基于尖點突變理論和MF-DFA法的隧道大變形監(jiān)測

常瑤

摘要：高地應(yīng)力軟巖隧道發(fā)生大變形具有必然性，嚴(yán)重影響施工安全，對其穩(wěn)定性進(jìn)行評價并判斷變形趨勢可為工程施工提供一定的參考，具有很強的現(xiàn)實意義。以成蘭鐵路松潘隧道為例，利用尖點突變理論和多重分形去趨勢波動分析法（MF-DFA）構(gòu)建了高地應(yīng)力軟巖隧道大變形的穩(wěn)定性及變形趨勢判斷模型，并進(jìn)行變形預(yù)測。結(jié)果表明：尖點突變理論能有效評價隧道大變形的穩(wěn)定性;松潘隧道目前處于穩(wěn)定狀態(tài)，但不同階段的穩(wěn)定性具有差異，且隧道穩(wěn)定性不僅與累計變形量相關(guān)，也與變形曲線的增長過程相關(guān);同時，MF-DFA分析得出隧道大變形具有多重分形特征，且具正向增長趨勢，但趨勢性較小。該方法為隧道大變形規(guī)律研究提供了一種新的思路，可為工程設(shè)計施工人員提供參考。

關(guān)?鍵?詞：軟巖隧道; 大變形預(yù)測; MF-DFA; 尖點突變理論; 高地應(yīng)力; 松潘隧道

中圖法分類號： P642?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.01.022

近年來，隨著我國交通建設(shè)的快速發(fā)展，隧道工程也在不斷增加，相應(yīng)的工程技術(shù)問題也越來越多[1]。其中，高地應(yīng)力軟巖地區(qū)的大變形問題已成為隧道建設(shè)過程中的突出難題，給工程建設(shè)造成了極大困難，因此，軟巖隧道的大變形研究具有十分重要的意義[2]。目前，還未對隧道大變形形成統(tǒng)一的定義，有學(xué)者認(rèn)為：隧道大變形指的是圍巖變形量超過預(yù)留變形量[3-5]。近年，許多學(xué)者在隧道大變形方面做了大量研究，如趙亢等對高地應(yīng)力條件下的大變形機理進(jìn)行研究，為類似隧道的設(shè)計、施工提供了指導(dǎo)[6];高發(fā)征分析了弱膠結(jié)軟巖的大變形特征，并提出相應(yīng)的變形控制措施，有效保證了現(xiàn)場施工安全[7];王興彬[8]、徐松[9]對隧道大變形控制措施進(jìn)行了研究，為解決類似工程問題積累了經(jīng)驗。上述研究雖取得了一定的研究成果，但缺少對隧道大變形的趨勢分析和穩(wěn)定性評價，針對該問題，本文提出利用多重分形去趨勢波動分析法（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MF-DFA）來分析隧道大變形的發(fā)展趨勢，并利用尖點突變理論判斷隧道大變形的穩(wěn)定性。其中，多重分形去趨勢波動分析法目前雖還未應(yīng)用于隧道變形領(lǐng)域，但已在水文及其它巖土領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如鐘亮等利用該方法對河道水沙變化序列進(jìn)行分析，揭示了水沙序列的變化特征，有助于河道水沙變形趨勢的預(yù)測預(yù)報[10];韋武昌等利用該方法分析了大壩變形序列的波動特征，為大壩的安全監(jiān)測提供了一定的數(shù)據(jù)支持[11]。同時，尖點突變理論已被廣泛應(yīng)用于巖土領(lǐng)域的穩(wěn)定性判斷中，如吳慶發(fā)利用尖點突變理論判斷了隧道圍巖的穩(wěn)定性，為及時掌握隧道變形突變提供了依據(jù)[12];徐海清等利用尖點突變理論建立了隧道失穩(wěn)的預(yù)測模型，該模型能有效判斷圍巖塌方的時間，為避免塌方事故提供了依據(jù)[13]。上述研究成果充分說明了多重分形去趨勢波動分析法和尖點突變理論在變形趨勢判斷及穩(wěn)定性評價中的有效性。因此，本文提出利用尖點突變理論判斷隧道大變形的穩(wěn)定性，再利用多重分形去趨勢波動分析法判斷大變形的發(fā)展趨勢，實現(xiàn)隧道大變形規(guī)律的綜合分析，以期為隧道大變形研究提供一種新的思路。

1?基本原理

1.1?尖點突變理論

尖點突變理論是一種非線性理論，能有效評價事物由穩(wěn)定狀態(tài)到非穩(wěn)定狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過程，對隧道圍巖的變形穩(wěn)定性研究具有較好的適用性[14-16]。

隧道大變形的突變分析步驟為：① 基于現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)擬合變形函數(shù);② 對變形函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為尖點突變理論的標(biāo)準(zhǔn)形式;③ 計算突變特征值;④ 根據(jù)突變特征值判斷圍巖變形的穩(wěn)定性。

（1） 擬合變形函數(shù)。隧道的變形監(jiān)測一般包括拱頂沉降監(jiān)測和水平收斂監(jiān)測，其變形序列表示為{x1，x2，…，xt}，對其進(jìn)行4項多項式擬合，得到變形函數(shù)為

W（t）=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4（1）

式中，W（t）為變形函數(shù);ai（i=0，1，2，3，4）為待擬合參數(shù);t為時間節(jié)點。

（2）標(biāo)準(zhǔn)化變換。根據(jù)尖點突變理論的基本原理，令t=x-A，a=a2/4a4，對變形函數(shù)進(jìn)行初步變換，得：

Y（x）=b4x4+b2x2+b1x+b0（2）

式中，Y（x）為初步變換函數(shù);bi（i=0，1，2，4）為待擬合參數(shù)，A為變換參數(shù)。

其中，擬合參數(shù)a和變換參數(shù)b間的變換關(guān)系為

b0?b1?b2?b3?b4=A4-A3A2-A1?-4A43A2-A10?6A2-3A1000?10000a4?a3?a2?a1?a0（3）

同時，對式（2）的兩側(cè)同以時除b4即可得到標(biāo)準(zhǔn)形式：

第1期??常?瑤：基于尖點突變理論和MF-DFA法的隧道大變形監(jiān)測

人?民?長?江?2019年

T（x）=x4+μx2+νx+c （4）

μ= a2a4- 3a238a24（5）

ν= a1a4- a2a32a24+ a338a34（6）

式中，T（x）為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù);μ、ν為突變特征參數(shù);c為常數(shù)。

（3） 突變特征值計算。對標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行二次求導(dǎo)，得突變特征值的計算公式為

Δ=8μ3+27ν2 （7）

（4） 穩(wěn)定性判斷。通過突變特征值Δ即可判斷隧道變形的穩(wěn)定性，即當(dāng)Δ<0時，隧道處于不穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)Δ=0時，隧道處于臨界狀態(tài);當(dāng)Δ>0時，隧道處于穩(wěn)定狀態(tài)。同時根據(jù)文獻(xiàn)[17]，得出Δ值的大小可描述演化狀態(tài)與臨界狀態(tài)的接近程度，且Δ大于0時，其值越大，穩(wěn)定性越差，反之穩(wěn)定性越好。

1.2?多重分形理論

本文利用多重分形去趨勢波動分析法分析隧道變形序列的分形特征及變形趨勢[18-19]。多重分形去趨勢波動分析法能有效判斷時間序列的發(fā)展趨勢，對評價隧道的變形趨勢具有較好的適用性，其分析步驟分述如下。

（1） 隧道的變形序列為{xi}（i=1，2，…，N），計算其累計離差序列為

yi=ik=1 （xk-x′）（8）

式中，yi為第i個節(jié)點的累計離差值;x′為變形序列的平均值;N為序列長度。

（2） 對累計離差序列進(jìn)行區(qū)間劃分，共劃分為?Ns?=N/s（非整數(shù)時取整數(shù)）個區(qū)間，每個區(qū)間長度為s。同時，當(dāng)Ns非整數(shù)時，會導(dǎo)致序列剩余節(jié)點的浪費，因此，再逆序按長度s重新劃分區(qū)間，共計得到2Ns個子區(qū)間。

（3） 在各子區(qū)間v內(nèi)部，進(jìn)行多項式擬合，得擬合多項式為

yv（i）=a1ik+a2i?k-1?+…+a?k+1?（9）

同時，根據(jù)v值的不同，求解對應(yīng)的方差，即當(dāng)v屬于1～Ns時，方差求解公式為

F2（s，v）= 1ssi=1{y[（v-1）s+i]-yv（i）}（10）

當(dāng)v屬于Ns+1～2Ns時，方差求解公式為

F2（s，v）= 1ssi=1{ y[N-（v-Ns）s+i]-Pv（i）}（11）

（4） 基于各子區(qū)間的方差，可計算?q?階條件下的波動函數(shù)：

F（q，s）= 12Ns2Nsv=1[F2（s，v）]q/21/q?（12）

式中，F(xiàn)（q，s）與s1為冪函數(shù)關(guān)系;q為非零實數(shù)。

（5） 根據(jù)上述分析，不斷改變區(qū)間長度s，可得到對應(yīng)的F（q，s），且兩者的對數(shù)值存在線性關(guān)系，即：

lnF（F，s）=lnk+h（q）·lns（13）

式中，h（q）為q值條件下的Hurst指數(shù)，即廣義Hurst指數(shù);lnk為常數(shù)。

（6） 對（q，h（q））進(jìn)行最小二乘擬合，并對其擬合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得對應(yīng)q值條件下的h′（q），進(jìn)而可求得奇異指數(shù)a，即：

a（q）=h（q）+qh′（q）（14）

Δa=a?max?-a?min?（15）

式中，a（q）為q值條件下的奇異指數(shù);h′（q）為q值條件下的導(dǎo)函數(shù)。

奇異指數(shù)可以描述評價序列的奇異程度，其變化區(qū)間越大，說明多重分形程度越大，反之越小。

多重分形特征判據(jù)：當(dāng)h（q）值不依賴于q值時，即h（q）始終保持一個常數(shù)時，評價序列不具有分形特征;但當(dāng)h（q）值隨q的增大而減小時，則說明評價序列具有多重分形特征。

同時，當(dāng)q為2時，h（2）為經(jīng)典Hurst指數(shù)，將其作為隧道變形趨勢的判斷指標(biāo)，變形趨勢判據(jù)為：當(dāng)h（2）<0.5時，評價序列的發(fā)展趨勢與前一階段的變形趨勢相反，且偏離0.5的程度越大，趨勢性越強;當(dāng)h（2）=0.5時，評價序列沒有相關(guān)性，不能判斷其發(fā)展趨勢;當(dāng)h（2）>0.5時，評價序列的發(fā)展趨勢與前一階段的變形趨勢相同，且偏離0.5的程度越大，趨勢性越強。

2?實例分析

2.1?工程概況

成蘭鐵路松潘隧道位于縣城南側(cè)，總長8 048 m，最大埋深400 m，執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)為雙線國鐵Ⅰ級，設(shè)計速度為200 km/h[20]。隧址區(qū)最高、最低高程分別為3 500 m和2 850 m，相對高差650 m，地形起伏較大，屬構(gòu)造剝蝕中山地貌。隧址段圍巖以板巖和千枚巖為主，根據(jù)試驗成果，得千枚巖的飽和抗壓強度間于15～33 MPa之間，板巖的飽和抗壓強度間于5～15 MPa之間。鑒于隧址區(qū)構(gòu)造應(yīng)力不發(fā)育，將自重應(yīng)力作為巖體所受的最大地應(yīng)力，并根據(jù)圍巖強度應(yīng)力比判別圍巖所處的地應(yīng)力等級，即：當(dāng)圍巖巖性為千枚巖時，隧道埋深超過80 m即為高地應(yīng)力區(qū)，超過138 m即為極高應(yīng)力區(qū);當(dāng)圍巖巖性為板巖時，隧道埋深超過158 m即為高地應(yīng)力區(qū)，超過277 m即為極高應(yīng)力區(qū)。因此，該隧道屬高地應(yīng)力軟巖隧道，具有發(fā)生大變形的條件。同時，隧道監(jiān)控量測是隧道施工過程中不可或缺的工序，可及時掌握圍巖的變形規(guī)律及各支護(hù)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定狀態(tài)，對優(yōu)化支護(hù)參數(shù)等具有重要作用。該隧道的測量方式為反射膜片及全站儀結(jié)合的非接觸式監(jiān)測，且隧道拱頂沉降和水平收斂的控制變形量為5 mm/d或100 mm。選取該隧道D3K244+269斷面的監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，分析該文模型的有效性，共計有40個周期，監(jiān)測頻次為1次/d，變形曲線如圖1所示。

2.2?穩(wěn)定性分析

本文利用尖點突變理論來評價隧道變形的穩(wěn)定性，且考慮到隧道施工的階段性，將穩(wěn)定性分析劃分為整體分析和分階段分析，其中整體分析指的是以所有監(jiān)測數(shù)據(jù)為分析樣本進(jìn)行突變分析;分階段分析指的是將監(jiān)測數(shù)據(jù)劃分為兩階段，即前期和后期，且前期樣本為1～20周期，而后期樣本為21～40周期。

2.2.1?整體穩(wěn)定性分析

根據(jù)尖點突變理論的基本原理，對拱頂沉降及水平收斂的變形序列進(jìn)行整體穩(wěn)定性分析，得兩序列的擬合函數(shù)分別如下所述。

拱頂沉降：

y=-2.599×10?-4?t4+2.343×10?-2?t3-?8.809×10?-1?t2+21.65 t-0.911 8（16）

水平收斂：

y=-1.756×10?-4?t4+1.043×10?-2?t3-?3.306×10?-1?t2+14.96 t+9.193（17）

根據(jù)擬合結(jié)果，拱頂沉降的擬合度為0.998，均方根誤差為4.159，而水平收斂的擬合度為0.997，均方根誤差為5.135，得出兩者的擬合度均趨近于1，均方根誤差均較小，說明擬合效果較好，為后續(xù)參數(shù)求解奠定了基礎(chǔ)。同時，進(jìn)一步對突變參數(shù)及突變特征值進(jìn)行求解，可得到拱頂沉降的突變參數(shù)為μ1=341.74;ν1=-22 106.41，則突變特征值Δ1=1.35×10?10?>0。水平收斂的突變參數(shù)為μ1=559.72;ν1=?-55 474.47，?則突變特征值Δ1=8.45×10?10?>0。

根據(jù)突變分析，得出拱頂沉降、水平收斂的突變特征值均大于零，說明兩者的整體穩(wěn)定性評價均為穩(wěn)定，且以拱頂沉降的穩(wěn)定性相對更高，結(jié)合水平收斂較拱頂沉降的累計變形量更高，說明隧道變形的累計變形量越大，穩(wěn)定性越差，這與現(xiàn)場實際相同，驗證了本文整體突變分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2.2.2?分階段穩(wěn)定性分析

類比整體分析過程，也再利用尖點突變理論進(jìn)行隧道變形的分階段分析，結(jié)果如表1所示。由表1可知，拱頂沉降、水平收斂在不同階段的擬合度均較趨近于1，且均方根誤差均較小，說明各階段的擬合效果均較好;同時，不同階段的突變特征量均大于零，說明拱頂沉降、水平收斂的各階段均處于穩(wěn)定狀態(tài)。對比拱頂沉降、水平收斂在相應(yīng)監(jiān)測階段處的突變特征值，均

以水平收斂的突變特征值相對更大，說明水平收斂的穩(wěn)定性相對更差。其中，結(jié)合兩者前期的變形曲線，得出水平收斂的前期累計變形量要略大于拱頂沉降的前期累計沉降量，且水平收斂的變形曲線呈持續(xù)增長趨勢。而拱頂沉降的變形曲線呈先持續(xù)增長、后趨于平緩，說明隧道變形的穩(wěn)定性不僅與累計變形量的大小相關(guān)，也與變形曲線的變化過程相關(guān)，且以持續(xù)增長變形過程的穩(wěn)定性更差。同時，拱頂沉降、水平收斂的后期變形曲線相似，但以水平收斂的累計變形量相對更大，再次驗證了隧道穩(wěn)定性是與累計變形量相關(guān)的，且累計變形量越大，穩(wěn)定性越差。

對比隧道穩(wěn)定性的整體分析和分階段分析結(jié)果可知，分析階段的差異不會影響隧道穩(wěn)定性的失穩(wěn)判別，但會影響穩(wěn)定性的相對程度，即隧道穩(wěn)定性具有階段性特征，不同階段的穩(wěn)定性具有差異。

2.3?變形趨勢分析

根據(jù)論文思路，再利用MF-DFA法分析隧道的變形趨勢，程序與穩(wěn)定性分析過程相同，也進(jìn)行整體變形趨勢分析和分階段趨勢分析。同時，根據(jù)MA-DFA法的基本原理，q值不宜過大也不宜過小，當(dāng)q值過大時，會增加計算工作量，降低分析效率;當(dāng)q值過小時，難以判斷隧道變形的多重分形特征，因此，將q值區(qū)間設(shè)定為-8～8。另外，考慮到原始序列的相關(guān)性會對變形趨勢判斷造成影響，進(jìn)而采用AR（1）模型對隧道變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以剔除原始變形序列的相關(guān)性[14]。

2.3.1?整體變形趨勢分析

根據(jù)MF-DFA法的基本原理，對拱頂沉降、水平收斂的整體變形趨勢進(jìn)行分析，結(jié)果如表2所示。由表2可知，在相應(yīng)q值條件下，經(jīng)去相關(guān)性處理后的h（q）值均出現(xiàn)不同程度地減小，說明原始序列的相關(guān)性對MF-DFA分析的影響確實存在，去相關(guān)性處理能減弱變形趨勢性。因此，為消除序列相關(guān)性對變形趨勢的影響，均采用處理后序列的結(jié)果進(jìn)行多重分形分析和趨勢分析;各變形序列的h（q）值均隨q值的增大而減小，其中，拱頂沉降序列的h（q）值由0.914減小至?0.478，?水平收斂序列的h（q）值由0.908減小至?0.457，?均不為常數(shù)，說明各序列均具有多重分形特征。拱頂沉降序列的h（2）值為0.574，而水平收斂序列的h（2）值為0.557，均大于0.5，說明拱頂沉降、水平收斂的發(fā)展趨勢與前一階段相同，將會進(jìn)一步增加，但兩者的Hurst指數(shù)偏離0.5的程度較小，說明隧道變形的趨勢性較小。對比拱頂沉降和水平收斂的h（2）值，得知水平收斂序列的h（2）值略小，說明拱頂沉降的變形趨勢要略大于水平收斂。

同時，再對各整體變形趨勢分析序列的奇異指數(shù)進(jìn)行求解，結(jié)果如表3所示。由表3可知，各序列的分形程度具有差異，且處理后序列的分形程度均不同程度的減小，說明去相關(guān)性處理能減弱序列的分形程度;同時，對比拱頂沉降和水平收斂在相應(yīng)序列處的Δa值，可知拱頂沉降的Δa值相對更大，說明拱頂沉降較水平收斂的分形程度更強;另外，各序列的擬合度均趨近于1，說明求解Δa值的擬合效果較好，分析結(jié)果的可信度高。

2.3.2?分階段變形趨勢分析

進(jìn)一步利用MF-DFA法分析拱頂沉降和水平收斂的分階段變形趨勢，且分析序列均經(jīng)AR（1）模型的去相關(guān)性處理，分析結(jié)果如表4所示。由表4可知，兩序列在不同階段的h（q）值均隨q值的增大而減小，均不為常數(shù)，說明兩序列在不同階段均具有多重分形特征。對比兩序列前、后階段的h（2）值，得知序列后期h（2）值均小于前期的h（2）值，說明后期變形的趨勢性不及前期，后期變形趨勢趨于減弱，且兩序列的后期h（2）值偏離0.5的程度較小，說明兩序列的趨勢性較小，與整體變形趨勢分析結(jié)果相符。

同時，也對分階段變形趨勢分析序列的奇異指數(shù)進(jìn)行求解，結(jié)果如表5所示。由表5可知，兩序列不同階段的分形程度也具有差異，且前期的分形程度均大于后期的分形程度;在對應(yīng)分析階段，均以拱頂沉降的?Δa?值相對更大，說明拱頂沉降較水平收斂的分形程度更強，與整體變形趨勢分析的分形程度結(jié)果相符;各階段的擬合度均接近于1，說明各階段的擬合效果也較好。

對比整體和分階段變形趨勢的分析結(jié)果，得出兩序列的前期變形趨勢性相對最大，整體變形趨勢性相對次之，而后期變形趨勢性相對最小，但三者均呈正向變形趨勢，說明分析階段不同，不會對趨勢性的判斷造成影響，但會對變形的趨勢性程度造成影響，這與尖點突變分析的結(jié)果相符，驗證了兩種分析方法的準(zhǔn)確性和可信度。

3?結(jié) 論

（1）結(jié)合成蘭鐵路松潘隧道的現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)，以尖點突變理論和MF-DFA法為理論基礎(chǔ)，構(gòu)建了高地應(yīng)力軟巖隧道大變形的穩(wěn)定性評價及變形趨勢判斷模型，該模型能有效評價隧道變形的穩(wěn)定性，并判斷其變形趨勢，為隧道大變形規(guī)律研究提供了一種新的思路。

（2） 隧道大變形的整體穩(wěn)定性判別結(jié)果與分階段穩(wěn)定性判別結(jié)果一致，但穩(wěn)定性程度具有差異，說明隧道大變形的穩(wěn)定性具有階段性特征，與隧道變形的實際情況相符，驗證了尖點突變分析的準(zhǔn)確性;同時，隧道變形的穩(wěn)定性不僅與累計變形量相關(guān)，也與變形曲線的增長過程相關(guān)。

（3） MF-DFA法能有效判斷隧道大變形的分形特征及變形趨勢，且分析結(jié)果與尖點突變分析的結(jié)果相符，驗證了該方法的準(zhǔn)確性和可信度，為隧道后期施工提供了一定的參考。

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引用本文：常?瑤.基于尖點突變理論和MF-DFA法的隧道大變形監(jiān)測[J].人民長江，2019，50（1）：118-123.

Large deformation monitoring of tunnels based on cusp catastrophetheory and multifractal detrended fluctuation analysis

CHANG Yao

（Shaanxi Railway Institute， Weinan 714000，China）

Abstract：The occurrence of large deformation in soft rock tunnel with high ground stress is inevitable， which seriously affects the construction safety. Evaluating its stability and judging the deformation trend can provide a certain reference for construction. Taking Songpan tunnel on the Chengdu-Lanzhou railway as an example， the stability and deformation trend judgement model for soft rock tunnel with high ground stress was constructed by using cusp catastrophe theory and Multifractal Detrended Fluctuation Analysis method （MF-DFA） to predict deformation. The results showed that the cusp catastrophe theory can effectively evaluate the stability of large deformation tunnel. Songpan tunnel is in a stable state at present， but the tunnel stability state varies in different stages， and its stability is not only related to the cumulative deformation， but also to the growth process of deformation curve. At the same time， MF-DFA analysis showed that the large deformation of tunnel has multifractal characteristics， and has a small positive growth trend. This method provides a new way for researching the large deformation law of tunnels and can be a reference for engineering design and construction personnel.

Key words：?soft rock tunnel; prediction on large deformation; MF-DFA; cusp catastrophe theory; high ground stress; Songpan tunnel