一種半主動動力吸振器參數優化及性能比較

郎 君， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

動力吸振器(Dynamic Vibration Absorber，DVA)是一種加裝在主系統上控制振動的吸振裝置。自1909年Frahm[1]發明DVA以來，動力吸振器經歷過一百多年發展，不斷優化改進，如今在高大建筑、橋梁、機械設備、交通工具等諸多領域有著廣泛應用。動力吸振器經歷了被動控制、半主動控制、主動控制三個發展階段。被動式動力吸振器因其結構簡單且可靠性高，目前應用最為廣泛。Ormondroyd等[2]最早提出帶有阻尼的Voigt型動力吸振器，并先后由Hahnkamn[3]和Brock[4]給出該模型最優頻率比和最優阻尼比公式。Asami等[5-6]提出三要素型動力吸振器，發現在同樣質量比情況下，三要素型動力吸振器要比Voigt型動力吸振器效果更好。Ren[7]提出一種將吸振阻尼接地的新型動力吸振器，王孝然等[8]又將其拓展為彈簧阻尼串聯接地的動力吸振器。研究表明以上兩種動力吸振器吸振效果均優于Asami的三要素型動力吸振器。主動式動力吸振器較被動式動力吸振器多了可調致動器，按控制原理可分為調頻式和非調頻式。調頻式動力吸振器包括磁浮式[9]、電動式[10-13]、電磁彈簧[14-15]等類型。非調頻式動力吸振器包括主動變剛度[16-18]、主動變質量阻尼系統[19-22]和智能材料(如磁流變彈性體)[23]控制等。半主動動力吸振器是將吸振器的結構剛度或者阻尼進行實時調節以改善主系統振動的吸振器。依據控制原理，可分為變剛度式動力吸振器和變阻尼式動力吸振器。Brennan[24]設計了一種變剛度空氣彈簧動力吸振器。Williams等[25-26]設計了一種變剛度記憶合金動力吸振器。

近年來，學者對半主動控制策略研究也有很大進展。Liu等[27]提出基于“天棚”系統的Continuous Skyhook、On-off Skyhook、Continuous Balance和On-off Balance四種半主動變阻尼控制策略。Koo等[28]為抑制建筑結構振動，提出了兩種半主動變阻尼吸振控制策略——半主動開關速度-速度控制(Velocity-based on-off ground-hook control，On-off VBG)策略和半主動開關位移-速度控制(Displacement-based on-off ground-hook control，On-off DBG)策略。

本文將Koo的兩種離散半主動控制策略，半主動開關速度-速度控制(On-off VBG)策略和半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略，應用到Voigt型吸振器中。首先，建立系統模型，確定參數取值范圍。然后，對兩種半主動控制吸振系統進行參數優化和參數影響性分析。最后，引入隨機激勵對不同類型吸振器進行吸振效果對比。結果顯示半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略下主系統位移方差最小。驗證了半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略的有效性。

1 動力吸振器模型及系統基本參數

將傳統Voigt模型(圖1(a))進行改進，得到半主動變阻尼式動力吸振器(圖1(b))。其中主系統質量為m1，吸振器質量為m2，主系統剛度為k1，吸振器剛度為k2，阻尼器阻尼系數為c2，主系統位移為x1，動力吸振器位移為x2，外加力激勵為F0cos(ωt)。

(a) Voigt型吸振器

系統基本參數如表1。

表1 系統主要參數

半主動控制動力吸振器的阻尼分為On和Off兩個狀態，對應的阻尼分別記做ζ2max，ζ2min。ν是ω2與ω1之比。根據工程實際，半主動On-off控制系統各參數取值范圍如表2。

表2 各參數的初始值及取值范圍

需要說明，表2中各參數取值范圍，雖參照文獻[28]，也按連續形式給出，但本文將各優化參數與被動Voigt型吸振器最優參數聯系起來，使其和傳統Voigt型吸振器參數對比明顯。

2 系統參數優化及效果比較

被動式動力吸振器優化方法有多種，常見的有H2優化和H∞優化，這些優化理論都很成熟。但是，對于半主動控制動力吸振器，優化理論還不完善。目前，只能以實驗或者數值仿真的方式進行優化。本文中通過調節參數，對比不同參數下系統幅頻曲線，找到參數范圍內最優控制效果和對應參數，并對其中的關鍵參數進行特性分析。

根據系統模型，建立系統的動力學方程

(1)

兩種半主動開關控制策略分別表示：半主動開關速度-位移控制(On-off VBG)策略

(2)

半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略

(3)

利用四階龍格-庫塔法對不同控制策略下的系統求解并進行參數優化。參數優化過程中，調整主要參數值，不同控制策略的最終優化結果如圖2所示。結果顯示，兩種半主動控制策略吸振效果有較大差異：半主動開關速度-位移控制(On-off VBG)策略主系統的響應與被動控制效果差異不大；半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略主系統的響應明顯降低。綜合對比兩結果，可以認為半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略能有效降低主系統振動。

圖2中，兩種半主動Voigt型動力吸振器最優吸振效果對應參數，在表3中列出。

半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)控制策略中，有三個參數對優化效果起關鍵作用，它們分別是開

圖2 Voigt模型兩種半主動控制策略與被動控制策略對比

參數On-off VBGOn-off DBGζ2max0.188 3 (1.02ζ2opt)3.692 7 (20ζ2opt)ζ2max0.180 9(0.98ζ2opt)0.036 9 (0.2ζ2opt)ν0.905 5(0.996νopt)0.845 5 (0.93νopt)

狀態阻尼比、關狀態阻尼比和頻率比。下面分別研究三者在半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略下對幅頻曲線的影響(說明：圖6～圖10中參數ζ2max、ζ2min和ν后面的數字均表示為ζopt或νopt的倍數)。

2.1 開狀態阻尼比ζ2max的影響

圖3是開狀態阻尼比ζ2max對幅頻曲線的影響。從圖中可以看出，隨著開狀態阻尼比ζ2max增大，幅頻曲線兩峰下降明顯。對幅頻曲線具體影響總結如下：

圖3 開狀態阻尼比ζ2max影響

(1) 顯著降低幅頻曲線峰值。隨著ζ2max增大，幅頻曲線兩峰P、Q均顯著降低。ζ2max由0.923(5ζopt)增至3.629(20ζopt)，P峰由P1=3.569降到P2=2.547，Q峰由Q1=2.747降到Q2=1.790。

(2) 不影響谷底M。在ζ2max增大過程中，幅頻曲線谷底M未變，即ζ2max變化不影響谷底M。

(3)ζ2max呈非線性降低兩峰值，即在增大相同ζ2max時，ζ2max降低幅頻曲線兩峰能力逐漸減弱。開始時ζ2max由0.923(5ζopt)增至1.846(10ζ2opt)，P、Q兩峰分別降低0.639、0.610；但是當ζ2max由2.769(15ζ2opt)增至20ζ2opt時，P、Q兩峰只分別下降0.150、0.116，后者峰值降低量明顯小于前者。因此，不能為獲得更低峰值而不加限制增大ζ2max值。

2.2 關狀態阻尼比ζ2min的影響

圖4是關狀態阻尼比ζ2min對幅頻曲線的影響。從中可以看出，隨著ζ2min減小，幅頻曲線峰值降低明顯。具體影響總結如下。

圖4 關狀態阻尼比ζ2min影響

(1) 顯著降低幅頻曲線峰值。隨著ζ2min減小，幅頻曲線兩峰P、Q降低明顯。ζ2min由0.148(0.8ζopt)降至0.037(0.2ζopt)，P峰由P1=3.744降至P2=2.541，Q峰由Q1=3.211降至Q2=1.790。ζ2min與ζ2max特性正好相反。

(2) 明顯影響谷底M。系統處在大阻尼狀態時(ζ2max=3.692 7和ζ2min=0.184 6)，兩峰匯聚到一起，影響半主動動力吸振器性能。隨著ζ2min減小，谷底M迅速降低，降低兩峰同時也加大兩峰的間距。這間接增大了系統有效工作帶寬，對系統穩定性有很好的提升。

(3) 過小ζ2min會引起系統不穩定振動。雖然已知降低ζ2min能有效降低谷底M，但ζ2min過小，會使幅頻曲線在谷底產生突變尖峰，發生不穩定振動(如圖5)，這對機械設備會產生嚴重損害。因此，不能為追求低峰值而不加限制的降低ζ2min值。本系統中，半主動Voigt型動力吸振器的ζ2min不能低于0.037 (0.2ζ2-Off)。

2.3 頻率比ν的影響

圖6是頻率比ν變化對幅頻曲線的影響。選取不用頻率比ν，分析其對幅頻曲線的影響。

從圖中可以看出頻率比ν對幅頻曲線的影響：

(1) 有效降低兩峰，且對兩峰作用相反。隨頻率比ν增大，P峰由P1=2.235增至P2=2.547。Q峰由Q1=2.335降至Q2=1.790。正是頻率比ν對P、Q兩峰相反作用，使得我們能找到系統最優幅頻曲線。

圖5 ζ2min過小引起不穩定振動

圖6 頻率比ν影響

(2) 輕微影響谷底M。隨頻率比ν增大，谷底值變化小于0.2，對谷底影響輕微。同時，P、Q兩峰橫向間距0.44～0.45之間，對系統有效穩定帶寬影響也不大。

2.4 三個參數綜合作用最優結果

根據三個關鍵對幅頻曲線的影響特性，利用數值法可以獲得系統的最優控制幅頻曲線。不同參數值下半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)控制Voigt型吸振器的最優幅頻曲線，如圖7所示。參數范圍內，系統最優幅頻曲線的P峰為2.247，Q峰為2.216(參數：ζ2max=20ζopt，ζ2min=0.2ζopt，ν=0.93νopt)。

圖7 不同參數下半主動On-off DBG最優控制效果

3 系統隨機激勵下的響應

在實際工程中，建筑結構受到的外力多以隨機激勵為主，因此對振動系統進行隨機激勵響應研究具有實際意義。除上文中提到的兩種振動模型，還引入不含吸振器的單自由度系統和被動Voigt型動力吸振系統作對比。通過對比不同模型的隨機激勵響應，比較各吸振器的減振性能。

選取50 s的均值為0方差為1的隨機激勵，其時間歷程如圖8。系統參數按照表1～表3中選取。圖9為不含吸振器主系統時間歷程，圖10為被動Voigt型吸振器主系統時間歷程，圖11為半主動開關速度-位移控制(On-off VBG)策略Voigt型吸振器主系統時間歷程，圖12為半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略Voigt型吸振器主系統時間歷程。

圖8 隨機激勵

圖9 不含吸振器的主系統時間歷程

圖10 被動Voigt型吸振器的主系統時間歷程

結合不同類型的吸振器主系統時間歷程(圖9～圖12)及表4，可以看出半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略吸振器對主系統的減振效果要明顯優于其它類型動力吸振器。其主系統位移方差衰減率達到91.07%，減振效果顯著。因此，半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)策略Voigt型吸振器優于其他類型動力吸振器。

圖11 半主動開關速度-位移控制(On-off VBG)吸振器主系統時間歷程

Fig.11 The time history of the primary system with dynamic vibration absorber under semi-active On-off VBG strategy

圖12 半主動開關位移-位移控制(On-off DBG)吸振器主系統時間歷程

Fig.12 The time history of the primary system with dynamic vibration absorber under semi-active On-off DBG strategy

表4 主系統位移方差及衰減率

4 結 論

論文將兩種半主動開關控制策略應用到Voigt型動力吸振器中，確定了半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略的有效性。其次，對影響半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略的3個關鍵參數：開狀態阻尼比、關狀態阻尼比和頻率比進行了特性研究，找到了在參數允許變化范圍內具有最優控制效果的參數值。由于目前條件所限，不能實現本論文中提出的實驗模型驗證，故而采用隨機激勵間接驗證模型的半主動控制吸振效果。在隨機激勵吸振效果驗證中，不同控制策略下吸振器的隨機激勵響應不盡相同，發現半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略的主系統位移響應方差值最小。可以認為半主動開關位移-速度控制(On-off DBG)策略是一種有效的半主動控制策略。關于模型吸振效果的實際驗證，將是后續工作中的研究重點。