用切線法證明一類不等式

摘 ?要：本文首先在兩種情況下用切線法證明形如且滿足的對稱不等式，構(gòu)造在均值點處的切線，用來近似在處的值;然后通過舉例可知用切線法證明該類不等式是比較有效的.

關(guān)鍵詞：不等式;切線法;對稱性

1引言

不等式與函數(shù)是兩個重要的工具，二者有著緊密聯(lián)系.在數(shù)學思想方法中，常見的用來證明不等式的有很多，例如構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造向量法，構(gòu)造對偶式法，增量代換法，均值不等式法等.本文用切線法來處理不等式問題，借助函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想，往往能收到意想不到的效果.

2 用切線法證明一類不等式

下面重點研究用直接法和間接法來證明不等式.通過具體實例，展現(xiàn)切線法證明不等式的靈活和簡便.為今后的一類不等式的證明打開思路，另辟新徑.

2.1直接使用切線方法證明一類不等式

首先從求一個函數(shù)的最小值出發(fā)，給出用切線法證明一類特殊不等式的基本思想.

例1 均是正實數(shù)，且，

求三元函數(shù)的最小值，并給出證明.（03湖南省數(shù)學競賽題）[1]

解：設.

則在處的切線方程為.

首先證明，， ????（1）

即證 ??

此式顯然成立.

同理有???????????????????????（2）

???????????????????????????????（3）

式相加得，當且僅當時，

這里，我們考慮與有什么關(guān)系？研究函數(shù)的性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)直線是函數(shù)在處的切線，且位于圖像的下側(cè)，故在附近可用來近似估計.

例2 設且

證明：（05第八屆香港奧數(shù)）[1]

證明：設

原不等式即為其中且.

因為在處的切線為

下面證明，

即證 ???????

上式顯然成立.

所以

故

原不等式得證.

通過例2的證明，我們可以得到如下結(jié)論：在證明形如且滿足的不等式（或?qū)ΨQ不等式）時，可以構(gòu)造在均值點處的切線，用來近似估計的值，再比較與的大小，從而完成不等式的證明.

三、總結(jié)

通過以上的一類不等式可以看出利用切線方法證明是非常有效的.在各類數(shù)學競賽試題中有的不等式證明可以利用本文所述的方法.在眾多的證明方法中選擇合適有效的策略無疑為不等式的解題提供更大的平臺[5].

參考文獻

[1] ?蔡玉書.數(shù)學奧林匹克中的不等式研究[M].蘇州大學出版社.2007年9月.

[2] ?鄧贊武.用切線法新探一類條件不等式[J].數(shù)學教學通訊.2008（06）.

[3] ?蔣斌編.通過構(gòu)造“零件不等式” 證明不等式[J].中學數(shù)學研究.2008（07）.

[4] ?張宏.利用切線方程證明不等式[J].中等數(shù)學.2009（04）.

[5] ?周斌.構(gòu)造切線證明一類對稱不等式[J].中學數(shù)學研究.2011（01）.

作者簡介：張丹，（1987，10-），漢，內(nèi)蒙古赤峰市翁牛特旗烏丹鎮(zhèn)，大學本科，中學一級教師，畢業(yè)院校，內(nèi)蒙古民族大學。