理清思路，分步推進

高海寧

摘要：新課程的實施，使教師的觀念、教學行為和學生的學習方式都發生了深刻的變化;教學不再是學生被動地接受知識的過程，而是師生共同探討的互動過程;教師在關注學生“雙基”的同時，開始關注學生學習習慣、學習方法和學習能力的培養;課堂教學更加重視教學情景的創設，重視學生好奇心、求知欲和學習興趣的激發;重視教學民主、平等、和諧的師生關系的建立;重視課堂組織形式的多樣化;重視問題的設計和提出，學生有了交流、討論、動手、觀察、探索的機會。我們對現用的數學教材的深層次的認識，領會教材，把握核心，分步實施目標，使課程改革與教材改革達到完美統一，使課堂教學更有效。

關鍵詞：理清 ? ?定位 ? ? 推進

正文

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括，形成方法和理論并進行廣泛應用的過程。它可以幫助人們更好的探求客觀世界的規律，對大量復雜的信息作出恰當的選擇和判斷，直接為社會創造價值。因此說數學是一門非常有用的科學。

隨著新課程改革不斷深入，北師大版初中數學教材貫穿了“數學源于生活、服務于生活”、“學有用的數學”的思想，注重創設情境和探究發現，注重聯系實際應用和創新，注重學生興趣和實際操作，注重學習方式和教學方式的改革。教材體系在難度方面以螺旋式編排，采用由淺入深、逐級遞進，逐步滲透重要的數學思想方法。螺旋式編排有利于不同年齡層次的學生的接受能力，從感性到理性，從具體到抽象，尤其是三角形的學習，前階段側重感性認識，后階段側重從理性的角度去重新認識，深諳應用。在教學中，如何落實前后階段的要求，構建一個以學習者為中心，有利于學生主體精神，創新能力健康發展的寬松的學習環境呢？這就要求我們教師理清三角形在教材編寫上的思路，把握三角形中的核心內容，在每一個教學環節中一步一個腳印的分步推進。

一、剖析教材結構，理清教學思路

北師大版教材從內容的安排可以看出，以圖形的認識為主線，將其他內容與它有機的整合，螺旋上升。為此《三角形》的內容分布在七、八、九年級四冊課本中，具體分布如下：

1、七年級下冊第四章《三角形》

（1）認識三角形邊、角，要求理解兩條關于三邊關系的定理，一條關于三個內角和的定理。

（2）理解三角形內部線段，要求通過畫圖的方法理解三條中線、三條角平分線和三條高的交點問題;同時掌握銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形高的畫法。

（3）三角形按角、按邊進行分類，初步了解直角三角形的概念及性質，等腰三角形、等邊三角形的概念。

（4）全等三角形的性質和判定，要求通過動手操作和畫圖探索出四個判定方法SSS，SAS，ASA，AAS。

2、八年級上冊

（1）第一章《勾股定理》中掌握直角三角形三邊關系及判定方法，本節課內容在七年級下冊中三邊關系的升華，由一般到特殊的研究。

（2）第七章《平行線的證明》中第五節內容是三角形內角和定理，本節課內容在七年級下冊內容的基礎上提高了要求：①利用平行線的性質證明三角形內角和定理;②利用三角形內角和定理推導出兩條三角形外角定理。

3、八年級下冊第一章《三角形的證明》

本章內容從感性認識三角形上升到了理性認識三角形，其中（1）在第一節內容中會用全等三角形判定中三個基本事實SSS、SAS、ASA證明全等三角形判定定理AAS;會用全等三角形的四個判定方法證明等腰三角形的性質與判定。（2）在第二節內容中掌握直角三角形的性質與判定，并能證明和應用兩個直角三角形全等的判定方法HL定理。（3）第三節內容是線段垂直平分線性質與判定，這個內容為九年級下冊學習外接圓的圓心奠定了基礎。（4）第四節的內容是角平分線性質與判定，這是七年級下冊角平分線知識的延續，同時還是九年級下冊學習內切圓的必要知識，為此此節課內容起到了承上啟下的作用。

4、九年級上冊第四章《相似三角形》

本章內容是全等三角形知識的拓展，即相似圖形是現實生活中廣泛存在的現象，而全等圖形是它的一個特例。與三角形有關的內容有探索并了解三角形相似的條件和性質，并會利用相似三角形進行測高。

二、研究課程標準，定位教學目標

以課程標準為依據，確立各章節的教學目標，同時在各章教學中注意三個細節：（1）加強數形結合思想的滲透，體現各部分知識之間的橫向聯系。（2）循序漸進地培養推理能力，作好由實驗幾何到論證幾何的過渡。對于推理能力的培養，按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排，使推理論證成為學生通過觀察、探究得到數學結論的自然延續。（3）從感性直觀認識逐步上升到理性本質認識，從對靜止狀態的認識發展到對運動狀態的認識，從定性描述向定量刻畫過渡，從而提高對圖形的認識能力。

三、抓住核心內容，推進分段目標

三角形是最簡單的多邊形，在生產實踐、科學研究和社會生活中隨處可見，它不僅是研究其他多邊形的基礎，在解決實際問題中也有著廣泛的應用。因此，讓學生在學習三角形和應用三角形知識解決問題的過程中掌握最為重要的、必須學習的核心知識、基本觀念和基本技能，使得學生更好地認識現實世界、發展空間觀念和推理能力。

三角形中的核心內容分別有全等三角形、三角形內角和定理、等腰三角形和直角三角形性質和判定，利用相似三角形解決一些簡單的問題。

北師大版教材在處理核心問題的方法是采用分兩段的策略解決課標提出的“探索并證明”的要求。七年級下冊《三角形》的內容主要是通過觀察、操作（包括折、拼、畫）、想象和簡單推理，積累數學活動經驗，探究問題的結論;八年級上冊、下冊則要求學生會借助已有的知識和經驗，對探究的結論進行嚴格的論證。使學生從感性認識過度到理性認識，從合情推理過度到演繹推理，認識證明的嚴謹性，做到步步有據，發展學生的推理能力。以“全等三角形”為例，闡述分步推進的方法。

對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形關系研究的第一步。它是兩三角形間最簡單、最常見的關系;同時它是解決線段和角相等問題中常用的方法，是學習平移、旋轉、四邊形的墊腳石，為此全等三角形是初中幾何知識中的核心內容，利用以下方法推進教學目標。

1、利用數學活動，探索全等的條件

發展空間觀念、幾何直觀，必須以學生自己的空間感覺和體驗為基礎。為此在七年級下冊教學中要充分利用生動的問題情境和豐富的數學活動——觀察、測量、折疊、翻轉、畫圖等方法探索三角形全等的條件，讓學生參與了觀察、操作、推理、想象等活動，感性認識一般性的分析問題、解決問題的通法，同時積累活動經驗，感悟數學思想和方法。

2、三個基本事實和兩個定理的教學

初中階段課程標準要求掌握9個基本事實（公理），除一個基本事實在九年級上冊外，學完本節課內容，則8個基本事實就全部呈現了，其中本課一共有3個基本事實——SAS、ASA、SSS，這三個判定方法的教學用動手操作方法得到即刻，在七年級教學上不要加大探索難度;而AAS這個判定方法是定理，教材安排在八年級下冊第一章第一節進行證明，在證明這個定理時要引導學生利用全等判定中的3條基本事實解決;判定兩個直角三角形全等的方法HL在七年級中沒有出現，教師不要過早在七年級補充，因為這是針對特殊三角形全等的方法，它的原理還是回到前面四個判定方法，故此教學安排在八年級下冊第一章第二節才出現，它的證明方法與證明AAS方法一致。

3、加強直觀性和簡單推理的結合

幾何圖形的直觀性，是幾何學習區別于代數學習的重要的、有力的條件，在七年級學習中，要充分利用幾何圖形的直觀性，例如畫圖、折紙等直觀操作活動，在操作中思考，有條理的表述操作的過程，逐步培養、發展學生的數學合情推理能力

推理能力是數學課程應當發展的核心素養之一，而推理能力包括合情推理能力和演繹推理能力兩個方面。七年級的教學讓學生理解了幾何命題之間的因果關系，為嚴格的演繹證明奠定基礎，為此八年級上、下的教學要利用好回顧探索結論的方法，由此促使學生發現證明思路，再利用基本事實和已有定理區證明這些結論，即“探索——發現——猜想——證明”過程，讓學生體會合情推理和演繹推理在獲得結論時各自發揮的作用。

3、逐步滲透數學思想方法

（1）分類討論數學思想方法——注意三節課的分類標準

①七年級下冊第一節課：多少個條件能使兩個三角形全等;

②七年級下冊第二、三節課：在第一節課基礎上進一步分類。即兩角一邊的分類，兩邊一角分類。

（2）轉化數學思想方法

七年級下冊三節課都采用“激發學生學習興趣——通過動手操作探索三個條件能否得到全等三角形——明晰全等三角形判定方法”步驟進行教學，動手操作環節分步進行：第一節課找圖形，第二、三課畫圖形，學完這節內容后，要求學生會用尺規作圖，進行運用和舉反例。

4、變式教學，提升識圖能力

學生通過《探索三角形全等的條件》的學習后，得到了“邊邊邊”，“邊角邊”，“角邊角”，“角角邊”四個定理，用這些定理能初步判斷兩個三角形是否全等， 解決了一些簡單的推理問題，并積累了一定的活動操作與探索經驗。但是在判定兩個三角形全等時，如何通過分析圖形，確定兩個三角形的邊與角的對應關系？在題目中的已知條件不足以解決問題時，如何從圖形中找到條件？當變換圖形或條件、結論時，如何以不變應萬變？教師在復習小結中可以利用圖形的變式，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通。

【變式2】：把圖2中的△ADC繞著A點逆時針旋轉到∠BAD=∠CAE，如圖4，且AB=AC，∠B=∠C。則圖中還有全等的三角形嗎？若有，請指出。

【設計意圖】研究三角形全等的過程中，經常會出現三角形按照某種規律變化的情況，需要關注圖形中各個元素的“變”與“不變”。

變，小至題目的圖形可變，數字可變，條件可變，結論可變;大至教法可變，考試方法可變，考試方法可變，甚至教材內容可變。變，充滿著神奇;變，孕育著創造。變的魅力吸引著好奇心、好勝心較強的學生，促進學生去思考、去探索，逐步引導他們愛學數學、學好數學。

總之，教材要求教師轉換角色，尊重和承認每個學生的個性和價值，承認每一位學生都是生動活潑的人、有尊嚴的人，要關注每一位學生，相信每一個學生都能夠在數學上得到不同的發展，給所有學生提供公平的數學學習機會。教材要求教師教學轉變方式，幫助學生在合作交流、自主探索的過程中理解和掌握基本的數學知識和技能，向學生提供充分的數學活動的機會。教材要求教師不斷地學習，掌握更多的教育教學理論和學科專業知識，提高自己駕馭和整合教材的能力。從這個意義上講，實施新課程，對每一位教師來說都是一種挑戰。為此我們對現用的數學教材的深層次的認識，將有利于我們進行有效的教學，領會教材，把握教材，使課程改革與教材改革達到完美統一。

參考文獻

1、義務教育《數學課程標準2011年版》，北京師范大學出版集團

2、義務教學教科書《數學》七、八、九年級教師用書，北京師范大學出版集團