自然策略生成測地線

郭海峰

摘 要：測地線是兩點間實際距離最短的路線，測地線在實際應用中非常廣泛；近些年來，隨著國內復合材料自動鋪絲技術的不斷發展，測地線軌跡的生成變得至關重要，原因在于我們可以基于測地線軌跡設計出其它新定義的軌跡并在很大程度上保證軌跡質量，能夠看到，國內外的鋪絲軟件中軌跡設計模塊幾乎都包含了測地線生成算法。筆者這里提出一種測地線軌跡生成思路，并簡單驗證。

關鍵詞：測地線；兩點；生成；軌跡

1 引言

測地線軌跡是最基本的軌跡，其背后有深刻的數學規律和物理意義，測地線方程蘊含了大量微分幾何的內容，解析式較抽象，但在文字描述中很直觀，即曲面上的兩點間最短路徑。目前的文獻中可看到生成測地線的方法以數值求解常微分方程和基于網格的測地線生成[1]為主。兩種方法需要的輸入條件都有軌跡起始點的坐標和軌跡起始點的方向，通過顯式或隱式迭代來控制軌跡滿足約束方程，按順序求出所有點的坐標，再將點依次用直線連接形成測地線軌跡或是用所有點插值的B樣條曲線垂直投影于曲面形成測地線。筆者認為兩種方法都是目前最實用高效的方法，尤其是基于網格曲面的測地線生成法，其思路簡明，可行性高。生成測地線的另一種思路是已知兩點從而求解兩點間的最短軌跡；該思路相比已知初始點和初始點方向求解的思路，能滿足兩端點的位置邊界條件，理論上能做到測地線的精確度更高；相關文獻中給出兩點間測地線算法基本都可以歸于局部搜索法，每一步迭代以減小距離為目的直到收斂到最小值。筆者提出的兩點間測地線生成思路來源于約束在曲面上的曲線兩端受力分析，即在曲面上設置A、B兩點，約束繩只能在曲面上移動；將繩穿過A、B點，繩一端固定于B點，在A點拉繩，繩在A、B兩點間的軌跡收斂為測地線軌跡，模型如圖1所示。筆者稱這樣的過程為自然策略，在接下來章節我們將對該思路進行簡單分析和平面驗證。

2 自然策略分析

2.1 微小單元基礎

從最簡單的模型分析開始，取一平面和一段曲線，曲線以兩段直線代替，設直線在平面內為剛體，如圖2所示；其中線在C點固定，B為線上的一點，線從A端受力被拉出，直到拉不動為止。

假設每次從A拉出的長度為ds，則有A、B、C滿足下面幾何關系，其中 代表點的位置向量，i代表第i次運算。

對于曲面單元來說，幾何方程沒變化；力平衡方程根據曲面特征而變化，主要多引入了曲面的法向量信息。

2.2曲線分析

自然策略即是給出任意一條經過兩端點的曲線，將曲面曲線離散，用數學方法模擬曲線自然收斂成測地線的過程，它需要用的條件包括曲線的切矢、主法向量以及曲面的法向量。初始曲線的好壞影響收斂效率，一般情況建議用空間中過兩點的直線在曲面上的垂直投影曲線作為初始曲線。由微分幾何的知識我們知道測地線每一點處的主法線方向都是曲面在該點的法線方向，即 ，此時曲線所有離散點都滿足幾何方程和力平衡方程。

這里以空間直線生成的初始曲線為例進行計算過程說明，見圖4。首先對空間直線進行等距離散，過每個離散端點做該空間直線的法平面，每個法平面都與曲面有交線；假設離散了n個點，則對應有n個法平面和n條交線（交線記為 ，圖中綠色的虛線），直線投影在曲面上的曲線（圖中為紅色的曲線）記為 ， 與 的交點記為控制點 ， 作為變量可在相對應的 上運動；每一次迭代計算完畢，生成新的n個控制點 ，依次直線連接控制點以生成新的 。重復上述過程使 不斷收斂成測地線。

這里，筆者給出了初步調整控制點的方法，以計算 ，控制點滿足下面方程：

其中 表示第i個控制點的位置矢量，k為常數， 是曲面在第i個控制點的外法向量或內法向量（需統一方向）。由于 在 上有兩個運動方向，為了保證運動方向的正確性，筆者給出初步判斷 運動方向的條件：

至此，完成了自然策略生成曲面上兩點間測地線的生成方法；前文中由筆者給出的初步方程和判斷條件以及最終收斂條件均是可優化的。

2.3平面算例

筆者基于matlab編寫程序做了平面算例，初步驗證自然策略方法的可行性。平面的法向量處處相等，控制方程 中不用每次都計算 ，以平面法向量 代替 ；控制點的運動方向條件由 簡化為 。

其中兩個端點坐標為（0，0）和（50，0），P1、P2分別為橫坐標與縱坐標。控制點設置為49個，縱坐標取值區間為 ，取值概率均勻分布，迭代次數為2000；經自然策略方法計算后結果如下，曲線由矩陣形式的三次B樣條曲線[2]對控制點插值得到：

經過計算后生成的測地線與實際測地線的最大偏差為0.0387，與初始曲線的對比如下：

可以從圖上看出，藍色的曲線（初始曲線）經計算后收斂成紅色的曲線；實際計算結果顯示經迭代后的曲線隨控制點設置數量和迭代次數的增加而更精確地逼近理論測地線。

總結

自然策略生成測地線的方法思路來源于簡單的幾何關系和力學關系，利用了曲面和曲線的自身性質特點；本文初步模擬了曲線一端固定，一端過定點受拉的幾何收斂過程，并由此生成測地線，經過平面算例驗證該思路是可行的。筆者在文中給出的控制點運動方向判斷方程以及控制點步長均可根據自己需要進行改進優化；該算例中控制點的變化是依次進行的，實際上可在運算控制點的步驟中加入力平衡方程的決策條件，這樣即可實現控制點的聯動，大大加快收斂效率。自動鋪絲技術中的軌跡規劃階段常常需要利用測地線，目前生成測地線的方法基本都是通過設置初始點和初始方向從而依次計算軌跡的過程，通過兩點生成測地線的方法無疑能夠完善自動鋪絲的軌跡規劃設計；自然策略方法為兩點間測點線的生成提供了新的思路，對自動鋪絲軌跡設計的研究有一定參考價值。

參考文獻

[1] 熊文磊.基于網格化曲面的自動鋪絲軌跡規劃研究[D].南京：南京航空航天大學，2012.

[2] 符祥.三次均勻B樣條插值曲線和曲面的矩陣形式[J].光電子·激光，2007，18（8）：992-995.