學生交流互動領域數學素養提升的路徑

胡靜

[摘? 要] 交流互動是數學課堂的必要環節，它延伸學生數學思維活動，促進其思維活動社會化;數學學習過程的有效交流互動是學生嘗試論證觀點、共享發現、肯定猜想的基本途徑. 文章以初中數學講評課為教學載體，重點探討在交流互動領域提升學生數學素養的實現途徑，以期拋磚引玉.

[關鍵詞] 數學交流;課堂教學;講評課;素養

數學課程標準明確要求培養學生走向社會、適應新環境、獲得生存發展的核心能力，數學學習過程的交流與互動是實現這種關鍵能力生成的重要途徑. 所謂數學交流與互動，是指學習者采取“聽、說、讀、寫”等多種方式，運用數學語言和數學思想，實現交互的溝通與啟發，這也是學生在掌握數學知識、洞悉數學規律、體驗數學思維的一種涉及情感、意志、興趣等心理傾向的活動[1]. 就初中數學講評課的教學實踐，筆者發現部分數學教師教學過程中的交流互動存在“方向、形式單一，重形式、輕質量”的弊端，存在“師講生聽、只講不練、就題論題”的現象，而教師常抱怨的同一種數學題型、同類題目講解多遍，考試中仍然有不少學生還是出錯的現象就不足為奇了. 實踐表明，一節優質講評課必須具有“師生互動、生生互動”的活動環節，須給予學生表達思維過程、表達見解的空間，允許學生必要的“反評價”，引導學生有效歸納解題方法與技巧，鼓勵學生勇于說題、改題和編題. 在此，筆者以一次試卷講評課為例，呈現卷中一道附加題的講評過程，介紹在交流互動領域培養學生數學素養的途徑，希望能給同仁帶來一些幫助.

構設合理情境，提供交流素材

問題：若三角形中存在一條邊上的中線長度恰好與此邊長相等，這種三角形成為“趣味三角形”;已知Rt△ABC中，∠C=90°，且此三角形為“趣味三角形”，試求：tanA的值.

興趣是最好的老師，此處問題情境的創設，能有效激發學生探究的興趣，引起學生主動復習題中相關數學定理和命題的欲望，引導學生構建已有數學知識、數學規律與新構圖形之間的聯系，給學生提供有價值的數學交流素材，讓學生的數學交流“言之有物”.

給予思考空間，引導學生交流

上述三角形試題的結構比較簡單，涉及的數學運算并不復雜，由于題設中沒有給定固定的圖形，在確定直角頂點C的情況下，點A的位置存在兩種不同情況（如圖1所示），針對AD=BC，BD=AC兩種情況，數學教師可以引導學生進行數學交流活動，對題目進行科學探究，形成不同的解題方案，學生在解題方案的交流比較中發現數形結合可以優化解題過程. 可見，數學交流讓學生在講評課上的主動性得以充分發揮，有助于學生分析、解決數學問題能力的提升.

靈活變式題組，助力交流層次

初中數學課堂教學中，數學知識和數學解題方法的交流是課堂教學環節的重要組成部分，作為教師還可以借助變式題組讓學生進行數學體驗和數學交流.

變式題組：已知三角形中存在一條邊上的中線長度恰好與此邊長相等，這種三角形稱為“趣味三角形”，此定義中的中線稱為“趣味中線”. （1）請用尺規作圖的方法畫出一個“趣味三角形”. （2）若△ABC為“趣味三角形”，則∠A的正切值是否確定？若確定請求出此值;若不確定，請你說明理由. （3）若Rt△ABC為“趣味三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊BC=1，試求：Rt△ABC的“趣味中線”的長度. （4）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，試求證：△ABC是“趣味三角形”.

在題目的講評過程中，根據新定義圖形進行延伸探究，強化學生掌握尺規作圖的技巧. 顯然，新穎的變式題組激發了學生數學交流的積極性，多層次、階梯性的變式題組促進了學生數學交流關注度的提升，具有針對性的變式題組調動了學生數學思維的靈活性. 變式題組的講評過程促進了學生數學交流層次感和綜合度的進一步提升[2].

關注方法交流，拓展思維能力

數學解題教學中，進行“一題多解、多解歸一”的數學交流，能夠有效促進學生數學解題能力的提升，有助于數學思想方法的提煉、應用和遷移，有助于學生從“題海戰術”中解脫出來，有效體現出講評課“萬變不離其宗”的特征.

變式題組：已知三角形中存在一條邊上的中線長度恰好與此邊長相等，這種三角形稱為“趣味三角形”. （1）如圖2所示，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求證：△ABC是“趣味三角形”. （2）如圖3所示，邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=2θ，兩個動點M和N從A點分別沿著AB-BC和AD-DC以相同的速率向終點C運動，點M運動的路程記為S. ①若△AMN為“趣味三角形”且θ=45°，試求的值;②若動點M和N的運動過程中只有一種情況使得△AMN成為“趣味三角形”，試求tanθ的取值范圍. （3）試探究在動點M和N運動的過程中，使得△AMN為“趣味三角形”的次數與tanθ值之間的關系.

這里呈現（2）問中①的“一題多解”的過程：

方法1：在θ=45°的情況下，若點M處于AB邊上時，△AMN為等腰直角三角形，顯然不是“趣味三角形”;當M處于BC邊上時，添加相關輔助線，如圖4所示，根據對稱性可知AC是MN的中垂線，結合幾何關系可得△AEF∽△CEN，即=====.

①若在△AMN中MN=AE，即=2，則=.

② 如圖5所示，若在△AMN中AM=NH，AH=HM，NG⊥AM于G，則NG是AH的中垂線，根據幾何關系可得NG=GH，則tan∠AMN===，即=+.

方法2：①如圖4所示，在Rt△ABM中AM2=AB2+BM2=a2+（S-a）2;在Rt△AEM中AM2=AE2+EM2=

a2+

2，綜上可得=. ②略.

方法3：①如圖4所示，AC=MN，AC為MN的中垂線，△AEF和△MEC為等腰直角三角形，則AE=2ME，即a=2×，即=. ②略.

筆者在教學過程中啟發學生進行一題多解，學生各自解題與交流后，引導其進行解法總結：方法1屬于幾何構造法，靈活添加輔助線將動點M的軌跡轉換成線段進行處理，構造相似三角形，結合“趣味三角形”的特征進行分類討論，此解法的優點是“通俗易懂、運算簡單”，缺點是學生添加合適的輔助線比較困難. 方法2是觀察幾何圖形特征，借助Rt△ABM和Rt△AEM中的公共斜邊AE，運用勾股定理構建a與S的等量關系式進行求解. 此解法優點是解題思路簡單、清晰，缺點是求解過程中的數學運算量比較大，學生容易出現錯誤. 方法3是根據方法2演變而來，根據圖形特征得出E是線段AC的三等分點，利用直角三角形關系，得出AE=2ME，進而得出a與S的比值. 顯然，上述三種解法中都涉及“趣味三角形”兩種情況的分類討論，學生的數學交流滲透于“點評、小結、評價”環節之中，學生解決問題的能力在“多解歸一”的教學環節中得以提升，進而成功走出“就題論題”的困境，達到“以題論法、以題論道”的境界，學生在此數學交流過程中充分體驗了“以形助數，以數化形”數學思想方法的妙用[3].

結束語

縱觀試題講評過程，師生的教學思維過程出發于“趣味三角形”陌生概念，展開于“趣味三角形”一系列變式探究，落實了數學素養，提升了學生逐步掌握處理“新定義題型”的基本思路與方法. “一題多解、一題多變”，促進學生有效交流互動，充分發揮數學課堂交流互動的功能與效果，讓學生能順利“舉一反三、融會貫通”. 一線數學教師在講評課中應注重夯實數學概念的內涵與外延，靈活挖掘數學試題的核心內容，進行針對性變式訓練，搭好數學交流互動的平臺. 引領學生基于典型試題深度與廣度視角進行探究，促進學生數學交流互動領域素養的有機生成，突破傳統數學講評課的立意與品位，真正實現數學講評課的教學價值.

參考文獻：

[1]胡軍. 區域優化初三數學試卷講評課的實踐與思考[J].數學教學通訊，2013（7）：37-40.

[2]董鈞. 數學試卷講評課教學之我見[J]. 數學教學通訊，2018（5）：32-33，52.

[3]夏春南. 試卷講評要“接地氣”[J]. 中學數學月刊，2018（5）：46-50.