課例：圓與圓的位置關系

蔣婷婷

摘 ?要：本課例從單元目標出發，確立教學目標，通過巧妙的遞進式的問題設計，啟發學生不斷思考，經歷平面解析幾何解決問題的基本過程，進一步體會數形結合的基本思想，積累基本活動經驗。

關鍵詞：圓;公共弦;位置關系;解析幾何;數形結合

1 ?教學目標

每個單元的設計應該具有整體性，所以根據單元目標確定本課的教學目標：

（1）根據給定的兩圓的方程，判斷圓與圓的位置關系。

（2）若兩圓相交，能求出公共弦所在的直線方程。

（3）讓學生通過觀察圖形，把幾何問題轉化為代數問題，運用代數方法解決幾何問題，體會數形結合的思想，進一步理解方程與幾何的關系。

2 ?教學過程

2.1復習引入，合作交流

問題1：已知圓：和圓：

如何運用圓的方程，研究圓與圓的位置關系？請以小組為單位，合作交流共同完成表格。

生1：利用圓的方程可知圓心距為，半徑分別為和，那么只需比較、、之間的大小關系就可以判斷位置關系。

生2：可以，直接聯立方程組，判斷方程組的解的個數。

設計意圖：引導學生可以運用類比的思想方法，合作交流得到解決圓與圓的位置關系的兩種方法。

2.2小試牛刀，探究發現

例1：已知圓，圓，試判斷兩圓的位置關系。

教師鼓勵學生獨立思考，嘗試幾何法和代數法，并把詳細過程寫在學案上。兩圓相交且交點為。

探究活動一：

問題2：你能求出例1中兩圓的公共弦所在的直線方程？它與方程（3）有什么關系？教師鼓勵學生畫出兩圓及其公共弦。

生3：交點為，所以，就是方程（3）表示的直線！教師追問為什么呢？

生4：因為方程組的解一定是方程（3）的解，所以兩個交點都在方程（3）表示的直線上，又因為兩點確定一條直線，所以方程（3）表示的直線就是公共弦。

此時，仍有一部分學生表示不理解，這其實是對方程與曲線的對應關系不理解。為了便于理解，可以設兩圓的交點分別為，則有

，得：同理可得，由此可得均在上，而直線唯一，故。

教師：原來只要兩圓相交，不求出交點也可以直接利用圓方程求出公共弦方程。

設計意圖：學生共同經歷發現問題，提出猜想，進而探究事實，突破了本課的一個難點。而教師在這個過程中做到適當點撥，與學生一起科學探究。

探究活動二：

問題3：方程（4）表示什么圖形？有什么特點呢？當時，方程表示什么圖形呢？

生5：方程可以整理為：

即：，這時方程（4）表示的是個圓。

教師：非常好，帶上笛卡爾為我們特制的“眼鏡”，此方程變成了圓。那么這個圓過定點嗎？

生6：定點就是兩圓的交點。師：太棒了！此時方程（4）表示的是一個經過圓和圓的交點的圓！

設計意圖：這是個難點，類比直線系，考察學生對含參方程表示的圖形的理解能力。滲透直觀想象與代數運算結合的思維方式。

2.3發散思維，鞏固應用

問題4：求過圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程。

生7：求出兩圓的交點，設圓的一般方程，得到三個獨立的方程，利用待定系數法求出圓方程。

生8：求出兩圓的交點后，求出的中垂線方程，與聯立求出圓心，再求出半徑即可。教師追問：的中垂線是哪條直線呢？學生馬上發現正是連心線。所以求圓心無需求交點，但是求半徑必須要有交點！

生9：待定系數法，所求圓不可能是已知的兩圓，故可設方程為

設計意圖：再次挖掘例1，普通的題從不同的角度思考，就會有不同的滋味！培養學生發散性思維，一題多解，深刻地體會幾何與代數巧妙的結合會碰撞出不一樣的火花！

2.4 拓展思考，永無止境

問題5：試著判斷每組中兩圓的位置關系，并且思考方程（5）表示的直線有什么特點。

（1）??（2）

（3）???????（4）

設計意圖：已知若兩圓相交，（5）表示的是公共弦直線方程。學生自然存在這樣的疑問，當兩圓是其他的位置關系時，此時的方程（5）表示的直線仍然存在，它又會有什么特點呢？

3 ?教學感悟，反思提升

本課作為平面解析幾何單元中重要的一部分，筆者根據單元目標定位本課的教學目標，教學過程的設計從單元的整體性出發，承前啟后，通過巧妙的遞進式的問題設計，啟發學生不斷思考，激發學習數學的興趣，經歷平面解析幾何解決問題的基本過程，進一步體會數形結合的基本思想，積累基本活動經驗。

教師可以恰當的提供課后思考題，拓寬思維。及時抓住學生的困惑，提出問題7，適當留白，課堂上不給出答案，激發學生的求知欲，留給學生思考的時間和空間，課后鼓勵和贊賞閃光點，培養探索精神，促進核心素養的提升。

參考文獻

[1] ?包伊娜.課例：直線與圓的位置關系（第1課時）[J].中學數學教學參考旬刊，2015（26）：19-21.

[2] ?楊天育.高中數學圓與圓的位置關系教學設計[J].數理化解題研究，2017（27）：35-35.