關于兩個優美不等式的思考

郭全太

文獻[1]用點到直線的距離公式的幾何意義巧妙證明了5個代數不等式，受其啟示，筆者對文中的例2，例3，亦是下文中的問題1，問題2，從方法論方面做了些思考，現寫出來，僅供參考。

問題1：已知，且，求證：。

證明：因為，所以點在直線上，則點與點的距離，

因此.

命題1：已知且，求證

證明：因為，所以點的坐標滿足關系式，由柯西不等式知，點與點的距離

因此。

特別的，取時便得問題1。

問題2 ?設且，

求證：。

證明：有得，因此在直線上，所以點與點的距離的距離

于是

。

命題2 ??已知且且，求證。

證明：得，

因此點的坐標滿足關系式

由柯西不等式知，點與點的距離

于是。

特別的，取時便得問題2。

取時，則。

若用替代命題2左端的，可得

命題3 ?已知且，求證。

當時，即為常見的不等式;

當時，則。

參考文獻

[1] ?仝秀旺，利用點到直線距離的幾何意義巧妙證明不等式[J]數學教學2019[4]：15-16。