計及聲子輔助躍遷的單量子點中的非線性法拉第偏轉

佘彥超， 張蔚曦， 李 勇， 肖政國

(銅仁學院物理與電子工程系, 銅仁 554300)

1 引 言

法拉第偏轉是在光學通訊、數據存儲、光學非互易器件(如光學隔離器、光學循環器、相位調制器等)具有廣泛應用的一種磁光效應[1-5]. 在塊體光學材料中，這一效應非常微弱. 而對于現代光子學或者微納光子學而言，實現可產生較大的磁致旋光偏轉角且能高度集成的法拉第偏轉器件或材料成為必須. 近年來, 對磁光特性的研究日益深入, 如超冷原子氣，石墨烯超分子材料(graphene metamolecules)，全介質磁光超表面材料(all-dielectric magneto-optical metasurfaces)，半導體量子材料等新的磁光材料不斷被發現[6-11]. 基于電磁感應透明效應，Hang等[12]研究了M型五能級冷原子系統中的法拉第偏轉. Zhu等[13]研究了在相干驅動的四能級活性拉曼增益介質中的線性和非線性法拉第效應. 這些研究都是基于冷原子系統而展開的, 由于其低溫、稀薄等缺陷, 難以在器件微型化設計中廣泛應用. 而半導體量子點(SQD)具有類似超冷原子的分立能級結構、較大的電偶極矩、較長的退相干時間, 同時其相干演化可控、易于集成等優勢, 在光量子信息通信中具有廣泛的應用潛力, 因而引起了研究者的極大關注. 不同于傳統光學介質，在SQD系統中，只需要弱光激發能得到如光學孤子，自相位調制效應，交叉相位調制，光學雙穩，非線性法拉第偏轉等顯著的非線性光學效應[14-23]. Hao等[15]在環形四能級的半導體量子點中,通過相位調制抑制線性吸收及雙光子吸收的同時實現大的交叉相位調制非線性效應. Yang等[16]研究四能級雙激子-激子級聯型半導體量子點中基于色散效應與非線性效應相平衡從而形成超慢光孤子對. 塊體材料中聲子效應非常微弱，通?？梢院雎? 但對于微米，甚至納米尺寸級別的半導體量子材料，聲子效應將可能較為顯著. Kuehn等[17]在實驗中成功地在半導體量子阱中觀測到了聲子輔助躍遷效應. 因此，本文利用多重尺度方法，研究在外加磁場作用下的聲子輔助躍遷效應對環形四能級半導體量子點EIT介質模型中的一束弱的線偏振探測光所發生的法拉第偏轉影響. 結果發現，在量子點系統中將可能出現分別是由其中的線性與非線性效應調制兩個偏轉方向相反的法拉第偏轉；且相同的外加磁場作用下，非線性法拉第轉角更大. 而通過比較在不同聲子輔助躍遷強度下的線性和非線性法拉第偏轉曲線的變化可知，隨著聲子輔助躍遷強度的增加，線性和非線性法拉第偏轉角都會逐漸變小，并且非線性法拉第偏轉角減小的更多.

2 計及聲子輔助躍遷的單量子點系統

本文考慮的是一個由雙激子態|3〉、單激子態的兩個正交偏振態|i〉(i=1,2)以及基態|0〉所組成四能級半導體單量子點體系[24,25]，如圖1(a)所示，圖中k表示聲子與半導體量子點之間的相互作用強度. 圖1(b)則為實驗上基于GaAs/AlxGa1-xAs型半導體可能實現的四能級半導體量子點EIT介質模型的實驗裝置. 在該體系中，弱線性π偏振探測光在與其平行的磁場作用下形成兩偏振分量(σ+和σ-). 它們與強控制光分別耦合量子點中的體系中的四組能級躍遷|0〉?|1〉，|0〉?|2〉，|1〉?|3〉和|2〉?|3〉. 示意圖中徑向外磁場引起的塞曼分裂Δ=μBMFgFB/?[26].

圖1 (a)四能級半導體量子點與一弱探測偏振光場和兩較強的連續耦合控制光場組成的相互作用系統示意圖. (b)四能級半導體量子點EIT介質模型可能實現的實驗裝置. Fig. 1 (a) Energy-level diagram and excitation scheme of quantum dot system interacting with the strong control field and a weak probe optical field. (b) Possible experimental set-up for the quantum dot device via EIT

相互作用繪景下，利用旋轉波近似[27,28]，可得系統的相互作用哈密頓量

(Ωp1|1〉〈0|+Ωp2|2〉〈0|+Ωa|3〉〈1|+

Ωb|3〉〈2|+H.c.)+ik|2〉〈1|+ik|1〉〈2|.

(1)

其中，Ωp1， p2, a, b表示探測光分量與控制光的拉比頻率，含k的項即表示聲子的輔助躍遷效應.

基于慢變包絡近似[27,28]，可以得到半經典理論框架下，描述光場與單量子點相互作用的Maxwell-Schr?dinger方程(MS方程)：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

3 探測光的線性傳播特性

眾所周知，方程(2)不可積，因此利用奇異攝動理論中的多重尺度方法[27,28]來解析地研究四能級半導體量子點EIT系統中探測光脈沖的傳播特性.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

隨后，對方程(3)-(12)進行逐級近似求解. 當j=1時，即在線性激發下，系統的探測光場Ωp的Ωp1和Ωp2兩個組分所對應的色散關系為

(13)

其中Da=|Ωa|2-(ω+d1)(ω+d3),Db=|Ωb|2-(ω+d2)(ω+d3)，

(14)

(15)

圖2 吸收系數α±隨連續波控制光拉比頻率|Ωb|的變化. Fig. 2 Absorption coefficients α± of the probe field versus Rabi frequency |Ωb| of the control field intensity

為了進一步的直觀地獲得半導體單量子點EIT系統的線性吸收特性，我們研究了控制光強度及聲子輔助躍遷對系統的探測光場Ωp吸收特性的影響. 如圖3所示，我們給出了ImK+(ω)來表征探測光場Ωp在不同的控制光光強及聲子輔助躍遷強度情況下隨著頻率ω的變化情況. 圖3(a)表示在不考慮聲子輔助躍遷的相互作用時，在不同的控制光場強度下，線性吸收隨著頻率ω的變化情況. 由圖3(a)可知，在無控制光場強度時，系統在探測光場的線性吸收曲線會在探測光共振位置出現一個較大的吸收峰；引入控制光后，探測光共振位置處的吸收峰會消失，而在探測光共振位置的兩側則會出現雙吸收峰，形成一個單透明窗口，即我們所熟知的電磁誘導透明(EIT)窗口現象；且隨著控制光強的增大， EIT窗口也會隨之變大. 這主要是因為兩個不同的激發通道之間的多光子量子相消干涉所致，即耦合激發通道與反向耦合激發通道之間的相消干涉的結果. 隨后數值計算了不同的聲子輔助躍遷強度k對探測光場的線性吸收了ImK+(ω)的影響(只考慮|Ωa|=|Ωb|=1.0 meV). 由圖3(b)可知，體系的吸收特性曲線的透明窗口隨著聲子輔助躍遷強度的增加而逐漸變寬，且窗口兩側的兩吸收峰高度將會明顯的降低. 這是由于單激子態的兩個正交偏振態能級在無聲子輔助躍遷時間隔很小，而聲子輔助躍遷的存在會導致譜線加寬，相對于無聲子輔助躍遷的情況，吸收譜線中的吸收峰的寬度也會對應變寬. 圖3表明，在不考慮聲子的相互作用時，通過調節控制光場的強度可實現對探測光場的EIT窗口及其寬度的調控；當兩控制光場的強度相等時，聲子輔助躍遷可用于調節電磁誘導透明窗口的寬度，以及吸收峰的幅度和寬度.

圖3 在不同控制光強度或聲子輔助躍遷強度k下，探測光場的線性吸收Im K+(ω)隨頻率ω的變化情況. (a)k，(b)|Ωa|=|Ωb|=1.0 meV. 其余參數見文. Fig. 3 Absorption spectra of the probe field versus the frequency ω with the different control filed or the strength of the phonon-assisted transition k:(a) k=0，(b)|Ωa|=|Ωb|=1.0 meV. Other parameters used are shown in the text.

同樣，為了進一步的探究半導體單量子點EIT體系的色散特性的影響，我們根據實驗選定以下參數c=3.0×1010cm·s-1，k01=k02=3.4×106meV·cm-1，γ1=γ2=0.054 meV，γ3=3.5×10-3γ1，針對不同的控制光場的強度及聲子輔助躍遷強度，做出了系統探測光場Ωp的色散特性曲線如圖4所示. 圖4(a)表示在不考慮聲子輔助躍遷的相互作用時，在不同的控制光場強度下，線性色散隨著頻率ω的變化情況. 當控制光強Ωa=Ωb=0時，探測光場的線性色散曲線在探測光共振位置處的斜率為負值，表現為反常色散，而當控制光強Ωa和Ωb逐漸增強時，相應的線性色散曲線的斜率會由負值變為正值，也就是說相應的線性色散會由反常色散變為正常色散，并且隨著控制光強的進一步增大，線性色散曲線的斜率會逐步變小，即群速度隨著控制光強度的增大而減大. 而當控制光的強度相等Ωa=Ωb=1.0 meV時，隨著聲子輔助躍遷強度的變化，體系的色散特性隨頻率ω的變化情況，如圖4(b)所示. 從圖中可以看出，隨著聲子輔助躍遷強度的增大，體系的色散特性總是呈現為正常色散，且探測光在共振位置處曲線的斜率并沒有明顯的變化. 這說明慮控制光場對體系中的探測光場群速度的調控效應大大顯著于聲子輔助躍遷效應.

當j=3時，則可得到非線性方程組

(16)

(17)

圖4 在不同控制光強度或聲子輔助躍遷強度k下，探測光場的線性色散Re K+(ω)隨頻率ω的變化情況. (a)k=0，(b)|Ωa|=|Ωb|=1.0 meVFig. 4 Linear dispersion Re K+(ω) of the probe field versus the frequency ω with the different control filed or the strength of the phonon-assisted transition k:(a)k=0，(b)|Ωa|=|Ωb|=1.0 meV.

(18)

(19)

(20)

(21)

其解為u1=exp(-iφ1s),u2=exp(-iφ2s)，其中φ1=g11,φ2=g22為探測光兩分量的法拉第偏轉角, 它是由非線性效應貢獻得到. 將解寫為初始場變量的形式Ωp1,p2=U0exp (iK+L-iφ1,2L/LNL)(ω=0),L為半導體量子點EIT介質的長度.

4 探測光的線性與非線性法拉第偏轉

為了便于討論，定義為探測光非線性和線性法拉第偏轉角分別為φNL=L[φ1-φ2-(g11-g22)/LNL]/2，φL=L[φ1-φ2]/2.而探測光在半導體量子點EIT介質中的透射率為

(22)

其中參數φL僅取決于系統的線性性質，而φNL則同時取決于系統線性和非線性性質.

圖5 在不同聲子輔助躍遷強度k下，線性法拉第偏轉角φL和非線性法拉第偏轉角φNL隨失諧Δ2的變化情況. Fig. 5 The linear and nonlinear Faraday rotation angle versus the strength of the phonon-assisted transitionk

根據目前實驗所實現GaAs/AlxGa1-xAs半導體量子點體系的條件, 可選取以下參數：γ1=γ2=0.054 meV，γ3=0.001γ1，Δ1=1.0γ1，Δ3=10.0γ1. 耦合控制光場的拉比頻率Ωa=1.003 meV，Ωa=0.997 meV，探測光場的傳播系數為k01=k02=3.4×106meV·cm-1半導體量子點EIT介質的長度為L=0.33 μm，非線性長度LNL=0.23 μm. 由于失諧量Δ2=Δ+ωp2-(ω2-ω0)，而塞曼效應位移Δ=2(μB/?)gB與磁場B有關，因此，通過調節Δ2來能控制磁場強度B對出射探測光的法拉第偏轉的影響. 數值模擬了線性法拉第偏轉角和非線性法拉第轉角隨Δ2的變化曲線. 如圖5所示，非線性法拉第偏轉角朝著負值方向變化，而線性偏轉角朝著正值方向變化，這說明非線性與線性法拉第偏轉的方向相反，而且隨著失諧量Δ2的增加，線性和非線性法拉第偏轉角都是先增大，然后再逐漸保持不變. 此外，對于確定強度的外加磁場，表示非線性法拉第和線性法拉第的曲線偏離直線傳播方向即縱軸零值位置的程度也不同，表示非線性法拉第偏轉的曲線偏離得更遠. 這說明在相同的外加磁場作用下，非線性法拉第轉角更大. 而通過比較在不同聲子輔助躍遷強度下的線性和非線性法拉第偏轉曲線的變化可知，隨著聲子輔助躍遷強度的增加，線性和非線性法拉第偏轉角都會逐漸變小，并且非線性法拉第偏轉角減小的更多.

5 結 論

本文在一個四能級半導體單量子點EIT結構中，基于相互作用繪景下的半經典理論，研究了由一束弱線性探測光在與其平行的磁場作用下形成兩正交偏振分量，再聯合兩束強耦合控制光與半導體單量子點相互作用所組成半導體量子點EIT介質中聲子輔助躍遷對探測光的線性光學特性的影響和非線性動力學性質. 結果表明，在線性范圍，EIT的實現依賴于控制光場的強度和聲子輔助躍遷強度的調控. 不考慮聲子輔助躍遷的相互作用時，控制光場可改變EIT窗口的寬度及群速度的大?。划斂刂乒鈭龅膹姸纫欢〞r，聲子輔助躍遷可用于調節電磁誘導透明窗口的寬度，以及吸收峰的幅度和寬度，但對群速度并沒有明顯的影響. 此外，我們還研究了如何通過改變外加磁場的強度實現對探測光偏振方向的控制，即數值計算了探測光的線性與非線性法拉第偏轉角. 我們發現非線性法拉第轉角在相同大小的磁場作用下要大于線性法拉第轉角，而且非線性與線性條件下，法拉第偏轉的方向相反，而且隨著聲子輔助躍遷強度的增加，線性和非線性法拉第偏轉角都會逐漸變小，并且非線性法拉第偏轉角減小的更多. 我們的研究可能對于弱光條件下的光信息處理和傳輸具有潛在的應用價值.