“研究型教學”指導下的“計數原理”教學設計

林麗娜

摘要：使用“高中數學研究型教學”的ADE設計模型和“五環十步”教學模式指導“計數原理”的教學設計。前期分析準備包括知識產生的背景與固著點、知識生長的過程與階段、知識建構的策略與方法、知識間的聯系與結構、知識的要點與本質、知識的學科意義與教學價值等學習內容的分析，以及學生認知基礎、學生認知障礙及克服措施等學生認知的分析。教學過程包括“呈現背景，提出問題”“聯想激活，尋求方法”“提出猜想，驗證猜想”“運用鞏固，內化遷移”“回顧反思，拓展問題”等環節。

關鍵詞：研究型教學ADE設計模型“五環十步”教學模式計數原理

李昌官老師提出的“高中數學研究型教學”，讓學生親歷知識發現、建構的過程，有助于學生更好地學會“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”。其ADE設計模型與“五環十步”教學模式，為高中數學教學設計提供了基本的思維框架。筆者使用它們指導了“計數原理”的教學設計，從實際情境入手，提出核心問題，指明研究方向;再通過學生已有的計數經驗，尋求原理建構的方法;然后，順勢創設一些簡單的計數情境，開啟原理建構之旅。具體的教學設計如下：

一、前期分析準備

（一）學習內容分析

1.知識產生的背景與固著點分析。

數是數學的核心，數源于數（shǔ）。生產生活中，經常會遇到大量繁雜的計數問題，并且，這些計數問題背后蘊藏著特定的規律。我們需要發現這些計數原理，并且運用它們簡化計數問題。學生已經有數數和分類計數的生活經驗，這些經驗是計數原理產生的固著點。

2.知識生長的過程與階段分析。

計數原理的形成歷經了以下幾個階段：一是認識到生活中存在大量的計數問題，這些計數問題既繁雜又蘊含某種可簡化計數的規律;二是從已有的計數經驗和生活實例中歸納、抽象出一般性的計數原理;三是理解計數原理的核心是“分類”與“分步”;四是運用計數原理解決一些簡單的計數問題。

3.知識建構的策略與方法分析。

計數原理是對生活實際中的相關現象進行分析、抽象并數學化的結果，它的主要建構策略與方法有四個：一是分解與轉化，即將一個復雜的問題分解、轉化為多個簡單的問題;二是從特殊到一般，即從大量特殊的計數事實、經驗與方法中抽象出一般性的計數原理;三是類比，即類比數的加法和乘法;四是分類、分步討論，這是把復雜問題分解、轉化為簡單問題的具體策略與方法。

4.知識間的聯系與結構分析。

計數原理是加法運算、乘法運算的延伸與推廣，是生活中分類、分步背后所蘊含的數量關系的數學刻畫。它與向量基本定理有異曲同工之處：都是通過分解、轉化解決問題;都是把復雜的事情分解、轉化為簡單的事情后，先把簡單的事情搞清楚，再解決復雜的問題。同時，計數原理是排列、組合、二項式定理等知識的基礎。

5.知識的要點與本質分析。

計數原理的實質是通過分類、分步來達到以簡馭繁的目的。其中分類、分步既是分解、轉化的具體策略與方法，也是具有根本性、一般性的思考和解決問題的策略與方法。分類的關鍵是依據清楚、不重不漏;分步的關鍵是步驟清楚、相互獨立、相互銜接、有效完成一件事。

6.知識的學科意義與教學價值分析。

組合數學不僅在基礎數學中具有極其重要的作用，而且奠定了計算機革命的基礎，而計數原理是組合數學的核心內容之一。分類、分步思想不僅是解決計數問題的基本思想和方法，也是解決很多其他問題的基本思想和方法。計數原理的建構過程是培養數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等數學核心素養以及數學研究能力的良好載體。

（二）學生認知分析

1.學生認知基礎分析。

學生已經有對簡單問題的計數經驗和能力，熟練掌握加法和乘法運算，也會用列舉法和樹狀圖解決一些簡單的計數問題。

2.學生認知障礙及克服措施分析。

學生的一個認知障礙是計數原理的抽象過程，原因是不熟悉數學抽象的基本步驟和原則。對此，可以通過提問、追問等方式將抽象的過程逐步分解：第一步，思考如何分析計數問題的實例;第二步，小組合作討論這類計數問題存在怎樣的共同特征;第三步，思考如何去除這些問題的物理屬性;第四步，運用數學語言表示。

學生的另一個認知障礙是對運用計數原理解決問題的本質理解。運用計數原理解決計數問題的關鍵在于“如何完成一件事”，而“如何完成這件事”的本質就是搞清楚“元素、位置、放置規則”。故而，可以在大量實例分析的過程中，有意識地利用框圖解決問題。

二、教學目標設計

1.認識計數原理建構的背景與必要性，理解計數原理是刻畫事物數量的數學模型。

2.通過對實際問題的分析，經歷把實際問題抽象成數學問題的過程，提升數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等數學核心素養，體會其中蘊含的從特殊到一般、以簡馭繁、類比、轉化等數學思想方法。

3.通過計數原理在計數問題中的應用，深入理解計數原理的本質。

三、教學過程設計

（一）呈現背景，提出問題

背景1截至目前，臺州市城鄉機動車總數已超過170萬輛，今年平均每天新增300輛，成為近幾年來我市新增機動車數量最多的一年。臺州市機動車牌照形式為“浙J·”，其中“浙J”為地區代碼。如果現在要求“”為大寫英文字母T或Z，“□”為阿拉伯數字0～9之一，請想一想：按此方式編排，最多有多少個不同的牌照？

背景2核糖核酸（RNA）分子由堿基按一定的順序排列而成。已知堿基有4種，由成百上千個堿基組成的RNA分子的種數非常巨大。你知道它是怎么算出來的嗎？

背景3（a+b）（a+b）…（a+b）n個展開式有多少項？

核心問題能否找出具有一般性、規律性的計數原理，用于解決計數問題？

[設計說明：背景1—3分別從生活實際、其他學科和數學內部問題三個角度呈現計數問題，一是將本單元要研究的問題整體呈現，使學習內容具有系統性，發揮單元起始課的作用;二是說明計數問題大量存在于生活實際以及各學科領域;三是說明大量計數問題的結果已經不適合通過“一個一個地數”得到了。從而使學生認識到學習、研究計數原理的必要性，提出本節課學習的核心問題。]

（二）聯想激活，尋求方法

史料1上古結繩而計。

史料2古希臘畢達哥拉斯學派倡導“數而計之”。

[設計說明：讓學生體會計數問題和方法的研究由來已久，感受數學文化，激發學習興趣，初步體會計數思想。]

問題1大家回顧一下數數的過程，可以怎么數？存在什么數學模型？

[設計說明：不自覺、感性的計數是學生已有的認知基礎，是學生研究計數原理的出發點。這里，引導學生回顧數數的過程，總結得出：（1）數數可以一個一個地數，也可以分類來數，分類可以簡化數數過程;（2）加法是事物數量增加的數學模型。由此，為計數原理的構建奠定基礎。]

問題2上述復雜的計數問題是否也能建立一個數學計數的模型來解決呢？如何建立計數模型？

[設計說明：探索類似問題中存在的普遍規律是人類提高效率的有效手段。這里，引導學生類比數數中的數學模型，將復雜的問題退到最簡單的問題上探究規律，建立模型。一方面，讓學生從中學會研究問題的基本步驟和方法，另一方面，也給學生接下來的研究指明方向。]

（三）提出猜想，驗證猜想

情境嘗試完成下列計數問題，并從數學的角度對這些問題進行分類，說明分類的依據。

（1）一件工作可以用2種方法完成，有2人只會用第一種方法完成，另有3人只會用第二種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同的選法有幾種？

（2）從A城去B城有3趟飛機，從B城到C城有2趟汽車，從A城經B城去C城，不同的出行方式有幾種？

（3）用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

（4）填報高考志愿時，一名高中畢業生了解到A、B兩所大學各有一些自己喜歡的專業，如表1所示。如果這名同學只能學一個專業，那么他共有多少種選擇？

（5）用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…，B9……F1，F2，…，F9的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

（6）某班有男生30名、女生24名，現要從中選出男生、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

問題3從“什么問題”“如何解決”“結果怎樣”三個方面對上述計數問題（1）（3）（4）進行觀察分析，并指出它們的共同特征，抽象概括出一般結論。

（1）（3）（4）一般結論完成一件工作編座位號填報志愿完成一件事情2種方法。

第一種方法有2人，

第二種方法有3人英文字母或阿拉伯數字。

英文字母有26個，阿拉伯數字有10個A大學或B大學。

A大學有5個專業，B大學有4個專業2類方案。

第1類方案有m種方法，第2類方案有n種方法2+326+105+4m+n變式1在上述計數問題（4）中，將表1改為表3，這名同學共有多少種選擇？

A大學B大學C大學生物學數學哲學化學會計學經濟學醫學信息技術學教育學物理學法學—工程學——變式2在上述問題中，將“教育學”改為“法學”，選擇種數還一樣嗎？

[設計說明：通過問題變式，加強對分類加法計數原理的理解，一方面推廣分類加法計數原理，另一方面說明分類中要注意“每一種方法”不重復。]

問題4能推廣到一般的情況嗎？

[設計說明：學生之前有過多次推廣的經驗，如從平面向量到空間向量。所以，分類加法計數原理從2類推廣到n類對于學生來說沒有太大障礙。但是，推廣的結論是否成立，是需要驗證的，因此，先鋪墊3類的情況，再通過歸納推理得出n類的結論。]

問題5類比分類加法計數原理的得出過程，請嘗試概括上述計數問題（2）（5）（6）的一般結論。

[設計說明：教是為了不教。這里，類比分類加法計數原理得出的過程，讓學生自主建構分步乘法計數原理，經歷抽象建模的過程，進一步落實數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等數學核心素養的培養。]

問題6兩個計數原理有何聯系和區別？

[設計說明：讓學生辨析兩個計數原理的聯系和區別，進一步理解兩個計數原理的本質，為應用計數原理解決計數問題做鋪墊。]

（四）運用鞏固，內化遷移

問題7思考解決背景1中的計數問題。

[設計說明：首尾呼應，運用構建的計數原理，解決最初提出的計數問題，體現了從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，即從特殊的問題出發，抽象構建一般的計數模型——兩個計數原理，再應用計數原理，解決特殊的問題。此外，解決這個問題時，可以利用框圖加強學生對“元素、位置、放置規則”的理解，即對運用計數原理解決問題的本質理解。]

問題8通過這些計數問題的解決，總結一下解決計數問題的一般步驟。最關鍵的是哪幾步？

[設計說明：通過討論、歸納，明確解決計數問題的一般步驟：第一步，思考完成一件什么事;第二步，思考如何完成這件事;第三步：思考是分類完成還是分步完成;第四步，思考運用哪個計數原理;第五步，進行計算。明確最關鍵的幾步：搞清楚這是一件什么事，搞清楚這件事是怎樣通過分類、分步來完成的。由此，深化對計數原理的理解，培養數學抽象素養。]

問題9書架第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。

（1）設計一個用分類加法計數原理解決的問題;

（2）設計一個用分步乘法計數原理解決的問題;

（3）設計一個用兩個原理解決的問題。

[設計說明：讓學生編制題目，經歷從解決問題到提出問題的過程，更能讓學生融會貫通地應用兩個計數原理。]

（五）回顧反思，拓展問題

問題10為什么要構建計數原理？怎么構建計數原理？嘗試概括這節課的所學、所感。

問題11有規律的加法，我們可以用乘法表示。那么，有規律的乘法，我們是否能用另一種數學模型來表示呢？

[設計說明：回顧既是學習的終點，也是學習的起點;回顧的不只是知識，還有研究問題的思路、方法，讓學生學會“用數學的眼光看世界”。]

參考文獻：

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