巧求立體圖形的表面積

李術(shù)隆

在小學(xué)階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的相關(guān)知識(shí)。七年級(jí)人教版上冊(cè)第四章：《幾何圖形初步》第二課時(shí)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)了利用平面展開圖求立體圖形的表面積，但對(duì)于由幾個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而形成的幾何體，它們的表面積又如何求呢？這對(duì)于大部分七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，剛接觸到幾何，涉及到立體圖形問(wèn)題，往往考查同學(xué)們的識(shí)圖能力和空間想象能力，學(xué)生感到非常棘手，計(jì)算時(shí)顧此失彼。下面我將結(jié)合教學(xué)實(shí)際和課堂感悟，介紹幾種求立體圖形表面積的巧妙方法，希望能起到拋磚引玉的作用。

首先，我們很有必要了解立體圖形表面積的概念，立體圖形的表面積就是各個(gè)面的面積之和。很多學(xué)生誤認(rèn)為立體圖形的表面積不包括底面積，明白這一點(diǎn)，我們就不難理解，任何一個(gè)立體圖形，無(wú)論你怎么擺放，它的表面積不變。其次，對(duì)于規(guī)則的立體幾何圖形求表面積可以利用公式求解，如當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、h，則其表面積=2（ab+ah+bh）；正方體的棱長(zhǎng)為a，則其表面積=6a2；圓柱體的底面半徑為r，高為h，則其表面積=2πr2+2πrh；初一學(xué)生對(duì)求圓錐體的表面積暫不做要求，這里也就不贅述。學(xué)會(huì)了求規(guī)則立體圖形的表面積的方法，當(dāng)遇到求幾個(gè)規(guī)則立體圖形組合而形成的復(fù)雜立體圖形的表面積時(shí)，我們不妨嘗試以下幾種方法，或許會(huì)給您帶來(lái)“柳暗花明又一村”的驚喜。

方法一：三視圖法。利用立體圖形的三視圖，求組合體的表面積。對(duì)于立體圖形可以從上下、左右、和前后六個(gè)方向去看，在初一學(xué)習(xí)了三視圖的知識(shí)后，可以考慮從上、左、前三個(gè)方向看圖形。

（1）如圖1：將19個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體疊成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。

解析：通過(guò)觀察，可從上面、下面、正面、右面、左面、后面看到的面的個(gè)數(shù)來(lái)分析，然后用一個(gè)面的面積乘面的總個(gè)數(shù)即可.

解：從前、后、左、右、上、下六個(gè)方向分別看這個(gè)組合幾何體的表面.

從前看有10個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；從后看有10個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；

從左看有8個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；從右看有8個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；

從上看有9個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；從下看有9個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形；

因此，這個(gè)幾何體的三視圖分別如下：

故，這個(gè)幾何體的表面積是：12×2×（10+8+9）=54（cm2）.

答：這個(gè)立體圖形的表面積是54 cm2.

方法二：作差法。當(dāng)幾個(gè)立體圖形組合在一起形成一個(gè)復(fù)雜幾何體，求該幾何體的表面積時(shí)，可先求出各個(gè)小立體圖形的表面積之和，再減去所有重疊面的面積。

（2）如圖2：將7個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體疊成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)圖形的表面積。

解析：從圖形上觀察，我們很容易看出共有14個(gè)面重合，因此，該立體圖形的表面積等于7個(gè)小立方體的表面積之和減去14個(gè)重合的小正方形的面積。

故，這個(gè)幾何體的表面積是：7×6×12-14×12=28 （cm2）.

答：這個(gè)立體圖形的表面積是28 cm2。

方法三：補(bǔ)全法。將不規(guī)則的立體圖形補(bǔ)成規(guī)則的立體圖形，然后再求規(guī)則立體圖形的表面積，這樣化難為易，往往事半功倍。

（3）如圖3：將5個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體疊成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)圖形的表面積.

解析：將中間空缺的小正方體補(bǔ)上，正好形成一個(gè)規(guī)則的大長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm、1cm、2cm，其表面積正好等于原立體圖形的表面積。

因此，該立體圖形的表面積是：2×（1×3+2×3+2×1）=22 （cm2）答：這個(gè)立體圖形的表面積是22 cm2。

下面，給出一題供讀者思考，您能否借鑒以上學(xué)習(xí)的方法求解。

如圖4：在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明用17個(gè)棱長(zhǎng)

為1的小正方體搭成了一個(gè)幾何體，然后他請(qǐng)李紅用其

他同樣的小正方體在旁邊再搭一個(gè)幾何體，使李紅所搭幾何體恰好可以和張明所搭幾何體拼成一個(gè)無(wú)縫隙的大長(zhǎng)方體（不改變張明所搭幾何體的形狀），那么王亮至少還需要 個(gè)小正方體，李紅所搭幾何體的表面積為 .（答案19，48）

對(duì)于以上三種方法——三視圖法、作差法、補(bǔ)全法求立體圖形的表面積，我們可以多觀察，多思考，認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，選取不同的方法，以最簡(jiǎn)單原則為最佳方法，這樣很多問(wèn)題便可迎刃而解。