柱棒式超磁致伸縮振動能量收集裝置建模與實驗

何忠波 柏 果 鄭佳偉 周景濤 劉國平

(1.陸軍工程大學(xué)車輛與電氣工程系， 石家莊 050003； 2.32184部隊， 北京 100072)

0 引言

超磁致伸縮材料(Giant magnetostrictive material， GMM)是一種新型磁功能智能材料，可實現(xiàn)機械能-磁場能-電能之間的高效能量轉(zhuǎn)換，與其他智能材料相比，其具有輸出力大、應(yīng)變大、滯環(huán)小、響應(yīng)速度快、能量密度高等優(yōu)點[1-3]。目前GMM在致動器、換能器和傳感器等領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，為超磁致伸縮能量收集相關(guān)研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)[4-6]。振動能量收集是指利用特定能量的技術(shù)，對于緩解能源壓力以及提升能源的利用率具有一定意義[7-9]。超磁致伸縮式能量收集裝置(Giant magnetostrictive energy harvesting device，GMEHD)基于GMM的維拉里效應(yīng)，將外界的機械振動能轉(zhuǎn)換為可儲存使用的電能，具有輸出功率高、工作穩(wěn)定性強、應(yīng)用適應(yīng)性廣等優(yōu)勢，可為微機電系統(tǒng)甚至是常用的中小型功率器件供電，具有較好的發(fā)展?jié)摿10-13]。從20世紀(jì)80年代開始，國外研究機構(gòu)嘗試采集振動能量，并且論證了振動能量回收應(yīng)用于微功耗器件驅(qū)動的可行性。

目前，針對超磁致伸縮致動器的研究很全面，體系也已經(jīng)很成熟，但對能量收集方面研究并不多。國內(nèi)外學(xué)者致力于研究實用性更強的應(yīng)用型新結(jié)構(gòu)，然而對材料非線性、機電耦合特性等考慮較少，現(xiàn)有模型的研究大多集中于GMM棒磁化模型，并未遵循能量收集的相關(guān)工作過程；對GMEHD的有限元仿真分析也十分有限，部分仿真的假設(shè)過于簡單，與材料本征不夠吻合，仿真結(jié)論不可靠。本文根據(jù)機械振動通常具有周期性往復(fù)的實際特點，設(shè)計一種柱棒式GMEHD，理論上棒式GMEHD進行能量回收可采集任意頻率下的振動能，而且其對體積要求低，可做成閉合磁路、避免磁泄漏，有效提高材料的機電轉(zhuǎn)換效率；并且，棒式能量回收結(jié)構(gòu)與磁致伸縮棒式致動器結(jié)構(gòu)幾乎一樣，材料的磁機耦合特性也完全相同，由于致動器研究的成熟，該類型結(jié)構(gòu)具有較好的研究基礎(chǔ)[14]。為準(zhǔn)確計算能量收集產(chǎn)生的電動勢，結(jié)合其實際工作過程，建立系統(tǒng)的輸入輸出模型，并通過有限元仿真分析以及實驗研究對模型準(zhǔn)確性進行驗證及對比分析，以期為GMEHD結(jié)構(gòu)優(yōu)化和實際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 基本結(jié)構(gòu)與原理

1.1 基本結(jié)構(gòu)

設(shè)計了圖1所示的柱棒式GMEHD，核心元件為GMM棒；永磁體作為偏置磁鐵為GMM棒提供偏置磁場，能夠使GMEHD工作于機電耦合系數(shù)較高的線性區(qū)間[15-16]，同時將偏置磁鐵上下對置，相對周向放置減小了一定體積；由于GMM棒抗拉強度低，脆性較大，同時為了便于GMEHD接受外界激勵，在實際應(yīng)用中需要設(shè)計承力桿[17]；預(yù)緊彈簧為GMM棒提供預(yù)壓力，通過調(diào)整蓋帽和套筒之間的螺紋可調(diào)整預(yù)緊力；蓋帽、套筒和支座均采用高導(dǎo)磁材料，整個裝置構(gòu)成閉合磁路，實現(xiàn)輸出效率最大化。

圖1 能量收集裝置結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of energy harvesting device1.承力桿 2.預(yù)緊彈簧 3.偏置磁鐵 4.采集線圈 5.力傳感器預(yù)留位置 6.底部引線槽 7.固定螺栓孔 8.支座 9.超磁致伸縮棒 10.側(cè)方引線槽 11.套筒 12.蓋帽

1.2 工作原理

在機械應(yīng)力作用下材料產(chǎn)生應(yīng)變，會引起GMM棒內(nèi)部磁化狀態(tài)發(fā)生變化，這種現(xiàn)象稱為磁致伸縮逆效應(yīng)，又稱維拉里效應(yīng)。

根據(jù)維拉里效應(yīng)，如圖2所示，GMM棒一端固定，一端受力，外界壓力通過承力桿和預(yù)緊彈簧作用到GMM棒上。GMM棒形狀發(fā)生變化，其縱向長度減小使其內(nèi)部磁疇會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而使GMM棒的內(nèi)部磁場分布發(fā)生改變，其磁通量發(fā)生了變化。由法拉第電磁感應(yīng)定律，如果GMM棒外部繞有感應(yīng)線圈，就會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢并可通過線圈進行收集[18-19]。

圖2 GMEHD工作原理圖Fig.2 Working principles of GMEHD

2 系統(tǒng)建模

能量收集是將機械能轉(zhuǎn)換為磁場能最終轉(zhuǎn)換為電勢能的過程，故模型需建立輸入力和輸出電動勢之間的關(guān)系。相較于大多數(shù)現(xiàn)有模型不同，本模型充分考慮了能量收集工作整個過程，從GMEHD受到外界激勵到GMM棒產(chǎn)生形變，再到GMM棒內(nèi)部產(chǎn)生變化的磁場，最后通過線圈產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，模型更貼近裝置的實際工作過程。建模過程如圖3所示。

圖3 GMEHD建模流程圖Fig.3 Flow chart of GMEHD modeling

GMM棒在偏置磁場作用下的振動過程和磁化情況比較復(fù)雜，所以對裝置進行建模時作如下假設(shè)：①GMM棒的橫截面在振動時始終保持為平面作整體運動，并略去其縱向伸縮引起的橫向變形。②GMM棒受到的應(yīng)力σ、產(chǎn)生的壓應(yīng)變ε、偏置磁場強度H0和產(chǎn)生的磁場強度H均勻分布。③將GMM棒等效為質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，并假設(shè)其等效阻尼系數(shù)c和彈性模量E不隨外界力的變化而改變。④忽略預(yù)緊彈簧對系統(tǒng)輸入力的影響，GMM棒能夠完全得到外界力的輸入。

2.1 動力學(xué)模型

基于上述假設(shè)，將GMEHD簡化為單自由度振動系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 GMEHD等效模型Fig.4 GMEHD equivalent model

取GMM棒中心平衡點為坐標(biāo)原點，x軸正方向豎直向下，由圖4的二階線性有阻尼質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程

(1)

式中m——GMM棒等效質(zhì)量

k——GMM棒等效剛度

x——GMM棒位移

由GMM棒的位移可得到其應(yīng)變?yōu)?/p>

(2)

式中l(wèi)——GMM棒長度

當(dāng)對GMM棒施加壓應(yīng)力時，其磁疇將主要沿垂直軸線的易磁化方向分布。此時，GMM棒的應(yīng)變λ與磁化強度M的關(guān)系近似為基于能量基礎(chǔ)的二次疇轉(zhuǎn)模型

(3)

式中λs——GMM棒的飽和磁致伸縮應(yīng)變

Ms——GMM棒的飽和磁化強度

2.2 磁場模型

在外力作用下，GMM產(chǎn)生伸縮應(yīng)變，進而導(dǎo)致其內(nèi)部有效磁場發(fā)生變化。由熱動力學(xué)基本定理可得棒內(nèi)的Helmholtz自由能密度為

(4)

式中μ0——真空磁導(dǎo)率

H0——偏置磁場強度

α——疇壁相互作用系數(shù)

σ——GMM棒在外力作用下的應(yīng)力

T——內(nèi)部溫度S——熵

Helmholtz自由能密度J關(guān)于磁化強度M的微分即為有效磁場，式(4)對M微分，得

(5)

式(3)兩邊對M微分，得

(6)

將式(6)代入式(5)中，得

(7)

(8)

式中A——橫截面積

2.3 電動勢模型

考慮GMM固有的磁滯非線性，由電磁學(xué)原理可得棒內(nèi)磁感應(yīng)強度為

B=μ0(M+H)

(9)

在得到GMM棒內(nèi)磁感應(yīng)強度B后，由法拉第電磁感應(yīng)定律可計算產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

(10)

式中Φ——GMM棒內(nèi)部的磁通量

n——線圈匝數(shù)

將式(9)代入式(10)，可得

(11)

將式(3)、(8)代入式(11)，得

(12)

將式(2)代入式(12)，得

(13)

聯(lián)立式(1)、(13)即可得到在一定輸入力作用下GMEHD所產(chǎn)生的電動勢。

2.4 模型求解

在外界環(huán)境中，振動往往具有周期性或階段周期性，通過傅里葉變換，可將非正弦的周期性外力分解為一系列周期性正弦力的線性組合，因此以正弦力為輸入，借助式(1)、(13)，計算系統(tǒng)的輸出電動勢。

為了確保正弦力在不同時刻均能夠完全作用到GMEHD上，即為了使正弦力始終為正，預(yù)應(yīng)力應(yīng)大于或等于正弦力的幅值。在預(yù)應(yīng)力和正弦力的共同作用下，令外力F=F0+F1sin(ωt)，則式(1)為

(14)

式中F0——預(yù)應(yīng)力

F1——正弦力幅值

ω——正弦力頻率

由振動理論可知，單自由度強迫振動微分方程的全部解包括穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動。穩(wěn)態(tài)振動是外界激勵下的強迫振動，在正弦激勵下為持續(xù)等幅振動，瞬態(tài)振動在阻尼情況下為衰減振動，只在振動開始后的一段時間才有意義，一般情況下可以不考慮。分開討論穩(wěn)態(tài)振動預(yù)應(yīng)力和正弦力。

預(yù)應(yīng)力F0為施加在GMM棒上的靜力，其產(chǎn)生的位移x1為靜位移，不會有速度和加速度的產(chǎn)生，所以x1為

(15)

正弦力F1sin(ωt)為施加在GMM棒上的簡諧力，由單自由度強迫振動對簡諧激勵的響應(yīng)結(jié)果可以得到動位移x2為

x2=Xsin(ωt-θ)

(16)

(17)

(18)

故GMM棒的總位移x為

(19)

將式(19)代入式(13)中，得到GMEHD在正弦力下的輸出電動勢為

(20)

(21)

通過式(21)可以看出，在一定預(yù)應(yīng)力和正弦力共同作用下，GMEHD的輸出電動勢幅值和輸入正弦力的頻率呈線性關(guān)系；在外力及GMEHD一定的情況下，除了簡諧量外均為常數(shù)，其中正弦量不影響輸出電動勢u的相位，其相位與輸入正弦力相比，超前π/2。

2.5 線圈優(yōu)化

2.5.1線圈結(jié)構(gòu)

GMEHD采用多層繞組圓柱形線圈，其結(jié)構(gòu)如圖5所示。線圈骨架為空心圓筒，r1為內(nèi)徑，r2為外徑，h為骨架高度，銅漆包線由銅芯構(gòu)成，半徑為r，繞組高度為D(即r2-r1)。

圖5 多層圓柱形線圈示意圖Fig.5 Schematic of multilayered cylindrical coil

結(jié)合多層繞組圓柱形線圈的結(jié)構(gòu)以及電阻公式，每一匝線圈的平均長度為π(r1+r2)，則整個線圈的電阻R為

(22)

式中ρ——銅芯電阻率

在線圈骨架結(jié)構(gòu)一定的情況下，線圈匝數(shù)N與銅芯半徑r會受到結(jié)構(gòu)尺寸的約束，即

(23)

在線圈的實際纏繞過程中，不可避免會在漆包線之間產(chǎn)生間隔，實際的線圈匝數(shù)達不到理想計算結(jié)果，所以對式(23)添加修正系數(shù)η(0<η<1)，即

(24)

消去r，得

(25)

在線圈骨架一定的情況下，r1、r2、D、h均為定值，同時在銅漆包線材質(zhì)一定的情況下，電阻率ρ也為定值，因此線圈電阻R與匝數(shù)平方成正比，令

(26)

則

R=C1n2

(27)

在線圈高h(yuǎn)大于繞組高度D時，內(nèi)含磁心的多層繞組圓柱形線圈的電感L為[20]

(28)

式中μr——GMM棒相對磁導(dǎo)率

W——(r1+r2)/h的函數(shù)

V——h/D的函數(shù)

在線圈骨架一定的情況下，這三者均可視為常數(shù)，因此線圈自感L與匝數(shù)平方成正比，令

(29)

則

L=C2n2

(30)

2.5.2電路分析

圖6 線圈等效電路Fig.6 Coil equivalent circuit

由于GMEHD產(chǎn)生交流電動勢，在分析線圈對輸出電動勢的影響時，除了考慮線圈的直流阻抗外，還需考慮其感抗對輸出電動勢的影響。圖6是線圈的等效電路。其中，u是GMEHD產(chǎn)生的交流電動勢，i為電路中的電流，R2為外接負(fù)載電阻，u2為負(fù)載電阻上的電壓。將線圈等效為電阻R和電感L的串聯(lián)，u1為線圈上的電壓，ur、uL分別是電阻R和電感L上的電壓。為簡化求解過程，對電路進行分析時采用相量圖作為輔助分析工具，根據(jù)相量圖的幾何關(guān)系便可對電路進行相關(guān)運算。得到圖6的相量圖如圖7所示。

圖7 電路相量圖Fig.7 Phasor diagram of circuit

以I為參考相量，外接負(fù)載電阻R兩端電壓U2與I同相，線圈上的電壓U1含有兩個分量：電阻r上的電壓Ur也與I同相；電感L上的電壓UL較I超前90°。由相量圖得(U2，U1，U)和(Ur，UL，U1)2個電壓三角形，由相量圖應(yīng)用余弦定理計算

(31)

其中

XL=ωL=2πfL

(32)

式中φ——線圈電路相位角

XL——線圈感抗

由式(27)、(30)～(32)可以解得

(33)

從式(33)可以看出，φ不受線圈匝數(shù)n的影響。由式(21)可知，在外界輸入力一定以及GMM棒結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的情況下，GMEHD產(chǎn)生的電動勢與匝數(shù)n呈線性關(guān)系

U=c1n

(34)

式中c1——比例常數(shù)

則整個電路的有功功率P為

(35)

在外接負(fù)載電阻R2一定時，P只與線圈匝數(shù)n相關(guān)，將式(35)變形得

(36)

(37)

2.5.3線圈匝數(shù)

根據(jù)GMEHD以及使用的GMM棒的結(jié)構(gòu)尺寸，確定線圈各參數(shù)如表1所示。

表1 線圈各參數(shù)Tab.1 Parameter in coil

線圈各項參數(shù)確定后，即可確定出W與V取值為5與0.87。由式(37)可知，除了線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)與外接電阻之外，輸入力頻率f也會影響線圈匝數(shù)。圖8是匝數(shù)n與輸入力頻率f的關(guān)系曲線。

圖8 線圈匝數(shù)與輸入力頻率的關(guān)系曲線Fig.8 Relationship curve of coil turns and input force frequency

3 仿真

利用有限元軟件COMSOL Multiphysics建立有限元模型，設(shè)置模型相關(guān)組件，對GMEHD進行仿真分析。

3.1 有限元模型

圖9 幾何模型Fig.9 Geometric model

建立GMEHD幾何模型，如圖9所示。由于GMEHD為軸對稱結(jié)構(gòu)，無需建立GMEHD的實際三維空間結(jié)構(gòu)，僅建立了GMEHD的二維平面模型，在保證不影響計算結(jié)果精度的情況下，簡化了模型，減小了計算量。

3.2 模型參數(shù)設(shè)置

對幾何模型各部分添加不同的材料，材料參數(shù)如表2所示。

表2 有限元模型各參數(shù)Tab.2 Parameter in finite element model

物理場選擇包含固體力學(xué)場和磁場的耦合場，在GMEHD底端設(shè)置固定約束，頂桿上端設(shè)置預(yù)應(yīng)力以及相應(yīng)載荷。網(wǎng)格剖分選擇由用戶控制網(wǎng)格，對不同區(qū)域選擇不同網(wǎng)格形狀和大小，在保證精度的情況下減小計算量，網(wǎng)格剖分結(jié)果如圖10所示。在完成相關(guān)設(shè)置后進行計算，即可得到仿真分析的結(jié)果。

3.3 仿真結(jié)果

將1 N預(yù)應(yīng)力以及幅值1 N、頻率1 Hz的正弦力共同作用到承力桿上，可得GMEHD的磁感應(yīng)強度分布圖，圖11為一個正弦周期內(nèi)不同時間節(jié)點的磁感應(yīng)強度分布圖。

圖10 網(wǎng)格剖分圖Fig.10 Mesh split diagram

圖11 磁感應(yīng)強度分布圖Fig.11 Magnetic induction distribution diagrams

通過圖11可以看出，隨著時間的變化，在GMEHD中磁感應(yīng)強度變化率最大的是GMM棒，基于此可通過GMM的逆磁效應(yīng)得到感生電動勢。

4 實驗

為驗證模型的有效性，制作了GMEHD樣機(力傳感器在試驗時置于GMEHD內(nèi)部)，GMM棒采用定向凝固法制備，輸出桿、端蓋、外殼和底座均采用高磁導(dǎo)率的15號低碳鋼，各結(jié)構(gòu)參數(shù)均與有限元仿真設(shè)定值一致，樣機實物如圖12所示。

圖12 GMEHD和力傳感器Fig.12 GMEHD and force sensor

4.1 實驗系統(tǒng)

圖13 實驗系統(tǒng)Fig.13 Experiment system1.函數(shù)信號發(fā)生器 2.模態(tài)激振器 3.固定支架 4.電荷放大器 5.數(shù)據(jù)采集器 6.功率放大器 7.計算機

用于測試GMEHD輸出電動勢實驗系統(tǒng)如圖13所示。實驗過程為：DC1022U型函數(shù)信號發(fā)生器產(chǎn)生輸入信號，信號經(jīng)PA020型功率放大器放大后輸入到JZ020型模態(tài)激振器中，模態(tài)激振器通過輸出頂桿將力傳遞到GMEHD，GMM棒受到外力后產(chǎn)生電動勢；將GMEHD中力傳感器測得的輸入力信號經(jīng)PE01AD型電荷放大器后接入到SA1604型數(shù)據(jù)采集器中的一個通道中，同時將GMEHD產(chǎn)生的電動勢接入到數(shù)據(jù)采集器的另一通道中，再將數(shù)據(jù)采集器接入到計算機中，計算機端便可通過數(shù)據(jù)采集器的配套軟件進行實驗測量與數(shù)據(jù)記錄。

4.2 實驗測量

由于GMM材料抗壓不抗拉，同時為了使GMM棒在正弦力輸入下能夠不出現(xiàn)伸長的情況，在實驗前通過調(diào)整蓋帽和套筒之間的螺紋給予GMEHD一定的預(yù)壓力，保證GMM棒工作在合適的變形范圍內(nèi)，并防止其受到拉應(yīng)力而發(fā)生斷裂。在實驗中以不同頻率單位正弦力為激勵，通過置于GMM棒下的力傳感器及數(shù)據(jù)采集器，可以得到輸入力-時間曲線，如圖14所示。

圖14 不同輸入力頻率的力幅值曲線Fig.14 Time curves of different frequency input force

將線圈得到的電動勢信號接入到數(shù)據(jù)采集器的另一通道中，可得到在不同頻率正弦力下的電動勢隨時間變化的曲線，如圖15所示。

圖15 不同輸入力頻率下的輸出電動勢曲線Fig.15 Output electromotive force curves under different frequency forces

圖17 不同輸入力頻率下的輸出電動勢曲線對比Fig.17 Comparison of output electromotive force curves under different frequency forces

由圖15可知，在輸入正弦力頻率只有1 Hz時，電動勢幅值在2 mV左右，因幅值較小，所以受振動干擾影響較大，輸出波形噪聲較大，但仍能夠看出波形形狀；當(dāng)頻率達到10 Hz時，輸出波形較為穩(wěn)定且清晰，電動勢幅值在15 mV左右；當(dāng)頻率達到50 Hz時，電動勢幅值能夠達到75 mV，輸出電動勢幅值與輸入正弦力頻率基本呈線性關(guān)系；圖16是輸入力10 Hz時與輸出電動勢的對比，可以看出輸入力頻率不影響GMEHD輸出電動勢的相位，其始終超前于輸入力相位π/2，原因是線圈為電感元件，而在電感元件電路中，在相位上電流始終比電壓滯后π/2，且電流與磁場強度、輸入力的相位一致，會使得輸出電動勢相位超前輸入力π/2。這均與理論分析結(jié)果一致。

圖16 10 Hz時輸入正弦力與輸出電動勢對比Fig.16 Comparison of input sinusoidal force and output electromotive force at 10 Hz

4.3 對比分析

將實驗所得電動勢曲線分別與模型計算值和有限元仿真結(jié)果進行對比，如圖17所示。由圖17可以看出，在頻率為1 Hz時因受振動噪聲影響較大，造成實驗結(jié)果比模型計算值和仿真結(jié)果大，在頻率為10、50 Hz時，實驗結(jié)果比模型計算值和仿真結(jié)果略小，因為在模型計算和有限元仿真分析時，沒有考慮從GMEHD輸入頂桿到GMM棒這一碰撞過程中的輸入力能量損耗，而在實驗時這一損耗實際存在，從而在一定程度上影響輸出電動勢的幅值，造成實驗結(jié)果比模型計算值和有限元仿真結(jié)果略小。以輸入力頻率10 Hz時為例，模型計算與仿真得到的輸出電動勢幅值為17 mV，實驗所得輸出電動勢幅值為15 mV，相對誤差為11.7%，由于碰撞損耗不可避免，誤差在合理范圍之內(nèi)，不影響實驗對模型準(zhǔn)確性的驗證。

5 結(jié)論

(1)設(shè)計了一種柱棒式超磁致伸縮振動能量收集裝置(GMEHD)，整個裝置磁路高度閉合，輸出效率較大，能量密度高。

(2)利用振動理論、電磁場理論建立了GMEHD的輸出電動勢模型，推導(dǎo)了輸出電動勢的計算式；利用仿真軟件COMSOL Multiphysics，建立了GMEHD有限元模型，研究了其內(nèi)磁感應(yīng)強度以及輸出電動勢，得到了兩者的變化規(guī)律。

(3)通過電路分析，對一定尺寸骨架下的線圈匝數(shù)進行了優(yōu)化分析，得到了最優(yōu)線圈匝數(shù)與輸入力頻率的關(guān)系曲線。

(4)搭建了實驗測試系統(tǒng)，對GMEHD進行了不同頻率的正弦激勵實驗。結(jié)果表明，GMEHD輸出電動勢的相位不受輸入力頻率的影響，其始終超前于輸入力相位π/2；在一定頻率范圍內(nèi)，輸入力頻率與輸出電動勢幅值呈線性關(guān)系。輸出波形與模型計算值、有限元仿真結(jié)果吻合較好，誤差在合理范圍內(nèi)，驗證了模型的準(zhǔn)確性。