高溫作業專用服裝設計模型研究

嚴梓奇 趙汝文

【摘 要】文章提出一種工業高溫作業服裝設計，提高工人高溫作業的安全性和生產效率。建立一維穩態熱傳導方程，通過將邊界條件代入模型，將模型優化，依據微元和隔離分析思想，建立差分熱傳導方程，得到最優解并對模型進行檢驗。文章建立目標函數的多變量優化方程，溫度函數升至四維。在采用有限元法基礎上，結合控制變量思想，建立迭代算法，把問題轉化為多元函數的極值問題，使用拉格朗日乘子法進行求解。根據極值的性質，利用迭代法建立檢驗算法，對模型進行檢驗。

【關鍵詞】微元;隔離分析;優化方程;有限元法;拉格朗日乘子法

【中圖分類號】TS941.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2019）08-0087-03

在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層織物材料構成。其中，Ⅰ層與外界環境接觸，Ⅲ層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為Ⅳ層。文章利用數學模型來確定假人皮膚外側的溫度變化情況，并解決服裝厚度問題（詳見2018年全國大學生數學建模A題[1]）。

在高溫環境下，建立一維穩態熱傳導方程[2][3]，在較小的時間間隔內作業服各層熱傳導達到穩態[4]。隨后將模型優化，建立差分熱傳導方程[5][6]。對于不同的環境溫度，建立一維熱傳導微分方程，得到最優解[7]。對于高溫工作時間的改變，建立目標函數的多變量優化方程，溫度函數升至四維。文章采用有限元法，結合控制變量思想，建立迭代算法，把問題轉化為多元函數的極值問題，使用拉格朗日乘子法進行求解。

1 一維穩態熱傳導模型

該問題是典型的熱傳導問題，將人體看成圓柱體后，衣服即可認為是環狀，形狀如圖1所示。

由此，文章即可實現對溫度函數關系的降維處理，由原來的T（x，y，z，t）降為T（x，t）或者T（y，t），此時只需要用水平面去截圓柱，求出任意一條與坐標軸平行的半徑上各個點的溫度即可，只需要求出T（x，t），其中x在0到R上進行變化。借鑒雙層玻璃窗功效的評價模型[1]，文章將模型簡化為圖2形式。

對于第一層織物來說，它的能量主要來自于外界空氣的熱傳導，能量消耗主要用于自身溫度的上升及對第二層織物熱傳導。文章認為當時間間隔足夠小時，溫度變化量較小，因此可以忽略自身溫度的變化，即達到雙層玻璃模型中的穩態，我們把時間間隔設為1 s，因此本文研究高溫作業服每秒的溫度情況，實現將連續問題離散化，根據穩態時的平衡條件可得公式（1）。

其中，Q為熱量的損失量，ki為第i層織物的熱傳導率，Ti為Xi處的溫度值，Tin為人體皮膚外側的溫度，Tout為環境溫度。

2 差分熱傳導模型

為了將溫度函數繼續降維，文章只研究各層織物特定點的溫度情況，特定點的選取與原模型相同。由于需要知道每個點的溫度，因此文章采用隔離法對每個點的情況進行分析。

通過對x1點處能量變化情況分析可知，x1處的能量主要由外界熱傳導提供，而該部分能量最終只有兩部分去處：第一為自身吸收，提高自身溫度;第二為傳導到溫度更低的地方。因此，根據能量守恒可得到公式（2）。

為了使方程近似于真實解，依據微元思想，文章將d和h取得盡量小，此時文章選擇d和h均為0.1 mm。熱傳導實際上是一個動態過程，即使在1 s內，熱量傳輸的速度實際上是在不斷變化的，而傳輸速度主要取決于溫差，本文將問題離散化，因此1 s內熱量傳輸速度應為定值，為了使文章的計算結果更接近真實值，本文取1 s內的平均時間。由于1 s內溫差是由大到小的，即熱量傳輸速度由快到慢，因此取平均速度較為合理，具體公式如式（5）。

3 一維非穩態熱傳導方程

此外，如果想要求解出最優厚度，就需要知道空間中各點溫度在確定時刻的溫度，而該溫度的因變量應包含d2（即第二層的厚度）。為了簡化模型，便于計算熱傳導方程，文章將三維立體空間降為一維，由于該方程為偏微分方程，文章可以用數值解代替解析解，然后通過迭代思想求解優化方程。

建立優化方程，需要知道溫度的表達式，通過模型一的分析可以發現，在假設成立的條件下，可以將三維熱傳導模型降為一維，具體情況如圖4所示。

其中，假人皮膚外側處為坐標零點。

通過查閱資料[7]，建立一維非穩態熱傳導方程，Q1為t1到t2自V流出的熱量，具體公式即推導過程如下：

上面模型的誤差主要來源于兩部分：第一部分是求解熱傳導方程時造成的誤差，由于高溫作業服各個時刻及各個位置的真實溫度值未知，因此無法具體求出其誤差值。第二部分誤差主要來源于曲線擬合時造成的誤差，這部分的誤差可以計算得出，因此文章主要研究該部分的誤差，通過這部分誤差來衡量模型的優劣程度。

描述曲線擬合程度的常用量是R2，因此文章使用R2作為評價指標。具體公式如下。

R2分布區間為（0，1），R2越小說明擬合得越差，R2越大說明擬合得越好，實際測的值是yi，擬合曲線計算出的值是Yi。

4 單變量優化模型

考慮到使用者的使用體驗，本文認為高溫作業服的體積應該越小越好，就像穿一件T恤會比穿羽絨服運動起來更舒服一樣。由于使用者不是靜止的，因此除去隔熱效果外，體積的大小是評價高溫作業服的一個重要指標，由此建立如下優化方程：

其中，T（x，t，d2，d4）表示在第二層和第四層厚度分別為d2，d4時，x處在t秒的溫度Ra為假人中心到作業服最外層的距離，具體含義如圖5所示。

其中，紅色表示第一層，藍色表示假人皮膚外層。通過合理的構造目標函數后，由原來的雙變量優化問題轉化為單變量優化問題;由于約束式中同樣存在偏微分方程，且相對模型二的維度又多了一維，因此很難解出解析解，故求解思想仍與模型二的求解思想類似，采用有限元法，在此基礎上結合控制變量思想，求解優化方程。通過該算法即可得到一組t0和d2，d4的離散數據及一組T0和d2，d4的離散數據，其中d2，d4為自變量，而t0和T0為因變量;兩個因變量關于自變量的函數均為多元函數，可以使用多元回歸對函數進行擬合，通過擬合文章可以得到F（d2，d4）=t0，G（d2，d4）=T0，優化函數的優化解會在邊界處取得，因此F（d2，d4）=25 min，G（d2，d4）=47 ℃，該問題轉化為求解多元函數的極值問題，可使用拉格朗日乘子法進行計算，具體公式如下：

通過上述方程組可以得到一組極值解，記為d1（d2，d4），f1（d2，d4），同理可解出當邊界條件為G（d2，d4）=47 ℃時的極值解，記為d2（d2，d4）。

此時可以通過兩個方面對模型進行檢驗：一方面，由于該模型同樣用到曲線擬合，故可以使用R2來刻畫模型的優劣程度，計算公式同模型二中的一樣;另一方面，可以通過試值法確定其是否為最優解。根據極小值的定義可知，在該點的一個領域內，其目標函數值應是最小的，因此可以按確定步長進行迭代，即驗證最優解附近的目標函數值是否為最小。

5 結語

本文不僅可以使用建立的差分模型來解熱傳導方程，還可以解其他類似的偏微分方程。對于其他防高溫設備，可以采用相同的方法和思路，求解其他保溫設備的設計。

參 考 文 獻

[1]全國大學生數學建模競賽組委會.2018年全國大學生數學建模競賽A題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/

html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html，2018-09-13.

[2]陳大偉，斯小琴.一維熱傳導過程的計算模擬[J].沈陽大學學報（自然科學版），2018（4）：338-341.

[3]潘斌，于晶賢，衣娜.數學建模教程[M].北京：北京工業出版社，2017，68-73.

[4]周方方，馬和平.多邊形區域上熱傳導方程的Legendre-

Chebyshev譜元法[J].應用數學與計算數學學報，2018，

32（2）：402-408.

[5]張忠衛，陳杰.二維材料中的熱傳導[J].中國材料進展，

2017，36（2）：141-148.

[6]史策.熱傳導方程有限差分法的MATLAB實現[J].咸陽師范學院學報，2009，24（4）：27-29，36.

[7]曹鋼，王桂珍，任曉榮.一維熱傳導方程的基本解[J].山東輕工業學院學報（自然科學版），2005（4）：77-80.

[責任編輯：鐘聲賢]