立足課本，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

吳桂鵬

【摘要】本文緊緊圍繞“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何立足課本，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、創(chuàng)造性”進(jìn)行論述，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。

【關(guān)健詞】例題;專欄;習(xí)題;思維

例題是教材的重要組成部分，是學(xué)生掌握教材中基礎(chǔ)知識、基本技能的重要來源，也是老師傳授知識的紐帶，它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能，處理好例題的教學(xué)，對教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生智力的發(fā)展、思維品質(zhì)的培養(yǎng)都至關(guān)重要。課本中的“探究、思考、提示、問題”專欄以及習(xí)題，是為了讓學(xué)生形成積極主動、形式多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。基于此，本文對在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何立足課本作了系列探討。

一、例題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

數(shù)學(xué)是一個(gè)具有內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，各不同分支、不同部分，都是相互聯(lián)系、相互滲透的。在課本例題的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該沖破課本解法的定勢思維，多層次、多維度分析，使得學(xué)生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

此解法是教材的解法，在教學(xué)中讓學(xué)生仔細(xì)體會兩個(gè)動點(diǎn)之間的關(guān)系，建立兩個(gè)動點(diǎn)坐標(biāo)間的線性關(guān)系，利用坐標(biāo)代換得到所求動點(diǎn)的軌跡方程。這種解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，值得師生共同回味。此時(shí)進(jìn)一步追問：是否有其它解法呢？

分析：引導(dǎo)學(xué)生利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化參數(shù)方程，并將所求動點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)來表示，通過消去參數(shù)得到所求動點(diǎn)的軌跡方程。

這種解法讓學(xué)生看到了利用參數(shù)方程解題的簡潔性。 除了利用“參數(shù)法”進(jìn)行求解，我們還可以構(gòu)建一個(gè)變動的三角形，在變動中尋找不變化的幾何量，利用圓的定義得到所求動點(diǎn)的軌跡方程。

引導(dǎo)學(xué)生對課本例題的再思考，不僅可以通過少量的問題去溝通各部分知識間的聯(lián)系，拓寬解題的思路，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神。

又如：普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修①·人教A版》第三章第二節(jié)例4：人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0 ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率。下面是1950～1959年我國人口數(shù)據(jù)資料。

（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國這一時(shí)期的具體人口增長模型，并驗(yàn)證所得的模型參數(shù)提取與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符？

（2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達(dá)到13億？

我設(shè)計(jì)了下面的問題讓學(xué)生獨(dú)立探索：

（1）本例中所涉及的數(shù)量關(guān)系有哪些？

（2）描述所涉及數(shù)量關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的？確定這種模型需要幾個(gè)因素？

（3）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？

（4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)如何作出評價(jià)？

（5）如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個(gè)時(shí)期的人口數(shù)？實(shí)質(zhì)是何種計(jì)算方法？

問題一提出，學(xué)生興趣盎然，個(gè)個(gè)躍躍欲試。通過利用計(jì)算器作出函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合度。

學(xué)生通過積極思考、主動參與、認(rèn)真觀察分析所給的圖象，按問題和探索步驟逐步思考、分析、討論、解答、交流。學(xué)生的讀圖能力得到了提高，理解到表格是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式。通過對例題的深層次探索，學(xué)生學(xué)會了解決問題的方法方式，掌握了正確的思維習(xí)慣，綜合素質(zhì)也不知不覺得到了提高。

二、“探究、思考、提示、問題”專欄，激發(fā)學(xué)生的思維興趣

《新課標(biāo)》倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)生通過自主探索、主動學(xué)習(xí)而獲得知識，鼓勵學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)全過程。為了體現(xiàn)這一新理念，教材中設(shè)有“探究、思考、提示、問題”專欄，往往能提出擊中要害的關(guān)鍵問題。

例如：在教學(xué)“圓的一般方程”時(shí)，先是利用課本中的“探究”專欄，方程“x2+y2+Dx+Ey+F=0”在什么條件下表示橢圓？讓學(xué)生進(jìn)行討論并探索結(jié)論。因?yàn)橛辛苏n本中的思考題：“x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形？”作基礎(chǔ)，學(xué)生都能動手配方變形后展開討論，迫使學(xué)生進(jìn)一步探索得出結(jié)果，教學(xué)中的難點(diǎn)也得到解決。像這樣的專欄，每個(gè)章節(jié)都有，同學(xué)們分組討論、交流、合作、歸納，共同展示探索成果，取長補(bǔ)短，共同提高。在探究過程中，能充分調(diào)動學(xué)生參與的積極性，激發(fā)學(xué)生的思維興趣，讓學(xué)生養(yǎng)成了主動學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

又如：在完成“簡單的線性規(guī)劃問題”的教學(xué)任務(wù)后，安排學(xué)生學(xué)習(xí)“閱讀與思考”的內(nèi)容，題目如下：

課本提供了一種錯誤的解法：聯(lián)立①②這兩個(gè)不等試，用類似于解二元一次方程組的方法分別求出x和y的范圍，然后直接代入后面的式子求范圍，即：

錯解原因：忽略了x和y的相互制約關(guān)系，所得出的取值范圍比實(shí)際的范圍要大。

這種解法整體上保持了x和y的相互制約關(guān)系，因而得出的范圍是準(zhǔn)確的。看到了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，我又組織學(xué)生探究這樣一個(gè)問題：能否利用本節(jié)的內(nèi)容求解？

這種解法能清晰讓學(xué)生知道x和y之間存在著相互制約關(guān)系，圖解法是解決線性規(guī)劃問題有效的方法，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)健。

三、高效使用習(xí)題，提高學(xué)生的思維能力

學(xué)生在做習(xí)題時(shí)，我堅(jiān)持做到：學(xué)生能夠說的，教師不說;學(xué)生能做的，教師不做;學(xué)生能想到的，教師不提醒。由學(xué)生先講，先做，在小組討論中讓學(xué)生闡述自己的觀點(diǎn)。比如在教學(xué)“圓的一般方程”時(shí)，教完例題后，我讓學(xué)生做課本的B組題：等腰三角形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，2），底邊一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，5），求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它是什么圖形？此題先讓學(xué)生獨(dú)立完成，并指名讓學(xué)生在黑板上表演。經(jīng)觀察，大部分學(xué)生為自己的勝利而感到高興，沾沾自喜。90%的學(xué)生求出的方程是“（x-4）2+（y-2）2=10”，而忽視了題目的隱含條件：“C與B不能重合，C與B關(guān)于A的對稱點(diǎn)也不能重合。”有七、八位思維嚴(yán)密的同學(xué)不同意以上的解法，經(jīng)過自己的驗(yàn)證，他們認(rèn)為這種做法是有問題的，題中還有隱含條件，經(jīng)過這些同學(xué)的適時(shí)點(diǎn)拔、補(bǔ)充、解答，此時(shí)同學(xué)們才恍然大悟。接著讓學(xué)生獨(dú)立完善解題后，自己總結(jié)出求軌跡方程的解題步驟。由于學(xué)生參與解題的全過程，對出現(xiàn)錯誤的印象非常深刻，這樣的教訓(xùn)是刻骨銘心的。這種做法，讓學(xué)生經(jīng)歷活動的全過程，讓學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，真正讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)的全過程。同學(xué)們在積極的探索中不知不覺地學(xué)到了知識，提高了學(xué)習(xí)能力，流露出探索成功的喜悅。

課本是教學(xué)之本，深挖教材的潛力，充分發(fā)揮教材的自身作用，處理好課本的例、習(xí)題以及“探究、思考、提示、問題”專欄的教學(xué)十分重要;吃透課本知識，才能全面、系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識和基本方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)，以不變應(yīng)萬變。