，我們簡稱有放回的抽樣，那么求試驗成功的次數選用的概率分布模型是超幾何分布。

四、結語

2020年全國高考作為一個分界點，也是新的開始，概率統計地位的提高，也是發揮核心素養在教學育人中重要體現。作為一線教師，更需要在深度解讀全國卷的同時，也要深化對核心素養的理解。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2019.

[2]林月娥.從四個關注突破高考概率統計解答題[A].課程教育研究，2019：163.