四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板力學性能的理論研究

趙劍峰　孫大珩　徐科文　汪佳倫　邢凱　張揚

摘 要：應力集中嚴重影響開孔構件的承載能力和使用壽命。由此，本文對四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板的力學性能進行理論研究，得到應力的解析解，并基于理論研究結果對孔口應力集中情況進行討論。

關鍵詞：圓孔;無限大矩形薄板;均布剪力;應力集中

Abstract： Stress concentration seriously reduces the bearing capacity and service life of the member with holes. In this paper， the mechanical properties of infinite rectangular thin plate with circular holes under uniform shear force were studied theoretically， and the analytical solution of stress was obtained. Based on the theoretical results， the stress concentration at the orifice was discussed.

Keywords： circular hole;infinite rectangular thin plate;uniformly distributed shear force;stress concentration

開孔、開溝槽等構件被廣泛應用于機械制造、土木工程等領域。若受力彈性體具有小孔，則孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于離孔稍遠處的應力，這種現象稱為應力集中。應力集中會降低構件的承載能力，在小孔附近區域易出現疲勞裂紋，也會使脆性材料制成的零件發生靜載斷裂，尤其是一些內部開裂，是很難被發現的。上述問題會對構件的使用壽命產生極大的影響，同時也會帶來較大的安全隱患。因此，對開孔構件的應力集中情況進行研究尤為必要。本文擬基于彈性力學的基本原理，對四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板的力學性能進行理論研究，并基于理論研究結果對孔口應力集中情況進行討論。

1 理論分析

設有一無限大矩形薄板，在板的中心位置有一半徑為r的小圓孔。在無限大矩形薄板的四周受到均布剪力q的作用，不計體力，如圖1所示。

四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板問題屬于彈性力學平面應力問題。由彈性力學知識[1-3]可知，矩形板邊各點處于純剪切平面應力狀態，計算得到板邊各點的主應力和主方向是：

四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板問題可以轉化為在兩個相互垂直方向上分別受均布拉力q和均布壓力q作用的含圓孔無限大矩形薄板問題，如圖2所示。

由于圓孔很小，由圣維南原理[1-3]可知，離孔較遠處的應力與無孔時的應力是一樣的，所以，首先假設無限大矩形薄板中心沒有圓孔，如圖3所示，計算此時矩形薄板的應力分量。

第一，采用逆解法[1-3]。假設如式（3）所示的應力函數：

2 討論

由四周均布剪力作用下無圓孔和含圓孔的無限大矩形薄板的應力分量的解析解可知，當中心無圓孔時，其應力分布只與有關，而與[ρ]是無關的;當中心有圓孔時，其應力分布不僅與有關，而且與有關，越趨近，環向正應力越大，即圓孔處的環向正應力最大。

四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板的-45°和45°方向的環向正應力[σφ]隨著[ρ]的變化規律曲線如圖5所示。環向正應力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得極值。通過對比四周均布剪力作用下的無限大矩形薄板的中心有圓孔和無圓孔時的應力解答，可以得到四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板的應力集中系數是4.0。

3 結語

本文利用彈性力學平面問題應力法完成對四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板力學性能的理論分析，得到應力的解析解，并基于理論研究結果對孔口應力集中情況進行討論。研究結果表明，四周均布剪力作用下含圓孔無限大矩形薄板的環向正應力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得極值，應力集中系數是4.0。

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