高中數學幾何概型在生活中的應用

張宸畋

（重慶市第十一中學校，重慶 400000）

數學(mathematics)，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門科目，在某個方面來說它是屬于一種形式科學[1]。其中的幾何概型是一種概率的模型。在這個模型中，隨機試驗的所有可能結果是無限個的，并且每個基本結果的可能性都是相同的。幾何概率的學習能夠促使我們更好地解決生活中遇到的一些問題，特別是在大數據信息化快速發展的時代，數學知識與現代信息技術的有效結合，并借助使用計算機或云計算進行隨機模擬，可以得到我們想要的結果。同時，數學的學習也為高校學生繼續研究概率論和計量理論奠定了基礎。

一、幾何概型的定義和特點

（一）定義

如果在我們的生活中，每件事情發生的概率僅與該事件本身的屬性（如面積、長度、重量）等因素成正比，則這種概率模型我們稱之為幾何概率模型[1]。

例如，一項隨機試驗中，我們將了解每個基本事件從特定區域幾何隨機挑選的，在每一個點被送往的機會是相同的，和一個隨機事件的發生僅僅理解為到達指定區域中的點。該區域可以是一條線段，也可以是平面圖形，更可能是三維圖形，這樣處理隨機的試驗的方法，稱為幾何概型。

幾何概型與古典概型相反，是將等可能事件的概念從有限個向無限個的蔓延，幾何概型與古典概型的區別在于有無限個的試驗結果。

（二）特點

幾何輪廓有兩個主要特征。一個是無窮大，也就是說，實驗中可能會出現無限多的基本事件（結果）。第二種可能性是每個基本事件都有相同的發生概率。

二、幾何概型在生活中應用廣泛

在現實生活中，數學無處不在，而幾何概型也廣泛應用于社會的方方面面，農業和工業生產、體育和科技活動、人們的日常生活等方面都能夠見到幾何概型的身影。

（一）簡單的幾何概型的應用

1.剪彩活動

剪彩的要求是把3米長的彩段剪成兩段，每段不能少于1米，那么能夠達到這個要求的概率是多少呢？為了研究方便，我們用長度為3米的線段AB來代替彩段，設剪斷點為點P，那么點P落在線段AB上每個點的可能性都是一樣的，根據剪彩要求點P離A點的距離和點P到B點的距離都不小于1米，首先我們可以在線段AB上隨機選兩點，分別為C點和D點，使得線段AC和線段DB的長度都為1米，這樣P點只能落在CD區間上，記“彩段被剪成兩段，每段長度不小于1米”為事件B，那么事件B的概率就是線段CD的長度與線段AB長度之比，也就是1/3。從這個事件，我們看出事件的概率是部分長度與整條長度之比[2]。這個概率與幾何度量有關，這個就是幾何概型。

2.公司選址

資料顯示，在城市ABCD中，是一個30m×40m的矩形區域，而黃金地區域是以點A為圓心，20m為半徑的四分之一圓區域。那么公司選址恰好選在黃金地段的概率有多大呢？我們把公司看作一個點M，那么點M落在整個矩形區域內的每個點的可能性都是相等的，我們記公司選址恰好選在黃金地段為事件B。從這個問題我們可以看出，事件的概率應該是部分區域的面積與整個區域的面積之比，而這個部分區域的面積恰好是四分之一圓面積，而整個面積為矩形面積，這個計算結果是π/12。

（二）復雜的幾何概型的應用

1.約會馬云

假如一個老板與馬云約在晚上8點到9點之間會面，先到者等候另一個人20分鐘后可以離開，那么這位老板和馬云能會面的概率是多大呢？假設到達的時間分別為8點x分和8點y分，那么x、y必須滿足大于等于0，且小于等于60。所以老板和馬云兩人能會面的充要條件是∣x-y∣≤20。以有序實數對（x,y）表示平面上的點的坐標，那么滿足條件的區域與整個矩形面積之比就是兩人會面的概率。

對于復雜的二維幾何概型，我們解決過程中可以做到以下幾點：

（1）構造變量

（2）集合表示

（3）作出區域

（4）計算求解

2.在獎品的誘惑面前要冷靜

現實生活中我們經常看到這樣的場景，比如在一所小學的入口處設置了一個游戲（如圖），以吸引許多上學和放學的小學生過來消費。具體游戲規則是這樣的，小學生每轉動一次轉盤就要付5角。如果指針與陰影重合，則獎勵5角；如果連續重合2次，則獎勵鉛筆盒為1個；如果重復3次，則獎勵文具盒1個；如果重復4次，則獎勵游戲手柄一臺。許多學生被高價值的獎品所吸引并參與到這個游戲中，但很少有人獲得獎品。為什么？

這個問題我們可以用幾何概率來解釋。由于指針位于圓的陰影部分，圓周周長為100cm，圓周上陰影部分的每條弧長為2cm。指針的幾何形狀和對稱性知道指針落在陰影上的概率是：

通過公式計算，同學玩一次游戲得到獎品的概率為0.08.而且每次轉動轉盤都是屬于獨立的事件。A?B 表示事件， A 與B 表示同時發生，則P(A ?B)= P(A)? P(B)，設Ai={指針與陰影連續重合i次}，則：

從計算結果可以看出，贏一個獎品的概率很小，得到一個鉛筆盒的概率只有0.0064，所以如果你想得到一個游戲機，這幾乎是一個幻想。根據小概率原則，一場比賽只贏一次幾乎是不可能的，所以，這是一個騙局。

三、結束語

高中的數學學習有著廣泛的實用背景，我們學習幾何概型，理解幾何概型，不僅僅是為了學習一種數學計算方法，更是為了學以致用，把握一種生活技能，培養一種生活態度，學會一種思維方式，讓自己生活得更理智、更輕松、更成功！