基于優化非等時距權重傅里葉灰色模型的變形預測

周春霖 王有志 徐剛年 王世民 張雪

摘要：針對傳統非等時距灰色模型對變形預測精度偏低問題，首先在傳統非等時距灰色模型的基礎上引入權重系數優化生成序列，然后利用傅里葉變換函數對殘差進行修正，建立了權重優化-傅里葉變換函數殘差修正的組合預測模型;最后以某下承式集散拱肋拱橋為背景，對其主梁變形進行預測。預測結果表明：該模型預測值總體平均相對誤差為2.4%，高于傳統非等時距灰色模型，預測精度為1級，為主梁變形預測提供了一種有效的技術手段。

關?鍵?詞：變形預測; 灰色模型; 非等時距; 權重系數; 傅里葉變換; 殘差修正

中圖法分類號： TV698?文獻標志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.01.037

在大跨度橋梁的施工過程中，為了達到設計的理想線形，需要對主梁線形產生偏差的因素進行跟蹤控制[1-3]，并及時進行糾偏，常用方法有 Kalman 濾波法[4-5]和灰色理論等[6-11]。由于灰色預測具有原理簡單[6]、算法簡便[7-8]、樣本數量要求低[9]、短期預測精度高[10]、可進行檢驗[11-12]等優點，因而在各個領域中得到了廣泛應用。但在傳統非等時距灰色模型預測的實際應用中，往往存在預測精度不高的情況。樊偉將灰色GM（1，1）預測模型與神經網絡預測模型結合起來，用神經網絡識別灰色GM（1，1）模型所得的預測值和實測值之間的未知關系，來修正灰色系統所得的預測值，進而提高預測精度[12];江安依據灰色模型的建模機理提出了一種不等時距序列的灰色預測模型背景值的新計算方法，并建立了新的不等時距序列的灰色預測模型，進而提高了預測精度[13];趙財軍以辛普生求積公式為基礎建立了新的灰微分方程，并對新的灰微分方程添加動態擾動項，以彌補灰微分方程與白化微分方程的差別，同時對初始值添加修正項，改進了GM（1，1）模型，提高了預測精度[14];胡華先利用“S”型函數對實測數據進行平滑處理，然后再用平滑后的數據建立非等時距GM（1，1）模型，并采用新的公式計算馬爾科夫模擬值，從而提高預測精度[15]。江安和胡華等人都證實原始模型在直接預測的應用中存在誤差較大、精度不高的問題，究其原因是傳統非等時距GM（1，1）模型本身存在時距權重的分配并不是最優的問題。張東明和蔣忠信證實了賦予合理的時距權重可有效提高預測精度[16-17]。

本文首先在傳統非等時距灰色模型的基礎上引入權重系數優化非等時距生成序列;然后利用傅里葉變換函數對殘差進行修正，形成權重優化—傅里葉變換函數殘差修正的組合預測模型，最后以下承式集散拱肋拱橋主梁撓度變形為實例進行預測分析，從而對本文組合預測系統精度進行檢驗。

1?灰色模型在橋梁監控中的運用

灰色模型是通過少量的、不完全的信息建立灰色微分預測模型，對事物發展規律作出模糊性的長期描述。灰色模型是從灰色系統中抽象出來的模型，灰色系統是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統。在橋梁施工監控工作中，雖然有些信息確定、數據完整，對應的是白色系統;但還有很多信息是部分確定、部分不確定或者是部分已知、部分未知，對應于典型的灰色系統，而橋梁施工過程中主梁線形變化情況便可以看作是一個灰色系統[18]。

設主梁線形變化的原始序列為

w?（0）?=[w?（0）?（t1），w?（0）?（t2），…，w?（0）?（tn）]（1）

設第k級與第k-1級的時間間距為Δtk，則非等間隔的時間間距為

Δtk=tk-t?k-1?≠const，k=1，2…，n（2）

對傳統非等間隔灰色模型的原始數據作一次累加式為

w?（1）?（tk）=w?（1）?（t?k-1?）+w?（0）?（tk）Δtk，k=2，3，…，nw?（0）?（tk）=w?（0）?（tk），k=1（3）

依據文獻[17]將非等間隔的時間間距增量Δtk的0.75賦在w?（0）?（tk）上，0.25賦在w?（0）?（t?k-1?）上得到的預測結果更優，精度更好。于是，重新調整非等間隔權值后，原始數據的一次累加式為

w?（1）?（tk）=w?（1）?（t?k-1?）+0.25w?（0）?（t?k-1?）Δtk+0.75w?（0）?（tk）Δtk?k=2，3，…，nw?（1）?（tk）=w?（0）?（tk）?k=1（4）

通過式（4）對原始非等間隔序列進行一次累加（1-AGO）后生成的序列為

w?（1）?=[w?（1）?（t1），w?（1）?（t2），…，w?（0）?（tn）]（5）

然后，由一階生成模塊w?（1）?建立灰色模型的微分方程為

dw?（1）dt+aw?（1）?=u（6）

式中，a為發展系數，反映了數據的發展態勢，取值范圍為0 ～ 10;u為灰色作用量，反映了數據變化的關系。

該非等間隔序列微分方程的解為

w^?（1）?（tk）= w?（1）?（t1）- uae?-a（tk-t1）?+ ua（7）

因為w?（1）?（t1）、a及u均為定值，令g=w?（1）?（t1）- ua，則式（7）變為

w^?（1）?（tk）=g[e?-a（tk-t1）?-1]+ w?（1）?（t1）（8）

按照式（4）進行累減還原，得到計算的預測值為

w^?（0）?（tk）= w^?（1）?（tk）-w^?（1）?（t?k-1?）-0.25w^?（0）?（t?k-1?）Δtk0.75Δtk，k=2，3，…，nw^?（0）?（tk）=w^?（1）?（tk），k=1（9）

為了使期望預測值w^?（1）?（tk）與原始值w?（1）?（tk）無限接近，根據累加生成的數據與預測值之間存在的關系，由此求解出方程組灰參數a和g[20]。將求解的灰參數平均值a^和g^代入（8）式得到優化非等間隔權重的灰色模型表達式為

w^?（1）?（tk）=g^[e?-a^（tk-t1）?-1]+ w?（1）?（t1）（10）

由式（10）求得的序列經一次累減還原后，計算得到的初值數據預測值w^?（0）?（tk）為

w^?（0）?（tk）=g^（e?-a^t?k-e?-a^t?k-1）-0.25e?-a^t1?w^?（0）?（t?k-1?）Δtk0.75e?-a^t1Δtkk=2，3，…，nw^?（0）?（tk）=g^[e?-a^（tk-t1）?-1]+w?（1）?（t1），k=1（11）

于是，得到下個時段的撓度預測值為

w^?（0）?（t?k+1?）=?g^（e?-a^t?k+1-e?-a^tk?）-0.25e?-a^t1?w^?（0）?（tk）Δt?k+1?0.75e?-a-t1Δt?k+1k≥n（12）

2?傅里葉變換殘差修正模型

由于殘差序列具有隨機波動變化的特性，本文運用傅里葉變換函數對優化權重后灰色GM（1，1）的預測殘差進行修正，能夠擬合出主梁變形數據列隨機波動過程，從而提高預測精度。基于傅里葉變換構建的殘差序列為

R（k）=w?（0）?（k）-w^?（0）?（k），k=2，3，…，n（13）

其中， R（1）=0。

傅里葉變換殘差表示為

R（k）= 12a0+∞i=1ancos 2πikT+bnsin 2πikT（14）

其中，k=2，3，…，n;取周期T=n-1。

an= 2T∫?2/T?-2/T?R（k）cos 2πkT?dk?= 2T∫?2/T?-2/T[w?（0）?（k）-w^?（0）?（k）]cos 2πkT?dk?（15）

bn= 2T∫?2/T?-2/T?R（k）sin 2πkT?dk?= 2T∫?2/T?-2/T[w?（0）?（k）-w^?（0）?（k）]sin 2πkT?dk?（16）

把R（1） = 0 代入式（14），得到：

a0=-2∞i=1ancos 2πikT+bnsin 2πikT（17）

將主梁變形實測值代入式（15）～（17），求得an、bn、a0，因此，最終得到傅里葉變換殘差修正后的主梁變形預測值為

Wk=w^?（0）?（k）+R^（k）（18）

式中，Wk為最終預測值，w^?（0）?（k）為優化權重后灰色GM（1，1）預測值，R^?（0）?（k）為隨機誤差。

3?精度檢驗

檢驗模型的合理性，一般常用的方法有后驗差檢驗法、相對誤差檢驗法和關聯度檢驗法。本文采用后驗差檢驗法對組合預測模型進行精度檢驗，判定模型是否合理。

殘差序列?E?為

E=w?（0）?-w^?（0）?=[ε（1），ε（2），…，ε（n）]（19）

式中，ε（k）=w?（0）?（k）-w^?（0）?（k），k=1，2，…，n。

由原始序列w?（0）?以及殘差序列可以計算出方差S21、S22。根據所求出的方差可求出后驗差檢驗的兩個衡量指標，即后驗差比C和小誤差概率P：

C=S2/S1（20）

P=P{│ε（k）-ε│<0.674 5S1}（21）

GM（1，1）模型的精度由指標C、P共同劃定，一般的模型級別取max{C的級別，P的級別}，精度參照表見表1。

4?工程實例

本文以濰坊渤海路下承式集散拱肋拱橋的主梁變形實測數據為依據，對權重優化—傅里葉變換函數殘差修正的組合預測模型的可行性進行驗證。橋梁全長527.86 m，主橋采用（30+100+30）m下承式集散拱肋拱橋。在施工過程中，因施工方支架數量不夠，為節約成本和時間，決定提前將邊跨支架拆除安裝到后續的施工階段。施工方施工順序改變，沒有嚴格遵循設計方確定的支架拆除時間安排，從而導致無法確定支架提前拆除后主梁線形的變化情況，而實際的數值模擬也很難準確計算出各階段的主梁撓度變化值。因此，為了較為精確地掌握邊跨支架拆除后主梁線形變化情況，建立權重優化—傅里葉變換函數殘差修正的組合預測系統。首先在傳統非等時距灰色模型的基礎上引入權重系數優化非等時距生成序列，優化后的預測結果如表2所示;其次，利用傅里葉變換函數對引入權重優化后的灰色模型的殘差進行修正，修正后得到的預測結果如表3所示，并采用后驗差檢驗法對本文模型進行精度檢驗，結果如表4所示;最后，對本文模型預測結果與傳統非等時距灰色模型預測結果進行對比，結果如表5所示。

由表4可知，本文預測模型后驗差比C和小誤差概率P兩個指標均在1級模型精度范圍內，精度等級檢驗為1級。由表5可知，本文預測模型的平均相對誤差比傳統非等時距預測模型的平均相對誤差均低，總體平均相對誤差降低了1.3%，說明本文預測結果更接近于實測值，預測精度更高。吊桿安裝施工時（即第58?天），本文所提模型預測的主梁最大撓度值為4.24 mm，滿足規范要求的5 mm[20]，能夠達到實際工程的應用要求。另外，具有較高精度的模型也能對撓度實現準確的預判，可以減少不必要的施工投入，從而進一步合理安排下階段的施工，具有重要的意義。

5?結 論

本文在傳統非等時距灰色模型的基礎上引入權重系數優化非等時距生成序列;然后利用傅里葉變換函數對殘差進行修正，從而形成了權重優化-傅里葉變換函數殘差修正的組合預測系統，并應用于下承式集散拱肋拱橋主梁變形預測。實例分析表明，該預測系統在施工過程中對主梁變形預測較為準確，總體平均相對誤差為2.4%，比傳統非等時距預測模型總體平均相對誤差低1.3%，有效提高了預測精度，能夠對施工提供指導。優化非等時距權重的傅里葉灰色模型的核心理論是灰色系統理論，對實測數據并無特殊要求和限制，同樣適應于其它工程領域的變形預測。

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引用本文：周春霖，王有志，徐剛年，王世民，張?雪.基于優化非等時距權重傅里葉灰色模型的變形預測[J].人民長江，2019，50（1）：207-210.

Optimization of non-equal interval weight Fourier grey model for deformation prediction

ZHOU Chunlin，WANG Youzhi，XU Gangnian，WANG Shimin，ZHANG Xue

（School of Civil Engineering， Shandong University，Ji′nan 250061，China）

Abstract：In order to solve the problem of low accuracy of traditional non-equal interval gray model， firstly the optimal generating sequence of weight coefficient was introduced to the traditional non-equal interval grey model， and then Fourier transform function was used to correct the residual error， so a combined prediction model of weight optimization-Fourier transform function residual correction was formed. Then the deformation of the main beam of a through-type arch bridge with distributed arch-ribs was predicted. The prediction results showed that the overall average relative error of the prediction value was 2.4%， which was better than that of the traditional non-equal interval grey model， and the prediction accuracy was grade 1. The establishment and application of the new model provide an effective technical means for the deformation prediction of main beams.

Key words：?deformation prediction; grey model; non-equal interval; weight coefficient; Fourier transform; residual error correction