高中數學解題中函數思想的巧妙應用

王紅芳

摘 要：高中數學題是非常復雜多變的，學生學習起來有一定的難度，如果借助函數思想的話，就可以在學習和解題過程中快速理清思路，解答相關問題。函數思想是數學的一個重要解題思維，也是數學學習階段比較常用的解題思維之一。本文以高中數學解題為對象，探究函數思想在方程式、數列等方面解題中的重要作用。

關鍵字：高中數學;解題;函數思想;應用

函數思想是高中數學中一種重要的解題思想，本質是根據數學問題的特征建立對應的數學模型，能幫助學生提高解決問題的辦法。函數本身就是數學學習中的一個重點與難點，因此利用函數思想指導數學解題并不是一件易事，但使用函數思想進行其他數學問題解答是一件相對簡單的事情，能有效簡化問題，快速提煉到問題的重點，幫助學生提高解決問題的能力與速度。本文針對高中數學解題，探究函數思想的有效應用，以期為類似研究提供參考。

一、函數思想與方程式

數學是一門極為重要的學科，在數學教學中應用函數思想也非常重要，尤其是對于高中數學來說，有著重要的作用。數學思想除了能夠給教師教學過程中帶來諸多方便以外，還能對學生的數學學習起到促進作用。教師在教學過程中應用函數思想，促進學生培養良好的邏輯思維能力。

方程式是數學學習中的一個經典問題，也是數學學習的一個重點與難點。簡單地說，方程式就是包含一個或多個未知數組合而成的等式，要對未知和已經知量間的關系實施直接描述組成的數式。使用函數思維進行方程式解題時，需要進行一個方程式的轉化解析?？梢詫⒑瘮凳娇醋鲆粋€已知的數量進行方程式的轉換，隨后，將得到的具體方程式的數值放置于直角坐標系中進行解題，從而將一個原本復雜的問題簡化，順利完成數學方程式的解題。

例1：已知lgh+x=2根為x1，10的x2+x=2的根x2，求x1+x2的值。這是一道比較常見的方程式問題，我可以直接通過對題目的分析來列出兩道解題模式進行問題解答，但這個過程中存在一個問題就是并不能直接將x1與x2的數值進行計算，這個過程非常麻煩。因此當遇見這種類型的題目時，并不能單純地采用傳統的解題思路，那樣會直接影響到問題的解答思路。整體上看問題的解答比較困難，因為題目中還有多個變量之間的指代。但如果利用函數思維進行解題，就會簡單很多，可以找到題目中x1、x2與自變量x之間的關系。因此，在解決這道題時，先可以將第一個方程式進行移項處理，將1gh+x=2轉換為1gh=2-x的形式，這樣第二個方程式也就變成10的x2=2-x，這樣就直接形成兩個解答問題的方程式，而這兩個方程式同樣也是解答問題的關鍵影響因素。根據這兩個數式建立坐標系，畫圖后進行交點的計算，隨之，對交點進行相加處理，從而獲得最后的答案。

二、函數思想解與不等式

不等式也是數學學習中的一個重點問題，函數思想在數學不等式之中的解題主要是根據根的分布區間進行解答。函數思想是一個帶有明顯變量的思想，不等式最大的特點就在于數式之中的變量區間以及變量因素，因此，利用函數思想解決數學不等式問題也符合不等式的解題習慣。至于具體如何利用函數思想指導數學不等式的解決，還需要通過具體的案例分析來進行解答。

例2：若不等式滿足m處于區間[0，4]，不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，求x的取值區間。

對這個問題進行解答時，我們習慣先明確題目的要求：求x的取值區間。這是一道根據變量來解答另一個變量區間的問題。因此，我們來簡化這道題的最后問題，這道題是在限定m區間基礎上根據一個恒等式來對x區間進行解答。如果直接利用m的取值區間帶入不等式中進行解答，可能會出現數據的混亂，且無法保證最后答案準確性的情況。但在使用函數思想進行解答時，可以將這個問題轉換為一個二次方程式的形式來進行解答。先將m作為一個區間為[0，4]的自變量，設定一個假定值C，將不等式x2+mx+3>4x+m轉換為C=（x-1m+（x2-4x+3）>0，這樣就簡化整個問題的答案，只要保證x的取值區間的兩段大于0就可以，從而得出最終的答案：x的區間是x∈（-∞，-1）U（3，+∞）。這這種做法，解題思路清晰且答案準確，這也說明函數思想能夠有效地解決數學不等式問題。

三、函數思想與數列

數列問題是數學學習中的一個重要難點，在數列內每個數字均為數列內的一個項，對數列問題進行解答時，可采用函數思想把數列內每一項均看成項數的函數。利用函數解題的一個重要條件在于數字之間存在一定的規律與變化，而數列就是直接研究數字之間的變化與分布，因此，數列與函數之間具有極高的相似性。利用函數思想來解決數列問題時，就更加直觀，可以直接采用繪出函數曲線圖的形式來對數列分布展開分析，從而對數列問題展開分析和處理。

使用函數對等差數列問題進行解決時，可以采用二次函數解題方法完成解題。

例3：等差數列{an}前n項之和是Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求解n為何值Sn存在最大值。這一道題解題思路相對簡單，依據題目內容可知者道題的公差不等于0，因此，Sn是N的二次函數且沒有常數項?；诖?，可以直接進行題目的解答工作，具體流程如下：

借助函數思想對數列問題進行解答，有助于學生了解函數思想，促使學生在函數和數列交匯中找出問題解答方法，進一步拓展學生的解題思維，提高學生的數學思維能力與解題分析能力。

總之，函數思想用到很多問題的解答上，能幫助學生理清思路，對問題進行分析與解答。而利用函數思想解答數學問題，還能節省大量的解題時間，幫助拓展學生的解題思路，使學生在使用常規解題方法但卻無法解答問題時，可以為學生提供另一種解題思路，拓展學生的學習思維，幫助學生更的完成數學解題。