三位一體實施“沖激信號定義”教學(xué)

李文娟 周杰 李傲梅

摘要：針對“信號與系統(tǒng)”課程中沖激信號的定義復(fù)雜難懂的特點，從工科學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)，通過物理現(xiàn)象、工程近似模型和嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義三個維度由淺入深地分析沖激信號的三位一體特性，達(dá)到將抽象的定義具體化、系統(tǒng)化、實用化的目的。教學(xué)反饋表明，該方法有利于啟發(fā)學(xué)生從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生能夠更加深入地理解所學(xué)知識，教學(xué)效果良好。

關(guān)鍵詞：沖激信號;信號極限;狄拉克函數(shù);廣義函數(shù)

信號與系統(tǒng)課程是通信、信息相關(guān)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課程。在該課程中，沖激信號的作用至關(guān)重要，它既可以用來分解任意一個信號，又可以通過它的零狀態(tài)響應(yīng)做傅里葉變換或拉普拉斯變換得到系統(tǒng)的頻率特性或系統(tǒng)函數(shù)[1]。但是，在沖激信號知識點的教學(xué)過程中，學(xué)生普遍反映定義較抽象難懂，對不同定義方式之間的關(guān)系把握不清，從而導(dǎo)致對性質(zhì)理解不透，影響了后續(xù)相關(guān)知識點的學(xué)習(xí)與掌握。

本文從沖激信號的物理現(xiàn)象案例引入，激發(fā)學(xué)生思考，并梳理沖激信號的不同定義之間的相互關(guān)系，分別從物理現(xiàn)象描述、工程近似模型分析和嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義解釋三個角度詳細(xì)闡述沖激信號的定義，達(dá)到使學(xué)生能夠全方位地深入理解沖激信號相關(guān)知識點的目的，在教學(xué)中起到了事半功倍的作用。

1 從物理現(xiàn)象到狄拉克函數(shù)定義

其中，F(xiàn)為作用力，t為作用時間，I為沖量。對于確定的彈射現(xiàn)象，I為常量，由此便可得出作用時間越短、作用力越大，并且積分有限的特性。這三個特性實際上就是狄拉克函數(shù)所表示的含義，如式（2）、式（3）所示。

式（2）表示的狄拉克函數(shù)的第一個條件含義比較直觀，式（3）表示的第二個條件較難理解，教學(xué)時可在此處不去解釋，而在講解基于函數(shù)極限的沖激信號定義時再來解釋這一條件。

在狄拉克函數(shù)定義的教學(xué)中，可以穿插有關(guān)科學(xué)怪才狄拉克的歷史人文知識，使學(xué)生既能夠通過學(xué)習(xí)前人的研究精神和思維方式提升自己的科學(xué)素養(yǎng)，又能夠進(jìn)一步理解狄拉克函數(shù)的提出背景和深刻含義。2009年，倫敦博物館資深研究員格雷厄姆.法米羅出版了一本關(guān)于狄拉克的傳記文學(xué)作品，書名中直呼這位科學(xué)天才為“最奇怪的人”。狄拉克常常具有令人費(fèi)解的驚人思路的根本原因在與他是一個異乎尋常的“科學(xué)混血兒”。狄拉克身上有一部分是理論物理學(xué)家，有一部分是理論工程師，還有一部分是純粹數(shù)學(xué)家。因此，他所提出的狄拉克函數(shù)，正好就是這種三位一體的科學(xué)技術(shù)理論的完美產(chǎn)物。這正驗證了狄拉克本人所說的話：“一個數(shù)學(xué)理論如果是真正漂亮的話，她一定會顯示為一種優(yōu)雅而重要的物理現(xiàn)象。”狄拉克函數(shù)就是一種能夠解釋重要物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論，因此被譽(yù)為“最優(yōu)美的函數(shù)”[2]。

2 從工程近似模型到基于函數(shù)極限的定義

沖激信號作為解決實際問題的數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實中是不存在的，它是理想的數(shù)學(xué)模型，可以將其理解為規(guī)則函數(shù)的極限得到的數(shù)學(xué)模型[3]。這里可以繼續(xù)分析引課所用的實際案例，根據(jù)實際中的電磁彈射瞬間的沖擊波形圖說明理想與現(xiàn)實的差距，并指出通過化繁為簡的思想解決現(xiàn)實中出現(xiàn)的實際問題的思維模式。

在基于函數(shù)極限的沖激信號定義教學(xué)中，可以采用動畫的方式讓學(xué)生直觀地感受從規(guī)則函數(shù)到?jīng)_激信號的逼近過程。以脈沖函數(shù)的極限為例講解比較直觀，假設(shè)脈沖的寬度為，高度為，可以得到關(guān)系式如式（4）所示。

脈沖面積固定為1保持不變，縮短脈寬，脈沖高度就會相應(yīng)變高，當(dāng)脈寬無限小趨于零時，脈沖高度趨于無窮大，此時得到的信號就是單位沖激信號。這里的脈寬為零、脈沖高度無窮大就對應(yīng)了式（2）所表示的狄拉克函數(shù)的第一個條件含義。而脈沖面積固定為1與式（3）所表示的積分為1含義相同。由此可以得出，基于狄拉克函數(shù)和基于信號極限的兩種沖激信號定義方式含義是相吻合的，都是為了表示持續(xù)時間極短、取值極大和積分有限的含義。

需要強(qiáng)調(diào)的是，矩形脈沖在實際中也是無法實現(xiàn)的，實際中的信號往往更逼近于三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數(shù)等等[4]。因此，根據(jù)這幾類信號的極限同樣可以得到?jīng)_激信號。這一部分可以作為知識拓展讓學(xué)生課下討論研究。

3 從嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論到基于廣義函數(shù)的定義

在工程應(yīng)用中，掌握狄拉克函數(shù)定義和基于信號極限的定義方式基本已經(jīng)夠用。然而，從數(shù)學(xué)嚴(yán)密性來講，這兩種定義方式是存在數(shù)學(xué)漏洞的[5]。

例如，考察信號。顯然，沖激偶信號包含正負(fù)極性的兩個沖激信號，它不屬于沖激信號的范疇，因此自然也不是沖激信號。如果把帶入狄拉克函數(shù)的定義式，可以得到

即不是沖激信號，卻滿足狄拉克函數(shù)的定義。因此，狄拉克函數(shù)對沖激信號的定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模谴嬖跀?shù)學(xué)漏洞的。

事實上，在狄拉克提出這種函數(shù)的時候，按照那時所形成的數(shù)學(xué)理論，是無法理解這種奇特的函數(shù)的。但正是這種看似奇特的函數(shù)，當(dāng)它被參與數(shù)學(xué)運(yùn)算后所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論與物理結(jié)論確是正好吻合的。這就迫使理論學(xué)家們要為這類奇特的函數(shù)尋找嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。后來，隨著廣義函數(shù)理論的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，對沖激信號比較嚴(yán)格的定義方式是基于廣義函數(shù)的定義。廣義函數(shù)的定義如式（6）所示。

其中，為檢驗函數(shù)，廣義函數(shù)是對檢驗空間中的每個函數(shù)賦予一個函數(shù)為N的映射。按照廣義函數(shù)理論，沖激信號可這樣定義：

因此，沖激信號屬于廣義函數(shù)的一種。

這里，可利用式（7）的沖激信號定義方式考察信號。由于

因此，根據(jù)廣義函數(shù)的定義，不滿足沖激信號的定義。正因為基于廣義函數(shù)的沖激信號定義具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以由此得出沖激信號的一系列重要性質(zhì)，式（7）所示的就是沖激信號的篩選性質(zhì)。另外，還可以通過沖激信號的廣義函數(shù)定義證明沖激信號的其他性質(zhì)。

4 結(jié)語

沖激信號作為信號與系統(tǒng)課程中的一類重要的奇異信號，其應(yīng)用貫穿了課程的始終。本文從實際物理現(xiàn)象、工程近似模型和嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論三個角度說明了沖激信號的三位一體特性，并分別剖析了狄拉克函數(shù)定義、基于信號極限的定義和基于廣義函數(shù)的定義三種定義方式，闡述了這三種定義方式之間的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生能夠更加深入地理解沖激信號，為后續(xù)沖激信號的性質(zhì)及應(yīng)用的學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊忠林，歐陽華，候新國，王家林. 沖激函數(shù)教學(xué)方法的初步探討[J]. 課程教育研究，2016（13）：34-37.

[2]陳關(guān)榮. 狄拉克和他的δ函數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)文化，2016（6）：106-113.

[3]陳光紅. 《信號與系統(tǒng)》中沖激函數(shù)δ（t）的教學(xué)探討[J]. 電腦知識與技術(shù)，2011（25）：13-17.

[4]張盛峰，代少升，雷芳. 信號與系統(tǒng)中單位沖激函數(shù)教學(xué)方法研究[J]. 大眾科技，2013（11）：174-176.

[5]徐斌. 沖激函數(shù)匹配法在信號與系統(tǒng)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J]. 文理導(dǎo)航（下旬），2014（2）：29-31.

作者簡介：

1.李文娟，女，1985年2月出生，碩士，講師，研究方向為信號與信息處理;

2.周杰，男，1979年9月出生，博士，講師，研究方向為多源信息融合;

3.李傲梅，女，博士，教授，研究方向為信息與通信工程。