微型四旋翼飛行器的分析

摘 要：本文初步建立了四旋翼飛行器的模型框架，并對其進行了受力及力矩分析，初步建立了四旋翼飛行器的狀態方程，并用PID控制器對其進行控制。

關鍵詞：四旋翼飛行器；狀態方程

一、引言

1.國內四旋翼飛行器的發展現狀

國內對四旋翼飛行器的研究工作相對國外較晚，但在不斷的摸索和實驗后也取得了值得肯定的進步。目前，南京航空航天大學的飛行技術實驗室對四旋翼飛行器的研究一直名列前茅。[1]該實驗室于2008年基于時間尺度理論對飛行器進行系統的劃分，并對劃分后的每個子系統都設計了控制器，實現了穩定的飛行控制。國防科技大學的機器人實驗室成立于2004年，至今一直致力于四旋翼飛行器控制領域的研究，在不斷的努力中也取得了非常大的進展。[2]除此之外，還有一些高等院校在四旋翼飛行器的研究方面也取得了可喜的進展，如清華大學、北京理工大學、中國科學技術大學等。

與此同時，國內許多新興的企業如雨后春筍般的涌現，尤其是位于行業領先的大疆創新公司。大疆創新公司成立于2006年，經過不斷的發展，其技術水平一直領先于國內外其他主營飛行器的廠商，這也使得大疆公司占據著全球無人機以及飛行器市場的半壁江山，在世界各地都能發現大疆無人機的身影，其產品如今也被廣泛的運用到測繪、安防、影視、農業等領域中。[3]

2.飛行器的控制方法

四旋翼飛行器實質上是一類復雜的非線性系統，其本身具有復雜的動力學特性，在控制過程中多個量相互間不獨立，具有強耦合性，很難建立過渡段模式的精確數學模型。因此在分析時，往往將四旋翼飛行器視為剛體，所以必須對其在笛卡爾坐標系下的平移運動以及繞自身機體軸的轉動做出正確的描述，這也就意味著四旋翼同時擁有6個自由度，但只由4個控制輸入量加以控制，因此，四旋翼飛行器又是一種控制輸入數目少于系統自由度個數的欠驅動系統。以上幾種特性無疑增加了設計一套高效的四旋翼飛行器控制方法的難度，這也是四旋翼跟蹤控制領域中的面臨一個很大的挑戰。目前，通常可以四旋翼飛行器的控制算法分為：線性控制方法以及非線性控制方法。

目前國際上經常采用的控制算法有PID控制、反演控制、滑模控制、神經網絡控制和自適應控制等算法。本文結合實驗室現有資源，基于ARM內核的嵌入式硬件平臺，最終選用基于PID改進的串級PTD進行四旋翼飛行器姿態控制算法的設計與實現。既實現了四旋翼飛行器對姿態控制要求的穩定與及時，又考慮了嵌入式硬件平臺有限的資源，算法的實現具有很大的工程應用價值。[4]

二、四旋翼飛行器的模型建立

1四旋翼飛行器空間運動的表示

1.1 飛行原理介紹

四旋翼飛行器由轉子、機架和飛行控制板組成。四個轉子固定在成“X”形狀的機架上，轉子由直流電機和螺旋槳構成。四旋翼飛行器通過改變四個螺旋槳的轉速來實現不同的飛行狀態，無需安裝轉軸，結構比較簡單。

四旋翼飛行器的旋翼可以隨著機身軸距的增加而加大，以保證能夠為飛行提供足夠的動力。此外，四旋翼飛行器是通過平衡四個旋翼產生的力來實現精確飛行和穩定懸停的，四個旋翼產生的推力較單個旋翼產生的推力能更好的實現飛行器的靜態懸停。四旋翼飛行器的相鄰電機之間的轉向相反，且都位于同一水平面，當飛行器平衡飛行時，可以互相抵消自身旋翼旋轉所帶來的空氣動力扭矩效應以及螺旋槳之間的空氣擾動。[5]四旋翼飛行器的基本運動方式主要有懸停、橫滾運動、俯仰運動、偏航運動以及升降運動。[6]

1.2 坐標系的建立

為了說明質點的位置、運動的快慢、方向等，我們需要選擇合適的坐標系。因為我們不僅需要描述其位置信息，還要描述物體的姿態。為此，定義了可以確定飛機在空間中的位置和姿態的機體坐標系。定義的兩個坐標系如圖2.4所示。

（1）地面坐標系

地面坐標系可在通常是以大地坐標系為參考，理論上可以任意建立.如圖2.4中的 。在本文中取其原點 為于四旋翼飛行器的起飛點處， 軸 軸相互垂直且平行于地面，定義 軸指向正北方向， 軸指向正西方， 軸垂直與地心指向天空， 與 ， 軸構成右手坐標系。

（2）機體坐標系

機體坐標系如圖2.4中的 ，原點位于四旋翼飛行器的中心位置。在十字型四旋翼中， 與前后兩旋翼所在軸重合，指向飛行器的前進方向， 與左右兩旋翼所在軸重合，定義所指向的方向為正方向 與 、 軸構成右手坐標系。

.3 飛行器狀態參數簡介

在定義好上述兩個參照坐標系后，可以引入描述飛行器姿態與位置的六個自由度。位置變量 ，其中x，y，z分別代表四旋翼飛行器的中心相對于地面坐標系原點的位置偏移量在地面坐標系三個坐標軸上的分量；歐拉角 ，其中 ， ， 分別代表橫滾角、俯仰角、偏航角。[7]，用歐拉角法得到的旋轉公式為

（2.1）

偏航角 ：飛行器機體軸 在地面坐標系 面上所形成投影線與 軸之間的夾角。

俯仰角 ：飛行器機體軸 與其在地面坐標系 面上所形成投影線的夾角。

橫滾角 ：飛行器機體軸 與其在地面坐標系 面上所形成投影線的夾角。

2.四旋翼飛行器的數學模型

由于四旋翼飛行器整個系統比較復雜，在建模過程中存在很大的難度，我們對建模作出如下假設：

（1）實驗中的四旋翼飛行器是剛體結構，且于中心對稱，質量分布均勻，整機質量為46KG

（2）飛行器的中心點與機體坐標系的原點為重合關系

（3）飛行過程中，飛行器的重力是一定值，不會隨飛行器空間位置和姿態的不同而變化

（4）假設飛行條件比較理想

在選定的參考坐標系下一般都利用牛頓歐拉方程對四旋翼無人機進行整體的分析。在忽略機身彈性振動以及輕微形變的情況下，四旋翼飛行器的運動可以看作是六個自由度的剛體運動，包括飛行器機身繞著機體坐標系的三個軸臂的轉動以及飛行器沿平行于三個軸臂方向上的線性平移運動。

2.1 四旋翼飛行器的受力及力矩分析

四旋翼飛行器的旋翼一般由兩到四片槳葉固定在中心槳毅上，并以兩兩間成正反槳的方式旋轉。電機帶動旋翼旋轉產生垂直于機體平面向上的升力控制四旋翼飛行器飛行。旋翼的質量好壞直接影響著升力的大小，升力的大小變化影響著飛行器的飛行性能。旋翼旋轉所產生的空氣動力以及阻力可以同分析剛體的動力學一樣用相關的動量理論結合葉素（BEM）理論來進行分析。[8]

由旋翼和槳葉相關的氣動學理論可知，當四旋翼的電機帶動旋翼轉動時會產生垂直與機身平面 的升力 ，同時帶來空氣阻力 ，側傾力矩 以及使機身旋轉繞 軸旋轉的扭矩力 。旋翼轉動所產生的著四種不同的效應均可假設與電機旋翼的轉速成正比，由于阻力 以及側傾力矩 的系數通常情況下近似為0，因此可以忽略這兩種響應，升力 和旋轉扭矩力 的表達式如下

其中， 為升力系數， 為扭矩系數， 為空氣的密度， 為旋翼的半徑， 是單面旋翼的表面積， 為旋翼的轉速。

將已知量代入（2.2）、（2.3）可得

其中 ， 代表比例系數。又因為飛行器四個旋翼旋轉產生升力的總合力總是垂直與機身平面 平行于機身 軸，可以得到升力在地面坐標系下的表達方程

假設四旋翼飛行器的四個電機到機身質心的距離都為 ，則旋翼旋轉產生的升力作用在機身 軸 軸上的力矩分別為 和表示如下

飛行器四個旋翼旋轉產生的總力矩 為

2.2 四旋翼飛行器的重力

此外，因為四旋翼飛行器有著一定的重量，所以還應考慮其在飛行中所受到的重力。因為重力總是豎直向下的，因此，重力在地面坐標系下只在 軸向有分力影響，假設所用四旋翼飛行器的質量為m，可得

2.3 四旋翼飛行器的運動學模型

由牛頓定律，四旋翼飛行器中心在進行平移運動時的動力學矢量表達式為

上式中 為四旋翼飛行器的速度矢量，m為質量， 為飛行器所受合外力的總和，可以得到四旋翼飛行器在地面坐標系下的位置狀態方程為

將四旋翼飛行器在地面坐標系下的位置狀態方程代入方程（2.11）與升力在地面坐標系下的表達方程（2.6）可得得到四旋翼飛行器整體的位置運動模型如下

2.4 四旋翼飛行器的動力學模型

根據動量矩定理，四旋翼飛行器繞機身中心旋轉的動力學矢量方程為

其中， 代表四旋翼飛行器質心的動量矩矢量，將其投影到機體坐標系上可以得到飛行器繞質心作旋轉運動時的矢量方程為

上式中， 表示飛行器的轉動慣性常量，因為前文己經假設實驗中的四旋翼飛行器質量均勻且結構對稱，可得機體坐標軸下的轉動慣量為

另外，在機體坐標系下，根據動量矩有如下表達式

將（2.17）代入方程（2.18）并結合前文（2.9）可得

2.5 四旋翼飛行器的狀態空間表達式

通過牛頓一歐拉方程得到的動力學模型是非線性的，而需要設計的控制器是線性的，所以需要將非線性的模型線性化。在地面坐標系中，將線速度分解到三個坐標軸上，其方向與所在坐標軸相同，數值大小為0，角速度的數值也為0。選取公式（2.20）作為四旋翼飛行器的輸入量：

聯立方程（2.13）與方程（2.19）可得線性化方程

通過上述條件和式可得，飛行器處于空中穩定懸停狀態，計算出系統的穩態值為 ， ，忽略飛行器的升力與反力矩之間的耦合關系。以 為輸入，構建四旋翼飛行器的狀態矩陣，由此得到的狀態方程如式（2.22）所示

四旋翼飛行器的控制律

PID控制器設計

由四旋翼模型可以看出，其模型有四個輸入變量與六個輸出變量，屬于不完全控制，各變量之間相互之間存在耦合。

在設計控制率時，首先對模型進行化簡。由于本文假設四旋翼是在小角度、低速度的情況下進行飛行，因此可以忽略陀螺效應對三軸角速度帶來的影響。[9]從而得到化簡后的模型。

觀察化簡后的四旋翼模型，可以發現其三個姿態角變量以及高度變量僅與四個輸入變量有關，而X，Y軸位置的控制則同時與輸入以及姿態角有關四旋翼飛行器的姿態與高度均完全可控。因此，將四旋翼模型拆分成兩個子控制系統，內環系統為姿態控制系統，外環系統為位置控制系統。

其中 代表比例環節增益， 積分環節時間常數， 微分環節時間常數。

比例環節可以對偏差信號對應比例的放大，較大的比例環節增益可以提高系統的快速性，但過大的比例環節增益會使系統調節時間過長，影響系統的穩定性；積分環節主要在調節的后期消除系統的穩態誤差，保證實現系統的無靜差調節，只要系統當中存在動態誤差，則積分環節就會動作，直到系統沒有誤差為止。積分環節的加入會降低系統的穩定性，動態響應也會變得遲鈍。微分環節主要可以改善系統的穩定性和響應速度，它可以根據偏差的變化率對偏差進行預調節，改善系統的動態性能。不過，過大的微分環節會使系統的抗干擾能力大大降低。

參考文獻

[1] 許喆.四旋翼無人機控制系統的設計與實現田[D].南京理工大學，2017.

[2] 李玉紅. 三自由度四旋翼飛行器的控制方案研究[D].東北大學，2012.

[3] 張心馳. 四旋翼飛行器控制系統的研究[D].南昌大學，2018.

[4] 王根. 四旋翼飛行器的基于PID姿態控制算法的設計與實現[D].東南大學，2017.

[5] 黃溪流. 一種四旋翼無人直升機飛行控制器的設計[D].南京理工大學，2010.

[6] 徐誠，黃大慶，孔繁鏘.一種小型無人機無源目標定位方法及精度分析[J].儀器儀表學報，2015，36（05）：1115-1122.

[7] 宋自立. 四旋翼飛行機器人增穩控制方法研究[D].華北電力大學，2014.

[8] 段宏. 基于動量葉素理論的風力機風輪建模仿真[D].華北電力大學（北京），2016.

[9] 米培良.四旋翼飛行器控制與實現[D].大連.大連理工大學.2015

作者簡介：姚興宇，1997.9，男，漢族，河南洛陽人，河南大學，國際教育學院 2016級本科生在讀，研究方向：測控技術與儀器。