滲透化歸，數形結合，落實數學抽象核心素養

黃榮

在普通高中數學課程標準修訂（2017版）中指出：數學抽象是通過數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。本文主要從“二元一次不等式（組）與平面區域”這節課的教學設計上，闡述如何讓學生通過數量關系與空間形式的抽象，提升他們的數學抽象核心素養。“二元一次不等式（組）與平面區域”是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5（必修）》第三章不等式的第3節二元一次不等式（組）與簡單線性規劃問題，第1課時內容，其相關概念是將一元一次不等式抽象出幾何背景，再以幾何直觀推理的方法解決二元一次不等式的解集問題，它是線性規劃問題的基礎和前提，為后面尋求線性規劃“最優解”奠定了基礎。

一、教學設計及課堂實錄

（一）創設情景，引入新知

數學源于生活又服務于生活，讓學生從生活中的具體實例入手，由文字語言轉化到符號語言，建立起二元一次不等式的概念，使學生經歷、體驗從實際問題中得到二元一次不等式（組）這一數學模型的抽象過程，讓學生從已知到對未知的沖突，從而引出本節課要研究的對象。例：某高中食堂主要以面食和米食為主，面食和米食中的蛋白質和淀粉含量如下表所示。學校要求食堂給學生配置成盒飯，每盒至少有8個單位的蛋白質和12個單位的淀粉，請問食堂應該如何調配面食和米食分量呢？

設每份盒飯中面食為[x]百克，米食為[y]百克。

（得出二元一次不等式（組）的概念）

教師：如何求二元一次不等式（組）的解（集）？如果將有序實數對看做點坐標，那么二元一次不等式（組）的解（集）又表示什么圖形？

（二）類比舊知，由數抽象出形

二元一次不等式表示什么樣的平面區域？這是一個比較抽象的問題，學生需要通過已經學習過的、熟悉的知識進行類比、對接。這時，教師把知識建構的主動權交還學生，設置好梯度，以問題的形式引導學生自已探究完成，整個過程循序漸進，由具體一元一次到二元一次，由特殊點轉化到形，借助幾何畫板直觀形象展示，由淺入深，環環相扣，讓學生在探究中完成由數到形自然抽象過程.

教師：一元一次不等式的解集可以表示為數軸上的區間，那么二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形呢？

具體實例：在數軸上畫出一元一次不等式x+3>0的解集。

教師：那么，二元一次不等式又表示什么樣的圖形呢？

探究具體實例：二元一次不等式2x+y-6<0的解集表示什么圖形。

學生探究活動一：

①設點P（x，y0）是直線2x+y-6=0上的點，求出相應的y0;

②在①的基礎上，橫坐標不變，選取適當的y1使得A1（x，y1）滿足2x+y1-6<0;

③在②的基礎上，取x=-2，選取適當的yi，使得Ai（x，yi）滿足2x+yi-6<0;

④將點A描繪到坐標系中。

學生思考：①當點A與點P有相同的橫坐標時，從數來看，它們的縱坐標有什么關系？

②從形來看，點A與直線有什么位置關系？

學生：那么是不是可以畫更多的點來驗證，滿足2x+y-6=0的點都在直線的左下方呢？

教師：這個可以通過幾何畫板隨意取點，觀察坐標實現。（請學生操作幾何畫板，同學們一起觀察數與形的關系。）

學生探究活動二（分組探究）：證明直線2x+y-6=0左下方所有的點的坐標都滿足2x+y-6<0。

學生：（通過探究活動一的啟發，經過小組探究）將問題具體化，取直線2x+y-6=0左下方的任取一點A（x1，y1），過點A（x1，y1）做x軸垂線與直線2x+y-6=0相交于點P（x1，y），這時后橫坐標同為x1，由圖形觀察y1與y的大小即可得到結論。

教師：（完善證明過程），通過幾何畫板展示直線2x+y-6=0左下方任一點的運動軌跡，從而完善思維，實現由數向形的完全轉化。

（三）由特殊到一般，生成概念

學生通過分析實際生活背景實現了由文字語言到數學符號的第一次抽象，再從兩個探究活動中，通過觀察——實踐——猜想——驗證，搭建了由感性思維到理性思維的橋梁，從事物的具體數學符號中抽象出數學概念和規則，從而完成了第二次數學抽象過程。那么接下來將引導學生由特殊到一般抽象歸納出一般二元一次不等式的解與平面區域的聯系，并用數學語言予以表達，使二元一次不等式的解與平面區域的對應關系的理論體系更加完備的同時提升學生數學抽象這一核心素養。

教師：通過以上的證明，我們可以對一般的二元一次不等式有什么認知呢？

（學生討論）判斷表示平面區域的方法：直線定界，特殊點定域。

（四）概念的深化與應用

教師：請同學們利用二元一次不等式（組）與平面區域的知識，解決最初的生活問題，畫出相應不等式表示的平面區域。

在此環節，學生在學案上做圖，利用希沃教學軟件及時對練習錯漏之處進行互評和訂正。重點在于規范學生思維的有序性和解題表述的條理性。

二、教學啟示

（一）教學設計的立意

本案例教學內容是在學習不等式、直線方程后學習，它既是這兩部分內容的延伸和交匯，又是圖解法解決線性規劃的基礎，具有承上啟下的作用。舊教材將它安排在直線方程后學習，體現的是它與方程的聯系，而新教材將它與不等式的知識結合在一起，整章知識凸顯的是通過數學的直觀性進行學習，將重要的不等關系都給出了相應的幾何背景，從而弱化了以邏輯性推導為主的傳統學習不等式的方式;在課堂教學中，緊抓概念的生成這一環節，在由二元一次不等式抽象出平面區域的過程中滲透化歸、數形結合和特殊到一般的思想，不僅訓練了學生計算、做圖的基本能力和學生數形結合、等價轉化等數學思想，還有效提升了學生數學抽象思維這一核心素養。

（二）多媒體輔助教學的優勢

概念教學首要注重概念的生成這一重要環節，但是本學段的學生數形結合思想還不夠完善，識圖、畫圖能力欠缺，對平面點集與圖象的對應關系理解不深，因此在本案例中，如果沒有具體、形象的感知，概念很難從直觀材料或者現實背景中抽象出來。為了幫助學生完成思維的轉化，本案例多次使用了多媒體輔助教學。例如：在探究一活動中，利用幾何畫板取滿足不等式2x+y-6<0的點Ai群，讓學生發現點Ai群都在直線2x+y-6=0的左下方時，會有學生提出疑惑，一些特殊的點能否就代表全部滿足2x+y-6<0的點都在相應直線左下方？這時再用幾何畫板取任意點，讓學生取移動、去觀察，就能在形象的基礎上讓學生得到結論，為下一步的證明打下基礎。探究活動二的證明是本節課的一個難點，學生必須在活動一的基礎上通過圖形去感知和分析，證明出來后，教師再利用幾何畫板播放，直線兩個區域點自由運動時所滿足的不等式，那么二元一次不等式（組）與平面區域的這么一個抽象的數學概念就在形象生動的教學環境之下自然生成了。概念課教學是高中數學最重要的一部分，也是較為抽象的一部分，本文僅以“二元一次不等式（組）與平面區域”為例，淺談了對數學概念教學和培養高中學生數學抽象這一核心素養的一點認識，希望能起到拋磚引玉的作用。

（責任編輯? 林 娟）