基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復方法

池寶濤 張見明 鞠傳明

自由曲線曲面造型技術[1]是計算機輔助幾何設計(Computer aided geometric design,CAGD)的核心基礎.非均勻有理B 樣條(Non-uniform rational B-Splines,NURBS)[2]以其優良特性廣泛應用于自由曲線曲面造型,而成為計算機輔助設計和制造(Computer aided design and manufacturing,CAD/CAM)的一個標準.目前,通用的商業計算機輔助工程(Computer aided engineering,CAE)軟件計算仿真流程可分為前處理、中間求解計算、后處理三大模塊.其中數值模擬的前處理模塊主要用于導入專業計算機輔助設計(Computer aided design,CAD)軟件構建的幾何模型的標準數據文件或對已有的CAE 幾何模型進行簡單操作或修改、網格生成、施加邊界條件及定義物理屬性和求解參數等.復雜問題數值模擬難以實現自動化的主要性能瓶頸在于前處理涉及大量的人工交互,且其效率高低嚴重依賴于用戶經驗和知識水平.根據美國Sandia 國家實驗室Michael Hardwick 和Robert Clay 提供的數據,如圖1 所示,在數值模擬過程中,前處理模塊的用時占據了整個數值模擬過程用時的絕大部分,其中對于CAD 模型的處理用時占60%(圖1 中步驟1～3),網格生成用時占20%(圖1 中步驟4 和步驟5),而真正用于數值計算的時間僅占整個數值模擬過程的4% 左右(圖1 中步驟8),因此,實現前處理的自動化是提高全自動CAE 分析效率和精度的關鍵.然而,由于高質量的網格生成及高效可靠的CAE 分析對幾何模型通常有特殊的要求,而初始輸入的幾何模型由于其來源的多樣化,在進行CAD幾何模型設計時沒有考慮或很難預見到這些特殊的要求,因此在導入到CAE 系統后的幾何模型通常會引入幾何“噪聲”.

圖1 美國Sandia 國家實驗室數值模擬過程用時數據統計Fig.1 Statistics related to numerical computation from Sandia National Laboratories of USA

CAD 模型的幾何“噪聲”種類難以盡數,且其來源及其產生原因多種多樣,主要可歸納為兩類:一是CAD 模型在幾何造型設計制造時存在缺陷.在傳統的幾何造型設計及產品研發過程中,幾何形狀設計與物理分析方法完全分屬不同的工程領域,設計者主要關注CAD 模型的構建,而忽視不理想的幾何特征對后續物理分析的影響.二是不同系統之間的數據傳遞造成的CAD 模型幾何數據及拓撲信息缺失.在常見的傳統商業軟件中,CAD 系統與CAE系統兩者相互獨立,兩者之間無法進行交互.在進行產品設計或性能分析時,需要將CAD 模型導入到CAE 系統中,在此數據傳遞過程中會造成原始幾何數據及拓撲信息的丟失.另外,在傳統的工程分析計算中,CAE 分析模型的模型描述往往對原始CAD幾何模型進行修改或簡化,無法體現幾何設計模型中包含的復雜且精確的幾何信息,CAE 分析模型與CAD 幾何模型不統一,且兩者之間存在巨大差異,導致CAE 分析自動化程度低.

CAD 模型幾何拓撲修復[3]主要是指在保證原有CAD 模型不失真的前提下,對CAD 模型中存在的幾何瑕疵(如短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及尖銳特征等)進行處理,將存在的“錯誤”的“臟”幾何轉換為可滿足CAE 分析的“干凈”幾何.目前,基于不同的應用需求,國內外學者對于CAD 模型修復方法的研究主要分為兩類:一類基于連續曲面;另一類基于離散曲面.現在主流的CAD軟件通常基于連續曲面造型,主要依賴NURBS 的建模功能實現復雜模型的建模,幾何精度高,但受拓撲限制且存儲數據量大.文獻[4]提出了一種基于連續曲面的方法，利用少許連續曲面片進行擬合處理曲面間的非連續缺陷.該方法具有局限性,且在修復過程中存在不成功情況.文獻[5]提出了一種基于連續曲面的方法,采用“實操作”消除細小幾何特征,操作復雜,擬合數據量大,且在力學性能分析中,局部細小特征恰恰為應力集中的地方,是研究的關鍵對象.文獻[6]提出了一種基于連續曲面的方法利用“實操作”修復實體模型,對CAD 模型中的幾何瑕疵進行增刪操作,利用“實操作”后的連續曲面替代原實體模型中的曲面,該方法存在以下缺陷:1)完成修復的主要步驟需要大量的人工交互,對于復雜實體模型的幾何修復效率低且錯誤率高;2)修復后的模型與輸入原模型幾何數據及拓撲信息存在巨大差異,改變了原始CAD 模型的真實信息.基于離散曲面進行拓撲修復方法主要通過大量的三角形面片進行曲面表征,相關幾何計算是線性的、效率高,但存儲數據量大、幾何精度差,無法滿足高精度的數值模擬要求.文獻[7]對離散模型的修復方法研究的最新進展進行了系統的歸納和總結,并概括總結了典型的離散模型錯誤,包括法向不一致、孤立點和邊、非二邊流形、退化單元、孔洞、細縫和單元重疊、相交、拓撲噪音、數據噪音、銳利幾何特征丟失等.該方法分類復雜,且多數錯誤為在離散模型中存在,或在將連續參數曲面模型轉化為離散模型的過程中引入的錯誤,而在基于參數曲面設計的CAD 模型中并不存在.文獻[8]提出了一種采用離散曲面的方法,利用大量的三角形面片進行模型處理,該方法難以滿足高精度的數值模擬要求且存儲數據量大.此外,離散曲面表征僅涉及離散面片間等低層拓撲,無法直接用于需高層拓撲支持的操作,如若需要,需重構連續曲面模型中的邊界表征數據(Boundary representation,B-Rep).參數曲面造型在數值模擬中應用最為廣泛,如在等幾何分析及計算流體力學等領域,模型的幾何精度對保證數值模擬精度非常關鍵,因此高精度的數值模擬通常要求采用參數曲面造型方法,甚至要求采用高階參數曲面.本文從高精度數值模擬的角度出發,采用第一類基于連續曲面方法進行全自動幾何拓撲修復.

基于本文提出的一種基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復方法,開發了一套CAD/CAE 集成系統,統一了幾何模型與計算分析模型,實現了CAE與CAD 兩者的無縫集成,所有拓撲修復操作及后續CAE 分析計算均在同一環境下進行,避免了幾何模型在CAE 與CAD 系統間轉換時造成的數據丟失.基于邊界面法[9]的完整實體CAE 分析軟件[10]是將邊界積分方程與計算機圖形學相結合,直接利用CAD 實體模型中的邊界表征數據實現復雜結構CAE 分析自動化,將幾何實體模型的曲面片作為物理量插值的基本單位,并且用于CAE 分析的網格單元可從原始輸入CAD 模型中計算用于物理量插值和數值積分所需的精確幾何信息,如切向量、法向量、雅克比等,從而避免了幾何誤差的引入并保證了計算結果的高精度.與主流商業CAE 軟件不同的是,該軟件是直接基于UG 平臺,利用面向對象的程序設計語言Visual C++二次開發的,設計了用于讀取原始輸入CAD 模型B-Rep 數據的統一幾何數據接口模塊,降低了進程間頻繁交互的通訊頻度.該系統采用本文方法設計了全自動幾何拓撲修復模塊,且全自動幾何拓撲修復與后續CAE 分析在同一環境下進行,避免了不同系統之間的數據傳遞造成的CAD 模型幾何數據及拓撲信息缺失,統一了幾何模型與分析模型,實現CAE 與CAD 兩者的無縫集成.完整實體CAE 分析軟件前處理模塊框架如圖2所示.

圖2 完整實體CAE 分析軟件前處理模塊框架Fig.2 Preprocessing module of center for complete solid analysis software for engineering structures

完整實體CAE 分析軟件的總體設計原則為:

1)軟件既融于UG 又獨立于UG.為了提高軟件的獨立性與可移植性,本軟件的實現僅在幾何造型方面依賴于UG 而其他子模塊又盡可能地獨立于UG,如用戶界面模塊、數據管理模塊、計算仿真模塊、后處理顯示模塊等.這種設計可使軟件僅需對幾何接口模塊做部分修改就能移植到其他CAD 軟件中.

2)減少與CAD 軟件接口函數的交互.由于CAD 軟件一般都提供二次開發的接口函數,因而可以直接獲取到CAD 模型的幾何數據,然而這些接口函數在調用時相當于一個黑匣子,頻繁的交互會增加進程間的通訊頻度,使得數據管理難度增加,影響計算效率.因此可以通過讀取原始CAD 模型的B-Rep 數據來構建用于CAE 分析的B-Rep 數據,并且對參數曲線與參數曲面進行自定義解析,從而實現與CAD 系統的解耦.

3)采用微軟基礎庫(Microsoft foundation classes,MFC)設計軟件的用戶交互界面,避免使用CAD 軟件提供的用戶界面設計工具.因為CAD軟件提供的用戶界面設計工具提供的界面設計功能沒有MFC 的豐富全面且不利于軟件移植到其他CAD 軟件中.

4)軟件中的各個模塊應盡量相對獨立,且每個模塊要能在不修改源代碼的情況下實現擴展.為各模塊和子模塊設計C++類并進行獨立封裝,使用繼承機制與合成機制實現各模塊類的功能擴展.如果一個類需要調用另一個類可以通過設計第三方類進行類與類之間的數據傳遞.完整實體CAE 分析軟件整體框架如圖3 所示.

本文提出了一種基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復方法,與傳統基于連續曲面的拓撲修復方法相比,基于T-Spline 比基于NURBS 進行拓撲修復最大優點在于允許T 型節點的存在,在保證同等幾何精度的前提下,減少不必要曲面數據存儲,而且不受拓撲限制.與傳統基于離散曲面的拓撲修復方法相比,基于T-Spline 拓撲修復的模型表征幾何精度高,可滿足高精度的數值模擬,且存儲數據量大幅降低.本文方法可對具有幾何“噪聲”和細小特征的復雜結構進行全自動拓撲修復操作,成功解決了CAD 幾何模型中存在的短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及尖銳特征等常見的不必要幾何特征,利用新生成的“虛邊”、“虛面”處理幾何“噪聲”,同時重構CAD 幾何模型的B-Rep,在一定程度上可以明顯改善網格生成的質量,降低網格的生成規模,進而有利于減小計算規模,縮短計算時間,提高CAE 分析計算的精確性和可靠性.分析軟件界面如圖4 所示.

1 NURBS 和T-Spline

樣條理論和方法的建立為自由曲線曲面造型研究提供了重要的理論依據和技術工具.NURBS 以其優異特性而廣泛應用于CAD 造型和CAE 分析中,如非負性、單位分解性、凸包性、緊支性、靈活的連續性以及保型的p 細分(升階)或h 細分(插入節點)等.但是NURBS 曲面受到張量積的拓撲限制,使得NURBS 曲面在造型中控制點冗余.此外,在創建復雜幾何模型時,裁剪曲面往往是造型中一個很重要的操作,在裁剪區域曲面交界處不可避免會產生縫隙,從而破壞幾何模型曲面與曲面直接的連續性.為了克服NURBS 的固有缺陷,文獻[11]提出一種新的樣條T-Spline,即T-Spline 控制網格中允許T 型控制點存在的樣條曲線曲面.T-Spline是在NURBS 的基礎上推廣和發展的,它突破了傳統的B 樣條曲面控制網格必須滿足的拓撲限制的局限,可以有效消除冗余的控制點,而且在曲面拼接、曲面加細、曲面簡化等方面具有獨到之處.在一維空間,T-Spline 曲線與NURBS 曲線基本是一致的.在二維和三維空間,T-Spline 的控制網格中允許存在T 型控制點,且在保證幾何造型準確度的前提下,可有效減少不必要的控制點,減少曲面解析存儲的數據量.二者的區別如圖5 所示.

圖3 完整實體CAE 分析軟件整體框架Fig.3 The software framework of center for complete solid analysis software for engineering structures

圖4 完整實體CAE 分析軟件界面Fig.4 The software interface of center for complete solid analysis software for engineering structures

圖5 NURBS 與T-Spline 區別Fig.5 The difference between NURBS and T-Spline

一條p次NURBS 或T-Spline 曲線定義為

其中,Pi是控制點,ωi是權因子,Ni,p(u)是定義在非均勻節點矢量U上的p次樣條基函數.

基于De Boor-Cox 遞歸公式,第i個p次樣條基函數Ni,p(u)定義如下:

一張在u方向p次、v方向q次的NURBS 或T-Spline 曲面定義為

其中,Pi,j是控制點,ωi,j是權因子,Ni,p(u)和Nj,q(v)分別是定義在非均勻節點矢量U和V上的非有理樣條基函數Ni,p(u)和Nj,q(v),定義同上.

2 非理想幾何特征分類、識別及拓撲修復

全自動幾何拓撲修復是CAE 分析前處理過程中一個非常復雜的關鍵問題.本文將幾何模型的BRep 中存在的短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及細小曲面、尖銳特征等常見幾何噪聲統稱為非理想幾何特征.圖6 和圖7 顯示了鋼架焊縫和汽車橋殼模型的幾何噪聲.在實體建模中,復雜工程模型的設計往往需要大量的布爾操作以及幾何造型的系統誤差,由此在模型結構中存在大量的裁剪曲面,且曲面之間在邊界交界處不滿足C2連續.由于在CAD 幾何模型中存在大量的短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及尖銳特征等幾何特征,這些不理想的幾何特征成為網格全自動化生成及CAE 全自動分析計算發展過程中的重要瓶頸和亟待解決的重要問題之一.本文提出的基于TSpline 全自動幾何拓撲修復方法主要用于處理非連續光滑邊界和一般非理想幾何特征,也可適用于退化邊、短邊、退化面或窄面的處理.對于退化邊、短邊、退化面或窄面的處理,可采用T-Spline 對相應邊或面進行擬合重構操作,但是鑒于退化邊、短邊、退化面和窄面的特殊性(長度比或面積比與鄰邊或鄰面相差懸殊的孤立單邊或孤立單面),從保證CAD模型不失真的前提和簡化計算的角度出發,采用特征簡化的方法更有優勢且效率更高.

圖6 鋼架焊縫模型中常見的幾何噪聲Fig.6 Geometric noises of weld in the steel frame

圖7 汽車橋殼模型中常見的幾何噪聲Fig.7 Geometric noises in the automobile axle housing

從高質量網格生成的角度來審視CAD 模型幾何拓撲修復問題,本文歸納了4 類影響最終網格單元質量的曲面特征,分類如下:

1)退化邊或短邊.本文定義的退化邊和短邊為與鄰近連接邊長度比相差懸殊的孤立單邊,如圖8(a),模型中含有退化邊,且退化邊的長度遠小于網格生成時指定的最小長度lmin,在退化邊或短邊附近生成的網格會局部加密或生成質量較差的狹長網格單元.為了保證幾何拓撲的連續性,通過將其合并到與之相鄰的曲線,或為了減少計算量,將其視為一個虛點可避免這一問題,如圖9 所示.

圖8 CAD 模型中常見的非理想幾何特征Fig.8 Nonideal geometric features in CAD model

2)退化面或窄面.本文定義的退化面和窄面為與其鄰近連接面面積比相差懸殊的孤立單面,如圖8(b),模型中含有退化面,且該曲面的面積小于網格生成時指定的最小單元面積Smin,在退化面或窄面附近生成的網格會局部加密,甚至生成網格失敗.為了保證幾何拓撲的連續性,通過將其合并到與之相鄰的曲面,或為了減少計算量,將其視為一條虛邊可避免這一問題,如圖9 所示.

3)非連續光滑邊界.如圖8(c),曲面1 和曲面2的邊界交接處之間存在非連續的細小短邊(高亮顯示),網格生成首先需要對幾何模型進行邊界離散,在進行邊離散的同時需要考慮邊的曲率、長度等因素,由于這些細小短邊的存在會導致邊離散效果不理想,其間會產生狹長單元,生成網格質量不理想或者甚至生成網格失敗.通過對這些細小短邊重新參數化,并按照弦長比進行二叉樹細分,在這些細小短邊上進行型值點采樣,從而達到自適應合理布置樣點的目的.利用T-Spline 曲線重新擬合這些細小短邊,生成一條新的虛邊替代原有的非連續光滑邊界,如圖10 所示.

圖9 退化邊、退化面的處理Fig.9 Topology recovery for degenerated edges and degenerated faces

圖10 非連續光滑邊界的處理Fig.10 Topology recovery for fragmentary smooth boundary edges

4)一般非理想幾何特征.如圖8(d),在幾何模型的B-Rep 中存在細小曲面、尖銳特征、細縫等曲面特征,這些幾何特征的局部尺寸小于網格生成時指定的最小特征尺寸,在這些幾何特征附近網格會局部加密,導致生成網格數量的量級增加.通過基于T-Spline 曲面的全自動幾何拓撲修復方法可避免這一問題.由于一般非理想幾何特征的拓撲修復較為復雜,對這一部分算法我們著重進行描述.

3 基于T-Spline 全自動幾何拓撲修復

本文基于T-Spline 全自動幾何拓撲修復算法,實現對復雜CAD 幾何模型中非理想幾何特征的自動識別、曲面探測及T-Spline 曲面重構的全自動幾何拓撲修復,主要算法流程如下:

為了快速高效全自動進行幾何拓撲修復,首先對目標特征進行自動識別,并將自動探測的一般非理想幾何特征進行Delaunay 三角化和曲面重新參數化,從而為后序曲面擬合操作提供統一的參數空間.然后在重新參數化的T-Spline 曲面參數空間通過四叉樹生成T-網格,并構建T-網格–散點–原幾何曲面的映射機制.在T-Spline 曲面擬合操作過程中,所有的幾何數據(如坐標、切向量等)都是直接基于原幾何曲面進行計算,避免幾何誤差對擬合結果產生不良影響.

3.1 一般非理想幾何特征的自動識別

對于一般非理想幾何特征的識別,首先對需要進行拓撲修復的CAD 模型特征進行分塊,每個塊由它包含的曲面片和域邊界組成.域邊界是首尾相連的域頂點序列和邊組成的環,域邊界可表示任意復雜的塊的拓撲,一個塊可以由多個環構成.本文采用基于面的邊界擴展生長法[12]將需要重整的曲面片連接成塊狀(如圖11 所示).在自動識別過程中,將極小面片、狹長面片等小特征曲面作為“種子面片”,塊的生長過程就是從邊界的起始邊出發,以當前面片與相鄰面片在公共邊界處的光滑度和面片幾何中心處的法矢夾角為判斷準則并分別給定一合適閾值(如圖12 所示).若滿足準則,則該邊為其相鄰域面的共邊界,則將相鄰面片加入塊中,并對原有塊的拓撲結構進行編輯(如域頂點的編輯、域邊的合并等),更新域頂點和域邊的鄰面和連接邊信息并修改上一步的原始邊界;若不滿足準則,則遍歷下一條邊,直到所有邊界搜尋結束.最終連接成塊的曲面集擁有一個外邊界,允許存在多個內邊界,而且邊界可以是任意形狀.該算法對任意拓撲的幾何模型均可實施,適應性好,且具有良好的魯棒性,如圖13 所示.

圖11 基于面的邊界擴展生長法示意圖Fig.11 The seeded region growing algorithm images

圖12 基于相鄰面片間公共邊界處的光滑度和幾何中心處的法矢夾角判斷準則示意圖Fig.12 The judgment criteria for seeded region growing algorithm images

圖13 一般非理想幾何特征的自動識別Fig.13 Automatic identification for nonideal geometric features

1)域頂點的編輯

對域頂點的編輯操作包括刪除、合并等.刪除算法指當域頂點只有兩個相鄰邊時,可以刪除該域頂點,將兩個鄰邊合并成一個域邊;當該域頂點有三條及三條以上的相鄰邊時,則該域頂點至少為三個域面的公共點,則不對這類域頂點進行刪除操作.合并算法指域頂點可以與其共域邊的其他域頂點進行合并,合并的結果是刪除當前域頂點和共域邊.

2)域邊的合并和優化

在塊邊界交接處有時會存在非連續的細小短邊,且相鄰邊連接光滑,則將塊邊界上的這些細小短邊重新擬合生成一條新邊,并更新塊邊界的拓撲信息,如前述對非連續光滑邊界的處理.

3.2 一般非理想幾何特征的Delaunay 三角化

本文在傳統Delaunay 三角剖分的基礎上改進了一種高效增量插點算法和三角形單元的快速定位搜索算法.Delaunay 三角化[13]方法具有良好的數學理論支撐,且具有算法效率高和生成網格質量好等優點,在不同領域得到廣泛的研究和應用.由于平面Delaunay 三角化算法只適用于體網格的生成,不能直接應用于三維曲面面網格生成,本文采用Delaunay 三角化算法在曲面的參數空間生成三角形網格,然后引入黎曼度量將參數三角網映射到三維空間得到三維曲面面網格.在Delaunay 三角化方法中,點的插入占用了絕大部分的運行時間,因此,插點算法的優劣會對Delaunay 網格生成效率產生直接影響.Delaunay 三角剖分的重要特性及三角化過程如圖14 和圖15 所示.

圖14 Delaunay 三角剖分的重要特性Fig.14 The most important characteristic of Delaunay triangulation

圖15 Delaunay 三角化過程Fig.15 The process of Delaunay triangulation

本文改進的高效B-W 增量插點算法步驟如下:

1)建立初始網格.構建一個包含所有樣本點的矩形,并將矩形初始劃分為兩個三角形.

2)插入新點,定位基單元.逐個插入新點,插入新點后使用點的快速定位算法(后面詳述)確定該點所在的三角形作為基單元.

3)生成空腔.由空外接圓特性,利用基單元搜索找出所有包含P 點的全部三角形,將當前這些三角形刪除,形成多邊形空腔.

4)生成新單元.形成有效的空腔后,將插入點依次與多邊形空腔邊界連接,形成新單元,建立點–邊–單元之間的拓撲關系,將新生成的單元加入三角網.

5)重復上述步驟,直到所有的節點全部插入為止.

3.2.1 基單元的快速定位

快速定位出任意給定點位于哪一個三角形的算法是Delaunay 三角化的關鍵.由于這一過程頻繁地在網格生成中執行,因此當三角形數目很大時,點的搜索算法將直接影響程序的執行效率.

本文中的K-d 樹采用二叉樹的數據結構[14],對目標點或基單元進行快速搜索,如圖16 所示.在二叉樹中,樹節點及其鄰近節點區域搜索的時間復雜度為O(logn).以參數空間的離散三角網作為背景網格,借助三角形重心數目作為細分規則生成二叉樹,建立網格–散點–參數三角網的映射機制,提高目標點或基單元的搜索效率.

圖16 基于三角形重心構建的K-d 樹Fig.16 Construct the K-d tree based on triangle center

3.2.2 臨近單元的快速搜索

基單元確定后,需對所有被插入點打破空外接圓特性的三角形進行快速搜索.本文改進了一種根據點邊關系的快速方向定位算法,該方法可以迅速地定位當前插入點位于三角網中的哪一個三角形內部,并在一定程度上提高程序的執行效率,如圖17所示.主要算法步驟如下:

1)在給定點附近快速找到一個三角形,作為初始三角形,即基單元;

2)從基單元開始,根據三角形的面積坐標進行快速搜索,并對包含給定點的所有臨近三角形進行快速定位,直至搜索到目標三角形.

圖17 臨近單元的搜索路徑Fig.17 The search path for finding the target triangle

3.2.3 改進目標單元快速定位搜索算法效率

為說明本文改進高效增量插點算法和三角形單元的快速定位搜索算法效率明顯優于傳統搜索算法,本文通過如圖18 所示幾何模型進行驗證.首先在幾何模型的參數空間生成Delaunay 三角網,并基于參數空間的三角形重心構建K-d 樹.然后,在其參數空間進行隨機布點,通過調用C++系統庫函數中的隨機函數rand(),將隨機函數的最大值randmax()設定為106,并將產生的隨機點規則化到限定的坐標范圍內,調用UG 二次開發函數UF MODL ask point containment(),將不在面上的點(圓孔內部的點)進行剔除,據統計共產生了628 611 個面上的點.表1 給出了分別采用傳統方法和本文改進算法的搜索時間對比數據.

圖18 驗證改進目標單元快速搜索算法效率算例Fig.18 An example to verify the efficiency of target cell searching algorithm

表1 本文改進快速搜索方法與傳統搜索方法數據對比Table 1 Comparison between traditional method and our method

3.3 Delaunay 三角化網格曲面的重新參數化

為了快速高效地重建T-Spline 曲面,對Delaunay 三角化網格曲面進行參數化處理,即對自動探測到要處理的非理想幾何特征重新參數化得到一個統一的參數空間,且最大程度地保持曲面幾何度量(如長度、面積、角度)在映射過程中不發生畸變,如圖19 所示.

圖19 Delaunay 三角網格曲面的重新參數化Fig.19 Reparameterization of Delaunay triangulation

本文在最小二乘法保形映射(Least squares conformal maps,LSCM)[15]方法理論基礎上,通過利用Delaunay 三角化網格曲面的每個三角面片的線性函數去逼近Cauchy-Riemann 方程,通過建立二次逼近誤差函數求得在最小二乘意義下的整體的線性擬共形映射,求得三角網格上各個頂點對應的參數值,達到非理想幾何特征曲面數據的參數化,為實現T-Spline 曲面重建做準備.LSCM 方法是一種保形的參數化方法,既可以實現保角映射又可以實現保面積映射,如圖20 所示.

本文對Delaunay 三角化網格曲面ST=[V,E,T]的每個三角面片建立局部坐標系,其頂點的局部坐標為Zi=(xi,yi),i=1,2,3.已知該三角網格有N個頂點、n個三角面片.設S是其對應參數曲面的方程,則Pi=S(ui,vi),則S的逆映射:U:(x,y,z)→(u,v,0).

圖20 三角網格的映射示意圖Fig.20 Reparameterization map for a triangle

在每個三角面片上滿足柯西–黎曼方程,即

定義目標保角能量函數為

將所有三角形面片上的能量相加,所得的最終能量方程為

其中,i表示第i個三角形,1,2,3 表示該三角形的局部標號;Q表示R3空間三角形面片頂點局部坐標關系式,U表示R2空間三角形面片頂點局部坐標關系式;Mi是投影在Z=0 上的Z1,Z2,Z3組成對應三角形面積的2 倍.

以三角形①為例,Q1,1,Q1,2,Q1,3表示R3空間三角形①頂點(xj,yj)局部坐標關系式(復數形式),u1,1,u1,2,u1,3表示R2空間三角形②頂點(uj,vj)局部坐標關系式(復數形式).

在參數空間至少選取兩個基準點作為已知點,即可求解上述Cauchy-Riemann 方程.為最大程度實現高質量的網格曲面重新參數化且保持幾何度量在映射過程中不發生畸變,本文選取兩個點作為已知點,令u1=x1,v1=y1;u2=x2,v2=y2;則在參數空間還有N ?2 個頂點的參數值待求,令Q=(QN)=(QN?2,Q2)為n×N矩陣,n表示三角形個數,N表示所有三角形頂點個數.

其中,qi,j表示第i個三角形第j個頂點關系式值.

為了使目標函數最小,則

其中,上標r 代表復數的實部,i 代表復數的虛部.

對各個矩陣組裝完成后對x進行求解,即可得到參數空間各個頂點對應的參數坐標(uj,vj).

3.4 自適應T-Spline 曲面重建算法

本文將T-Spline 和移動最小二乘法(Moving least square,MLS)或徑向基函數(Radial basis function,RBF)相結合,提出了一種新的自適應TSpline 曲面重建算法,實現對復雜CAD 幾何模型中一般非理想幾何特征的全自動幾何拓撲修復.與NURBS 曲面相比,T-Spline 曲面允許T 型節點出現,本身具備局部自適應剖分能力,重建曲面能滿足任意規定的精度,具有自適應性,并且無需專門的曲面簡化的過程,能處理任意拓撲網格,重建過程易操作,重建曲面品質高.由于雙三次T-Spline 曲面在工程實際中廣泛應用,本文采用雙三次T-Spline 曲面.

一般來說,自適應T-Spline 曲面重建流程如圖21 所示.首先由Delaunay 三角網格曲面的重新參數化將采樣點映射到參數空間,然后利用四叉樹或二叉樹細分的方法在曲面參數空間自動生成有效的T-網格,最后求解相應控制點,同時在誤差較大區域進行局部修正,使擬合誤差滿足要求.重建實例及擬合曲面誤差評價數據如圖22 及表2 所示.

表2 自適應T-Spline 擬合曲面誤差及網格質量評價Table 2 Relevant experimental data of T-Spline fitting for automatic surface reconstruction

3.4.1 T-網格的構造

在進行T-Spline 曲面重建[16]時,核心問題在于如何構造合理高效的T-網格.一個完整的T-網格包括相應的控制頂點、T-網格子面、網格邊和相應的邊權值.本文在二維參數空間上利用四叉樹細分構造T-網格,細分準則根據點的密集程度和曲面曲率大小決定相應細分次數來決定.T-Spline 網格邊及對應的節點間距滿足以下規則:

規則1.在T-網格的任意一個子面中,相對的邊的節點間距之和必須相等.

圖21 自適應T-Spline 曲面重建流程Fig.21 The flowchart of automatic T-Spline surface reconstruction algorithm

圖22 自適應T-Spline 曲面重建實例Fig.22 An example of automatic T-Spline surface reconstruction algorithm

規則2.在T-網格中,位于一個子面一條邊上的T-交點,如果可以與對邊的T-交點相連而不違背規則1,那么該邊就包含于T-網格中.

自適應T-網格的構造過程如下:

1)定義最大細分次數以控制細分四邊塊數量;

2)定義葉子采樣點數目閾值或曲面曲率細分終止條件;

3)重復上述步驟,直到滿足細分終止條件為止;

4)在T-網格最外層添加重節點和相應虛邊,在重節點處添加相應邊界條件(包括切矢和扭矢邊界條件),虛邊賦予一非負值(一般置0)即可;

5)T-網格創建后,T-網格邊賦予邊權值(節點間距),并對T-網格中各個頂點創建相應節點矢量,確定相應基函數.

3.4.2 T-Spline 曲面擬合算法

設P={p0,p1,p2,···,pn}為T-網格中待求的控制頂點集,Bi(u,v)是由T-網格的節點矢量確定的相應基函數.

定義T-Spline 曲面為

光順項

重建曲面的目標就是在使E最小化時,令待求控制點Pi的坐標(xi,yi,zi)為X、原始曲面樣點Sk的坐標(xk,yk,zk)為b,則上式等價于求解線性方程組AX=b.AX=b兩邊同乘AT后,等價于求解方程組ATAX=ATb,矩陣A=(aki)=(Bi(uk,vk)).

根據實驗經驗,σ一般取值在0.01～0.1 之間,本文取值0.05.其中Auu,Auv,Avv的元素分別為基函數的二階偏導解此方程組可得到相應T-Spline 曲面所有的控制頂點集P,進而得到T-Spline 曲面.

3.4.3 T-Spline 局部節點插入算法

在重建曲面誤差檢測過程中,對于某局部區域誤差大于給定閾值的型值點,需要將其對應的局部區域進行節點插入[17],形成新的T 網格.此過程利用T-Spline 曲面擬合算法中求解得到的控制點,重新計算局部節點插入后相應的控制點,不再對曲面進行大規模反算,大大減少計算量,提高算法效率.算法的具體步驟如下:

1)誤差檢測.對于一給定的容許誤差ε>0,若原始曲面上一點與T-樣條曲面的距離d(pi,S)>ε,則找出pi對應的T-樣條曲面區域作為待優化區域.

2)對步驟1)確定的T-網格區域插入新節點.

3)找出插入T-網格節點后基函數改變的控制頂點區域,利用節點插入公式重新計算插入節點后對應的相應控制點.

4)重新分配擬合數據.將求解所得控制點P 賦值到T-網格中.

5)單步優化結束后,需要再對誤差進行評價,直到擬合精度滿足要求,中止迭代優化.

T-Spline 局部節點插入算法的一個實例及擬合曲面誤差評價數據如圖23 及表3 所示.

3.4.4 任意自由邊界或含空洞的一般非理想幾何特征曲面擬合

對于任意自由邊界或含空洞的一般非理想幾何特征,傳統方法通常將任意自由邊界曲面在重新參數化過程中通過固定邊界為正方形或其他形狀作為T-Spline 擬合的參數空間,如圖24 所示,但不可避免地會產生長度、面積、角度上的扭曲變形,擬合曲面的幾何度量在映射過程中發生畸變.與傳統方法相比,本文將T-Spline 與散亂點擬合算法MLS 或RBF 相結合[18],提出了一種新的自適應T-Spline曲面重建算法,在使擬合T-Spline 曲面最大程度地保持原始子曲面的幾何度量的同時,提高全自動幾何拓撲修復效率,實現對任意自由邊界或含空洞的一般非理想幾何特征的全自動曲面重構,重建實例及擬合曲面誤差評價數據如圖25 及表4 所示.

圖23 T-Spline 局部節點插入算法實例Fig.23 An example of T-Spline local refinement algorithm

表3 T-Spline 局部節點插入算法擬合曲面誤差及網格質量評價Table 3 Relevant experimental data of T-Spline fitting by the local refinement algorithm

表4 任意自由邊界非理想幾何特征的擬合曲面誤差及網格質量評價Table 4 Relevant experimental data of T-Spline fitting for nonideal geometric features with arbitrary boundary

圖24 任意自由邊界或含空洞的非理想幾何特征Fig.24 Nonideal geometric features with complex boundary or holes

圖25 任意自由邊界的非理想幾何特征自動修復Fig.25 Topology recovery for nonideal geometric features with arbitrary boundary

對于任意自由邊界或含空洞的一般非理想幾何特征,本文仍采用自由邊界的重新參數化,最大程度地保持曲面的幾何度量在映射過程中不發生畸變.在曲面采樣時,對于落在原始子曲面內的型值點,為保證求解精度,通過映射關系直接通過原始子曲面幾何信息求得;對于落在原始子曲面外和空洞內的型值點,利用散亂點擬合算法計算相應的型值點,再進行T-Spline 曲面擬合即可.

3.4.5 擬合T-Spline 曲面的誤差及網格質量評價

對一般非理想幾何特征進行T-Spline 曲面擬合處理后,需要對曲面擬合效果進行誤差評價.若曲面擬合精度滿足要求,則中止迭代優化;反之,對于不滿足擬合精度要求對應區域的控制網格則需要自適應剖分加密,實現對局部細小特征逼近和表征.本文采用最大擬合誤差和均方差擬合誤差作為誤差評價標準.另外,網格的生成質量從側面也可以反映擬合T-Spline 曲面的好壞,高質量曲面網格有利于提高CAE 分析的計算精度,本文采用網格質量因子對擬合T-Spline 曲面的網格生成質量進行評價.

最大擬合誤差和均方差擬合誤差的計算如下:

其中,pi為T-Spline 曲面上的點,Si為原始曲面上的點.

三角形的質量α因子[19]定義如下:

其中,α是三角形的面積與邊長的平方和之比,0<α≤1,α越大表示質量越好.

四邊形的質量因子[20]定義如下:

令四個三角形?ABC,?ABD,?CDB,?CDA的因子依次為α1,α2,α3,α4,假設α1≥α2≥α3≥α4,則四邊形ABCD的質量因子β定義為

其中,0<β≤1,β越大表示四邊形質量越好.

三角形及四邊形網格的質量因子如圖26 所示.

圖26 三角形及四邊形網格的質量因子Fig.26 The quality factor of triangular and quadrilateral mesh generation

4 全自動幾何拓撲修復及網格生成實例

本文利用一種基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復方法,對具有幾何噪聲和細小特征的復雜結構(如汽車橋殼模型、鋼架模型等)進行全自動幾何拓撲修復,成功處理了幾何模型中存在的短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及尖銳特征等常見的不必要幾何特征,擬合T-Spline 曲面的精度滿足要求,網格生成的質量良好,降低了網格的生成規模,并成功運用到實際應用中解決工程問題.表5～8 以及圖27 和圖28 是兩個基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復及網格生成的實例,從中可以看出,本文算法的可行性及優越性,

圖27 汽車橋殼模型全自動幾何拓撲修復Fig.27 The results of automobile axle housing model after automatic topology recovery

5 結論

從上述實例可知,本文提出的基于T-Spline 的全自動幾何拓撲修復方法在實際應用中具有可行性,相比其他幾何拓撲修復方法[21?24],本文提出的方法具有以下特點:

圖28 鋼架焊縫模型全自動幾何拓撲修復Fig.28 The results of steel frame model after automatic topology recovery

1)本文基于T-Spline 全自動幾何拓撲修復算法,實現對復雜CAD 幾何模型中非理想幾何特征的自動識別、曲面探測及T-Spline 曲面重構的全自動幾何拓撲修復.對于幾何模型中存在的短邊、窄面、退化邊、退化面、非連續光滑邊界及尖銳特征等常見的不必要幾何特征,本文的全自動幾何拓撲修復算法具有通用性和可行性.

2)開發了一套新的CAD/CAE 集成系統,統一了幾何模型與分析模型,所有操作在同一環境下進行,避免了不同系統之間轉換造成的幾何數據及拓撲信息丟失,實現CAE 與CAD 兩者的無縫集成.

表5 汽車橋殼模型擬合曲面誤差及網格質量評價Table 5 Relevant experimental data of T-Spline fitting for automobile axle housing model

表6 汽車橋殼模型拓撲修復前后數據對比Table 6 Relevant experimental data of automatic topology recovery for automobile axle housing model

表7 鋼架焊縫模型擬合曲面誤差及網格質量評價Table 7 Relevant experimental data of T-Spline fitting for steel frame model

表8 鋼架模型拓撲修復前后數據對比Table 8 Relevant experimental data of automatic topology recovery method for steel frame model

3)本文算法的所有操作均為虛操作,不修改原始幾何模型,且擬合的T-Spline 曲線、曲面具有自適應性且滿足擬合精度要求.

4)本文基于T-Spline 全自動幾何拓撲修復算法,利用新生成的虛邊、虛面處理幾何噪聲,同時重構CAD 幾何模型的B-Rep,在一定程度上可以明顯改善網格生成的質量,降低網格的生成規模,進而有利于減小計算規模,縮短計算時間,提高基于邊界面法CAE 分析計算的精確性和可靠性.