“研究型教學”指導下的“導數的概念”教學設計

王野

摘要：靈活使用“高中數學研究型教學”的ADE設計模型和“五環十步”教學模式指導“導數的概念”的教學設計。前期分析準備包括知識產生的背景與固著點、知識生長的過程與階段、知識建構的策略與方法、知識間的聯系與結構、知識的要點與本質、知識的學科意義與教學價值等學習內容的分析，以及學生認知基礎、學生認知障礙、克服障礙的措施等學生認知的分析。教學過程包括“呈現背景，提出問題”“聯想激活，尋求方法”“提出猜想，驗證猜想”“歸納抽象，建立概念”“運用鞏固，內化遷移”“回顧反思，拓展深化”等環節。

關鍵詞：研究型教學ADE設計模型“五環十步”教學模式導數的概念

李昌官老師提出的“高中數學研究型教學”，給出了ADE設計模型和“五環十步”教學模式。ADE設計模型把教學設計分為前期分析準備、中期開發設計和后期評估修正三個階段。它提醒我們，既應加強學習內容和學生認知的分析，使教學設計建立在“知己知彼”的基礎上，也應對初步形成的教學設計進行反復論證與修正，使之不斷完善。其中，7張各環節的思維導圖更是為教學設計提供了可資借鑒的技術路徑，使教師能夠思考一些自己平時想不到的問題，完成一些自己獨立做不好的事情。而“五環十步”教學模式則為教學過程設計提供了基本框架和思路，極大地提高了教師“為數學學科核心素養而教”的技術水平。筆者靈活使用它們指導了“導數的概念”的教學設計。

一、前期分析準備

（一）學習內容分析

1.知識產生的背景與固著點分析。

導數概念產生的背景有兩個：一個是物理背景，即隨著16世紀大航海時代的到來，實際生產生活的需求對數學家提出了兩類問題——已知物體運動的位移關于時間的函數時如何求物體的速度與加速度，如何求曲線的切線;另一個則是數學背景，即如何精確地刻畫函數單調遞增或遞減的快慢程度。因此，函數單調性、平均變化率、瞬時速度是導數概念產生的固著點，導數的概念正是通過對瞬時速度的提煉、抽象、概括與推廣得到的。

2.知識生長的過程與階段分析。

導數概念的形成經歷了以下幾個階段：（1）認識到精確地刻畫函數在某一點處變化快慢的必要性;（2）通過直覺獲得求瞬時速度的基本思想，即無限逼近;（3）從幾何直觀上得到無限逼近的具體方法，即以直代曲;（4）通過數值計算、數值分析、形式化運算求得瞬時速度，在與物理學中求勻加速運動瞬時速度的對比驗證中認識導數方法的正確性、科學性與應用的廣泛性;（5）通過不斷地抽象與符號化提煉導數的定義;（6）根據導數的概念及導數與平均變化率的關系理解導數的幾何意義。

3.知識建構的策略與方法分析。

導數概念建構的主要策略與方法有三個：一是以直代曲，因為導數是一種特殊的極限，因此構建導數概念的基本策略是無限逼近，而逼近的具體方法是以直代曲;二是數學抽象，因為導數概念是從瞬時速度、瞬時加速度、瞬時反應速率等具體概念中抽象出來并通過形式化獲得的理想結果，這是一個不斷地從特殊到一般、歸納概括的過程;三是數形結合，因為無論導數概念的建立還是其幾何意義的獲得，都離不開幾何圖形提供的直觀感知。

4.知識間的聯系與結構分析。

導數與平均變化率、極限的關系：導數是平均變化率的極限，求平均變化率、取極限是求導的兩個步驟。導數與單調性的關系：單調性是對函數變化趨勢的定性刻畫，導數是對函數在某一點處或某一個小范圍內變化快慢的定量刻畫，單調性是導數產生的萌芽。導數與切線的關系：導數是函數圖像切線斜率的代數表征，函數圖像切線斜率是導數的幾何表現。導數與瞬時速度的關系：瞬時速度是一種特殊的導數，是導數的一種具體表現，而導數則是瞬時速度的抽象化和一般化。

5.知識的要點與本質分析。

一方面，導數是函數的瞬時變化率，是精確地刻畫函數在某一點處或某一個小范圍內變化快慢的數量。另一方面，導數是一種特殊的極限運算，是求函數的瞬時變化率，即求函數在任意一點或一個小范圍內變化快慢情況的算法，是求曲線切線斜率的一般性數學方法。

6.知識的學科意義與教學價值分析。

微積分的創立標志著數學研究從常量關系進入變量關系，而導數是微積分的核心概念之一。導數概念的構建過程中蘊含的直覺感知與想象、數形結合、無限逼近（以直代曲）、數學建模、數據分析、形式化運算、數學抽象（從特殊到一般）等數學思想方法是發展學生數學核心素養的思維沃土，是提升學生數學思維品質的重要材料。特別是無限逼近思想，它是微積分中的核心思想方法，蘊含著運動變化的觀點，能更好地促進學生個性品質的發展。

（二）學生認知分析

1.學生認知基礎分析。

學生已有的知識和能力包括：知道平均速度和瞬時速度的概念，會求平均速度和一些特殊運動（如勻加速運動）的瞬時速度;理解單調性的概念，掌握幾個具體函數模型的增減快慢情況，會根據圖像的傾斜程度判斷函數的增減快慢情況;有用逐步逼近的方法求高次和超越函數零點的近似值，以及用無限逼近（實際上就是以直代曲）的方法探究圓的面積的經驗。

2.學生認知障礙分析。

學生很容易通過直覺和幾何直觀感受到無限逼近思想，但很難根據這個思想建立數學模型，構造算法。具體的困難表現在以下兩個方面：（1）不知道如何將“逼近”這個動態過程用數學運算的定量方式來表示;（2）不理解不同“逼近”方向之間的關系以及如何選擇。逼近的方向有三種情況：左側逼近、右側逼近、左右兩側同時逼近。從實際教學情況來看，選擇三種逼近方向的學生都有，但大部分學生都只選擇了一種逼近方向。這說明，學生潛意識里認為不管根據哪種逼近方向都能求得瞬時速度，但沒認識到根據三種逼近方向獲得的瞬時速度是一樣的（高中數學中只考慮連續可導的情況），即只考慮到瞬時速度的存在性問題，卻沒認識到它的唯一性問題。這個認知障礙是由學生思維的嚴謹程度不足導致的。另外，從左側或右側逼近，可以比較容易地歸納出導數的定義;而從左右兩側同時逼近時，所列的式子和導數的定義在形式上存在差異。

學生的另一個認知障礙是對極限表達式limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt的理解，原因在于極限表達式的高度抽象性。因此，要引導學生將其看成一種特殊的數學運算。當然，這個教學過程是對之前的數值分析和形式化運算分析的再次提煉和抽象。

3.克服障礙的措施分析。

針對學生不會將無限逼近用數學運算的形式表達，通過取不同的Δt值，求對應的平均速度，再求平均速度的一般表達式，使學生經歷用數學運算無限逼近的過程，從而獲得相關的數學活動體驗，積累相關的數學活動經驗。

針對學生思維的嚴謹性弱，先讓學生認識到從左側和右側逼近時平均速度會趨向于同一個值，再引導學生證明從左右兩側同時逼近時仍會趨向于同一個值，從而認識到極限存在的唯一性。這里，將從左右兩側同時逼近的情況后置，可以避免對概括極限概念的干擾。

針對學生對極限表達式理解的困難，一是讓學生經歷極限表達式從文字語言到半符號化語言，再到符號語言的抽象過程，二是讓學生經歷無限逼近從幾何直觀到數值分析，再到表達式分析的過程，從而認識到：Δt不是一個定量，而是一個可以任意變小的量，即Δt→0表示一個變化趨勢，Δt與0的差要多小有多小，但始終不等于0，而limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt=v0表示在該變化過程中，f（t0+Δt）-f（t0）Δt與v0的差要多小有多小。

二、教學目標設計

1.了解導數概念引入的背景及必要性。

2.理解導數的代數表達形式與幾何意義，以及導數的本質是精確地刻畫函數在某一點處變化快慢的數學模型。

3.通過跳水運動的案例分析，經歷從平均速度到瞬時速度的過程，并在運用以直代曲方法的過程中，感受無限逼近思想、數形結合思想、運動變化觀點。

三、教學過程設計

（一）呈現背景，提出問題

背景很多時候，我們都假定變化是均勻的。事實上，并非如此。航天飛船和空間站在太空中飛行時，速度都是急劇變化的。為了使它們能夠成功對接，就必須準確掌握它們每時每刻的飛行速度。我們把物體在某一時刻的速度叫作瞬時速度。

[設計說明：直接從函數的變化快慢入手，對學生來說太過抽象。而速度是位移關于時間變化快慢的物理量，從速度開始學習，對學生來說更熟悉，也易于接受和理解。]

問題1我們知道世界是變化的。凡是變化的地方，就有變化的快慢問題。你能說明函數y=x和y=x3增大的快慢情況嗎？進一步地，你能用兩個數量表示這兩個函數增大的快慢程度嗎？

[設計說明：學生可以通過圖像發現y=x是均勻增大的，y=x3從-∞到0增大得越來越慢，從0到+∞增大得越來越快。由此，引導學生發現單調性只能刻畫函數的變化趨勢，卻無法定量刻畫變化的快慢程度。]

問題2在實際生活中，我們也有必要了解瞬時速度，如奧運會上百米賽跑運動員到達終點那一時刻的瞬時速度。假設某個運動員百米賽跑的成績是10秒，則他撞線的瞬時速度應該比平均速度還要快，那我們能否知道他撞線時的速度？

[設計說明：提出核心問題——如何求瞬時速度？]

（二）聯想激活，尋求方法

方法1無限逼近，以直代曲。由于瞬時速度存在但不可測，因此，只能用可測的平均速度近似地代替。相應的時間段越短，瞬時速度就越精確;當Δt無限趨近于0時，平均速度就成了瞬時速度。

方法2以退為進，迂回前行，從一般到特殊，再從特殊到一般。一開始就討論求瞬時速度的具體方法是比較困難的，不妨先研究我們熟悉的具體函數，從求具體函數的某個特殊時間點的瞬時速度入手。將具體函數的特殊時間點的瞬時速度研究清楚，再推廣到特殊函數的一般點，最后是一般函數的一般點。

[設計說明：方法1從直覺上提出了可行的方法，方法2提供了操作性較強的探究路徑。]

（三）提出猜想，驗證猜想

問題3在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h（t）=-4.9 t2+6.5t +10。如何求t=2時的瞬時速度？能否借助幾何圖形說明方法的合理性？

[設計說明：（1）將逼近思想進一步具體化，即在t=2附近用平均速度代替瞬時速度，然后不斷縮小時間間隔，用平均速度逼近瞬時速度;（2）放大h（t）在t=2附近的圖像，發現隨著曲線段長度的不斷縮小，曲線段越來越直，從幾何直觀上感受“以直代曲”的合理性，為后續切線斜率的引入做鋪墊。]

問題4剛才，我們從直覺和幾何直觀兩個層面討論了用平均速度逼近瞬時速度的可行性。接下來，你能不能根據平均速度的定義設計一個用平均速度逼近瞬時速度的方案？根據方案的執行結果，你能發現什么規律？

[設計說明：將具體化后的逼近思想可操作化，即取|Δt|=0.1，0.01，0.001，0.0001，…，考察h（t）在區間[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]（Δt>0）上平均速度的大小及其變化趨勢。通過列表（見表1）使學生親身經歷逐步逼近的過程。]

問題5當Δt按0.2，0.02，0.002，…的取值規律趨向于0時，是否仍有這樣的規律？當Δt按0.2，-0.02，0.002、-0.0002，…的取值規律趨向于0時，是否仍有這樣的規律？當Δt以任意方式趨向于0時，是否都有這樣的變化趨勢？如何證明？

[設計說明：通過平均變化率的表達式，先分析當Δt從2的一側逼近0時，平均變化率會趨向于-13.1;再分析當Δt從2的兩側同時逼近0時，平均變化率仍會趨向于-13.1，即證明當Δt1、Δt2同時逼近0時，v-=h（2+Δt1）-h（2+Δt2）（2+Δt1）-（2+Δt2）=-4.9（Δt1+Δt2）-13.1→-13.1。目的是讓學生認識到這個結果和逼近方式（即逼近的速度和方向）無關，只和函數h（t）本身以及2這個具體的點有關，最終使學生經歷完整的無限逼近過程。]

（四）歸納抽象，建立概念

問題6對t=2時的瞬時速度如何理解？能否用數學符號表示“當t=2，Δt趨近于0時，平均速度趨近于確定值-13.1”？

[設計說明：使學生認識到當Δt無限趨近于0時，平均速度v-=h（2+Δt）-h（2）Δt無限趨近于確定的值-13.1，我們就稱-13.1是t=2時的瞬時速度。然后，先將文字語言表述的無限逼近過程半符號化，即當Δt→0時，h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2→-13.1;再引入極限運算表達式limΔt→0=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2=-13.1，將半符號化的無限逼近過程完全符號化。一方面使學生經歷從文字語言到符號語言的數學抽象過程，另一方面也通過徹底的符號化，將這個無限逼近過程抽象為一種數學運算。]表1

Δt的取值h（t）在[2+Δt，2]上的

平均速度（Δt<0）h（t）在[2，2+Δt]上的

平均速度（Δt>0）當|Δt|=0.1時-12.61-13.59當|Δt|=0.01時-13.051-13.149當|Δt|=0.001時-13.0951-13.1049當|Δt|=0.0001時-13.09951-13.10049當|Δt|=0.00001時-13.099951-13.100049當|Δt|=0.000001時-13.0999951-13.1000049………………當Δt→0時v-=h（2）-h（2+Δt）2-（2+Δt）

=-4.9Δt-13.1v-=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2

=-4.9Δt-13.1問題7運動員在t =1時的瞬時速度怎樣表示？更一般地，在t0時刻的瞬時速度怎樣表示？你會求t0時刻的瞬時速度嗎？結合所學的物理知識，你覺得這樣所求的瞬時速度正確嗎？

[設計說明：先將從特殊點得到的方法推廣到一般點，理解并會應用極限表達式limΔt→0h（1+Δt）-h（1）Δt和limΔt→0h（t0+Δt）-h（t0）Δt，認識到這個方法對函數上的所有點都適用。再與物理學中求勻加速運動的瞬時速度進行比較，發現兩者所求的結果是一致的，說明新方法和原有知識體系并不矛盾，體會到新方法的正確性、科學性以及應用的廣泛性。]

問題8能否再舉一些表示變化快慢的量？這些量的共同特征是什么？通過歸納、概括、抽象，能否表示函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率？

[設計說明：通過舉例，回憶加速度、化學反應速率等概念，概括出它們與瞬時速度的共同特征，抽象出函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率，即導數的概念。]

（五）運用鞏固，內化遷移

問題9將原油精煉為汽油、柴油、瀝青等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果時間（單位：h）為x時，原油的溫度（單位：℃）為f（x） =x2-7x+15（0≤x≤8）。計算2 h和6 h時原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。

[設計說明：解決新的問題，進一步了解導數在實際情境中的物理意義，更深入地理解導數的概念。]

（六）回顧反思，拓展深化

問題10為什么要求瞬時變化率？如何求瞬時變化率？導數概念的建立經歷了哪些過程？其中滲透了哪些數學思想，運用了哪些數學方法？導數還能應用在哪些方面？

問題11平均變化率是函數圖像割線的斜率，結合函數圖像的割線與無限逼近的過程，能否猜測導數的幾何意義？

[設計說明：在回顧反思的基礎，拓展視野，借助幾何畫板，將Δx→0的過程中割線的變化趨勢展現出來，在幾何直觀的基礎上明確導數的幾何意義是切線的斜率。]

參考文獻：

[1] 李昌官.高中數學研究型教學[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[2] 李昌官.“五管齊下”育數學素養實踐探索——以“導數概念”研究型單元教學為例[J].中學數學教學參考，2019（16）.