趣味數學：“數與形”教學的應然追求

梁求玉 鄭祥旦

摘要：“數與形”源自趣味數學，“數與形”一課可上成趣味數學課。其教學流程可以是先明確“數”與“形”的概念，再用不同的“單子”把平方數排列成正方形圖案，讓學生反思圖案之間的關系并把平方數用加法算式表達出來，最后仿照排列“四角數”的方法排列出“三角數”“五角數”“六角數”。在這樣的課堂中，學生像畢達哥拉斯及其弟子一樣安安心心地“玩了一把”，從中感悟到了數學的奇妙，體會到了學習數學的樂趣，進而對數學充滿了好奇心。

關鍵詞：“數與形”;趣味數學;教學原本;玩中學

人教版《義務教育教科書·數學》六年級上冊“數學廣角”中的例1“數與形”源自于畢達哥拉斯學派對趣味數學的貢獻。據說，畢達哥拉斯及其弟子非常重視數與圖形之間的關系，他們用一種名叫“單子”的符號●排列成優美的圖形來表達一個數。用“單子”排列成三角圖形的數叫做“三角數”，排列成正方形的數叫做“四角數”。也許就是他們對數字的崇拜，促使他們在數字的探索中發現了大量的奧妙，其中許多是對后來影響很大的趣味數學問題。

如果把“數與形”這一課上成趣味數學課，還原知識產生的本原，讓學生安安心心地“玩一把”，在玩中深刻地體會到“數”與“形”之間的“兩依倚”，那么學生在解決問題時就不會出現或少出現“兩邊飛”的情形。為了使教學的進程是可視的，本課的教學目標可以定位為：學生用“單子”把平方數排列成正方形圖案，反思圖案之間的關系把“四角數”用加法算式表達出來;仿照“四角數”，排列出“三角數”“五角數”“六角數”;感悟數學的奇妙，體會學習數學的樂趣，對數學充滿好奇心。

應該如何上這節課呢？有很多教師把教學目標定位為“發現圖形中隱藏著數的規律”，或者以形助數，或者以數解形，或者數形結合，一節課在尋找規律、發現規律、運用規律，從思維的角度上說，這與一年級“找規律”教學沒有太多的區別，只注重知識的教與學，就沒上出“趣味數學”的味道。

畢達哥拉斯學派信奉“萬物皆數”，他們認為，“一切事物都按數來安排”，他們最先把自然數分成奇數和偶數，研究發現了完全數、友數、畢達哥拉斯數，等等。因此，學生首先要明確“數”是指整數，是一列整數。

形數原意為“石子”，畢達哥拉斯和他的學生們很可能是在沙灘上用石子作為“單子”擺出優美的圖形。如果有學生把“單子”理解為正方形，那就錯了?！皢巫印背耸钦叫瓮猓€可以石子、圓形、三角形、星形、點子，等等。

假設學生已經閱讀了本課的教材內容，不同的學生對“四角數”及相關的習題有不同的理解掌握，那么，教學的導入環節可以這樣設計。

出示課題“數與形”。引導學生用說詞解字、互動交流的方式說一說“數”和“形”的意思：“形”是用正方形、小石子、星形等物體擺出來的圖形;“數”是一個或一列整數。

“百數表”是整數數列的初始部分，在數學研究、數學教學中都占有十分重要的地位，可以這樣說，如果學生學會了“百數表”中的相關知識，那么他們學習這部分知識就不會有太大的困難，至少不會成為潛能生。因此，教學的動手操作互環節可以從“百數表”入手，教學可以如下設計。

教師出示“百數表”，提醒學生“數”就藏在這個“百數表”里。讓學生先數數：1，2，3，…;寫出每一整數的平方并計算它們的值：1=1，2=4.3=9……

引導學生獨立思考，并各自用不同的“單子”把1、3、9等平方數依次排列出優美的圖案，動手操作后在小組內組織學生之間的互相觀察并欣賞自己的作品，教師選擇部分作品投影出來供全班學生點評。學生創造出來的圖案可能如圖1。

教師要引導學生找出圖案的共性，即從整體上看這些圖案都有正方形的外形?？梢韵驅W生介紹“形數”產生的歷史：最先排列出這些圖案的人是古希臘的畢達哥拉斯和他的學生，他們還把這些平方數叫做“四角數”。由于語言的不同，有的外國人把正方形叫做四角形，所以“四角數”其實就是“正方形數”。

首先，教師提示學生在這些圖形里蘊藏著許多數學的奧秘，現在需要他們通過自己的眼睛和大腦把這些奧秘給挖掘出來?？梢砸龑W生先觀察自己擺出的第3個圖，用反向思考的方法回顧前面的動手操作過程，畫圖表示出它與前一幅圖之間所具有的包含與被包含邏輯關系做口圖2）。

再次，引導學生觀察算式：4+5=9，1+3=4，得到：1+3+5=9。推想并驗證：1+3+5+7=16，4×2-1=7，其圖形是n=4的正方形;1+3+5+7+9=25，5×2-1=9，其圖形是n=5的正方形。運用規律解決問題：1+3+5+7+…+（）=100，其圖形是n=10的正方形。

然后，引導學生在“百數表”中觀察每個算式的數，得到：1+3+5=32，1+3=22。推理得出：1=1。學生主動改寫其余的算式。再觀察得到：每個算式的加法是連續的奇數，概括其數學發現：從1起，n個奇數的和等于n;算式的最后一個加數是2n-1。有學生還可能表示他對n2和2n的聯系與區別有新的理解。

最后，引導學生反思：學習本課之前，你發現了奇數與平方數之間奇妙的關系了嗎？學習時你是用什么方法發現的？回顧上述的學習過程：先把平方數轉化圖形，再把圖形轉化為奇數的和。通過教師適時地概括：在數學上，把這種方法叫做“數形結合”，學生就能夠在頭腦中牢固地建立“數形結合”的印象。

學習活動的本質是“自由”，學習的發展是有層次的，即自己學、自覺學、自主學。學生的自主學習從某個角度上來說是一個“美麗的謊言”，因為嚴格意義上的自主學習是成人的事。Holec認為，自主學習是“能夠就學習過程中所遇到的各種問題進行決策的能力，包括確定學習目標、內容和進度，選擇學習方法和技巧，監控嚴格意義上的語言習得過程（包括學習的節奏、時間、地點等），評估已掌握的知識”。因此，教育意義上的自主學習是可能存在的。課堂上，首先必須扎實做好“自己學”和“自覺學”。在上述的教學活動中，在教師的指導下，學生進行了很大程度上的“自己學”，接下來，要引導學生進行“自覺學”，可以如下教學設計。

首先，要引導學生質疑，學生可能說：“用‘單子’排列了“四角數”，還能排列‘三角數“五角數“六角數’嗎？”教師鼓勵學生用“單子”排列一個三角形、五角形、六角形，再把邊進行擴大，用算式表示圖形。（如圖3）如果學生沒有這種質疑能力，也可用師生互動的方式進行教學。

說明：這些算式只是例子，以寫5個加數為宜，可不要求進行求和計算。

此外，可以引導學生對是否存在“七角數”“八角數”進行猜想;也可以把這些“三角數”“四角數”“五角數”“六角數”寫成數列，引導學生根據“百數表”寫出別的數列;總之，可以把有限的學習引向無限的探索。

綜上所述，自主學習是通過“自己學、自覺學、自主學”有層次地發展起來的，在本課中學生先“自己學”“四角數”，動手玩，用“單子”排列平方數把“數”轉化為“形”，“解剖”圖形把“形”轉化為“數”，歸納出平方數與奇數的關系，感悟圖形在轉化過程所起的作用：形成元認知—數形結合。接著，運用數形結合的方法自覺學“三角數”“五角數”“六角數”形成了“形數”的知識體系。

進一步來講，趣味數學是別樣的數學，它集知識性與趣味性為一體，用權威的數學理念與獨特的思維方式引導學生學數學。趣味數學課是讓學生感受別樣的數學，重在引導學生自我探索、自主表達、激發興趣、持續創新等，目的是真正培養學生的多元思維和解決問題的能力，讓學生走近數學、愛上數學，在趣味中學習，在快樂中進步。