對一道函數壓軸題的多解探究

張明詰

[摘? 要] 函數綜合題是初中數學重要的問題類型，一般切入點較多，可以采用不同的方法來求解. 考慮到其分析思路較為多樣，所以在解題教學中需要重點引導. 文章以一道函數綜合題為例，開展解題突破、多解探究，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 函數;多解;平移;對稱;整體

問題呈現及思路突破

問題? 現有兩個二次函數，其解析式分別為y1=x2+bx+c，y2=x2+m. 對于函數y1，當x=2時，該函數可以取得最小值.

（1）試求函數y1解析式中b的值;

（2）如果函數y1的圖像與坐標軸只存在A，B兩個公共點，試求公共點A，B之間的距離AB;

（3）如果函數y1和y2的圖像均經過點（1，-2），在坐標系中取一點（0，a-3），過該點作x軸的平行線，已知所作平行線與函數y1和y2的圖像一共存在4個交點，設4個交點的橫坐標分別為x1，x2，x3，x4，且該4個橫坐標值存在如下關系：x1

思路突破? （1）該問求函數y1解析式中的系數b，由系數a>0可知，拋物線y1的圖像開口向上. 根據其單調性可知，該拋物線在頂點處取得最小值，于是有-=2，又a=1，所以b=-4.

（2）由（1）問可確定函數y1的解析式為y1=x2-4x+c. 條件指出，其對應圖像只與坐標軸有A，B兩個不同的公共點，考慮到沒有限定公共點位于哪條具體的坐標軸上，所以需分類討論，具體可以分為以下兩種情形：①二次函數y1與x軸和y軸分別只有1個公共點;②二次函數y1與x軸有2個交點，由于圖像必須與y軸有公共點，則其中的1個公共點為坐標原點.

①函數y1與x軸和y軸各有1個公共點時，圖像與x軸只有一個公共點，則Δ=16-4c=0，解得c=4. 此時y1=x2-4x+4. 令x=0，可得y=4;令y=0，可得x=2. 利用兩點之間的距離公式，可得AB=2.

②因為函數y1經過原點，且另一公共點也在x軸上，所以Δ=16-4c>0，解得c<4. 將原點O（0，0）代入解析式y1=x2-4x+c中，解得c=0，所以此時y1=x2-4x. 令y=0，可得x1=0，x2=4，所以兩公共點之間的距離AB=4.

（3）已知函數y1，y2均經過點（1，-2），將該點的坐標分別代入函數y1和y2的解析式中，可得1-4+c=-2，

1+m=-2， 解得c=1，

m=-3，所以y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 函數y1的解析式可變形為y1=（x-2）2-3，考慮到過點（0，a-3）所作的平行于x軸的直線與函數y1，y2的圖像有4個交點，所以需要確保點（0，a-3）位于函數y1頂點的上方，即a-3>-3，解得a>0. 分別令y1=a-3，y2=a-3，將其代入對應的函數解析式中，結合x1

根據函數解析式繪制圖像（如圖1），將直線y=a-3由函數下方逐步向y軸正方向移動：當-3-2時，橫坐標為x1，x3的點在函數y2的圖像上，橫坐標為x2，x4的點在函數y1的圖像上. 現分別加以討論.

①當-3

-，x2=，x3=2-，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4. 由于0

②當a-3>-2，即a>1時，x1=-，x2=2-，x3=，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4.

綜上可知，0

[圖1][O][x][y][x1][x2][x3][x4][x1][x2][x3][x4]

解法評析及多解探究

此題為一次函數與二次函數為背景的綜合題，第（1）（2）小問相對簡單，只需要分析函數的特征，適當結合分類討論即可確定. 第（3）問屬于交點分析的代數式最值問題，關鍵是確定函數交點的坐標. 上述思路采用了常規的平行線平移方法來確定分類的標準，進而確定了代數式的取值范圍. 實際上，對于第（3）問，還存在一些其他的方法，下面進行深入探究.

1. 平移視角切入，數形結合分析

根據上述條件，可確定兩函數的解析式分別為y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 對y1進一步變形可得y1=（x-2）2-3，顯然兩函數的頂點分別為（2，-3）和（0，-3），且開口方向均向上，大致圖像如圖2所示. 于是可以將函數y1的圖像視為是由y2的圖像向右平移2個單位長度得到的.

根據已知條件x11時，根據坐標的大小規律，有CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，所以x4-x3+x2-x1=EF+CD=4，即代數式為定值4. ②當00，所以4-2DE<4. 所以此時x4-x3+x2-x1<4. 綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

[圖2][O][x][y][C][D][E][F][C][D][E][F]

2. 限定視角切入，緊抓對稱特征

同樣的，我們可以通過分析兩函數的特征作為解題切入點. 要確保直線y=a-3與函數有4個切點，需要滿足以下兩個條件：①直線不經過兩函數的交點，即y=a-3≠-2;②直線需位于兩函數的頂點上方，而兩函數的頂點分別為（2，-3）和（0，-3），所以y=a-3>-3. 因此在討論時需要分為-3-2兩種情形：

（1）當-3

（2）當a-3>-2，即a>1時，此時直線y=a-3位于兩函數交點的上方，同樣設交點依次為C，D，E，F，因為函數y1的對稱軸為直線x=2，點F到該對稱軸的距離為x4-2，所以點D的橫坐標x2=2-（x4-2）=4-x4. 所以x4+x2=4. 同理，函數y1的對稱軸為y軸，即直線x=0，點E到該對稱軸的距離為x3，則點C的橫坐標x1=0-x3=-x3. 所以x1+x3=0. 所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

3. 整體視角切入，等量代換計算

基于上述分析，我們還可以直接將點的分析問題轉化為代數之間的運算，利用代數運算的精準性來突破. 具體討論標準同上，即分為01兩種情形.

（1）當0

（2）當a>1時，x4，x2在函數y1上;x3，x1在函數y2上. 根據函數解析式，分別令x2-4x+1=a-3，x2-3=a-3，可得x2+x4=4， x3+x1=0，所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

解法評析上述展示了第（3）問的三種不同切入視角，第一種解法以二次函數的平移作為切入點，采用數形結合的方式加以討論;第二種解法從四點存在的限定條件視角加以討論，輔以拋物線對稱性來簡化代數式;第三種解法則在上述兩種解法的基礎上，將代數式轉化為不同的整體，結合韋達定理構建關系式. 雖切入視角不同，但這些解法均存在如下一些共有特點：①考慮到直線y=a-3的解析式中含有參數a，無法確定直線的具體位置，因此需要對其加以分類討論，而分類討論的具體內容均為四點位于函數圖像上的情形;②由于此問為一次函數與二次函數的相交問題，因此必然涉及兩函數解析式之間的關系分析，而求解兩根之差或兩根之和必然繞不開相關的定理，如求根公式、韋達定理等[1].

解題思考及教學建議

1. 關注基礎知識，透視核心概念

本題屬于初中數學的函數綜合題，解題過程涉及求二次函數的頂點、對稱軸，以及兩類函數的交點;而分析問題時又涉及函數的單調性、最值，以及圖像繪制，這些內容均是初中數學的基礎知識和核心內容. 數學解題最為基本的要求是理解題意，能夠運用最基本的方法對問題進行拆解，這就要求我們在學習的過程中要充分理解教材的每一個核心概念，掌握基本的公式、定理. 同樣地，教師在教學時應側重基礎概念、定理的講解，使學生充分理解概念背后的深層內涵，能夠靈活運用公式來求解基本問題[2].

2. 問題多解探究，拓展解題思維

上述在求解第（3）問時，基于不同的切入視角，靈活采用不同的方法加以分析、運算，這些解題方法雖大同小異，但對于透視考題結構、剖析深層內涵，具有一定的作用. 如平移視角充分揭示了兩函數解析式和圖像之間的關系;限度條件視角剖析了討論的標準，以及兩函數圖像之間的交點情形;而整體視角則進一步解讀了代數式背后的整體關系，建立了交點坐標與函數解析式之間的關系[3]. 這些探究所得的內容對于完善學生的知識架構、拓寬學生的解題思維，有極大的幫助. 因此，在日常的教學中，教師要善于引導學生從不同的角度來分析問題，要幫助學生提煉、總結不同的解題思路，使之內化為學生的經驗，逐步形成自己的思維意識，從而不斷提升學生的思維水平.

參考文獻：

[1]湯永明，王紅. 對兩道函數題的探究剖析與欣賞[J]. 數學教學通訊，2019（2）：81-83.

[2]馮英馨，李鴻運. 一道中考函數壓軸題的一題多解賞析[J]. 中學數學，2018（4）：87-88.

[3]李功林. 整體視角下的函數概念教學實踐與思考[J]. 中學數學教學參考，2018（14）：53-56.