基于Delaunay三角剖分的機器人工作空間體積求解

(遼寧工程技術大學 機械工程學院，遼寧 阜新 123000)

并聯機器人因剛度大、精度高、結構緊湊、承載能力強等特點[1]而被廣泛應用。并聯機構工作空間體積與形狀對于并聯機構的工作能力有重要關系，因此并聯機構工作空間體積通常作為判斷機構好壞的指標[2-4]，采用更加便捷的方法求解工作空間體積具有重要意義。并聯機器人工作空間三維體積計算常見方法有：微分法[5]，即運用平行于X-Y面的平面將工作空間分割成厚度為ΔZ的微元，計算出每一微元的體積并將所有微元體相加得到的便是機構的工作空間體積；子空間體積疊加法[6]，對Z值一定，厚度為ΔZ的子空間在X-O-Y平面投影并計算每個投影的面積，將面積相加并與剖面距離相乘可得到體積值。上述方法為求解并聯機構工作空間體積提供了理論依據，但在實際操作中，由于工作空間的不規則性，求解誤差較大且需要對數據進行排序篩選等操作，編程及求解過程麻煩，運算量較大。

Delaunay三角剖分法[7]是比較成熟的方法，已廣泛應用在各領域圖像和點云的處理上。劉洋[8]采用Delaunay三角剖分法對路面點云進行分析處理，提升了路面三維建模的效率。博志成[9]等人采用Delaunay三角剖分法對海量點云曲面進行重建，提升了重建效率和重建曲面拓撲正確性。鮑鑫[10]引入了Delaunay三角剖分法，將聲壓級映射為顏色，并繪制成圖像，實現對噪聲的實時監控。

Delaunay三角剖分法對點云數據處理具有優勢，為解決此問題，本文采用Delaunay三角剖分法計算體積值，并進行實驗對比，結果表明該方法有效的減少了計算量，提升了體積計算的效率。

1 3-RPS并聯機器人建模及仿真

3-RPS并聯機器人主軸平臺是基于Stewart并聯機構原理[6]，機構的結構簡圖如圖1所示。本文采用歐拉角方法[7-8]對機構的特點對其進行幾何分析，進行逆解運算。

圖1 并聯機構坐標系示意圖

經計算，可得到3個驅動桿桿長在定坐標系A中的矢量為

(1)

則各驅動桿桿長為

li=|Li|

(2)

3-RPS并聯機構是一種少自由度并聯機構，其工作空間是指可達工作空間[9]，影響其大小、形狀的主要因素[10]有：

(1) 桿長的限制。

lmin≤li≤lmax

(3)

式中，li為支桿i的長度；lmin、l為支桿i的最小、最大長度。

(2) 運動副轉角限制。

① 球副轉角限制。

(4)

式中，Li為驅動桿方向向量；sbi為球副底座的方向向量；θsimax為球副i的最大許用轉角；θsi為球副i的轉角。

② 轉動副轉角限制。

(5)

式中，Li為驅動桿方向向量；si為轉動副底座方向向量；θRimax為轉動副i最大許用轉角；θRi為球副i的轉角。

(3) 連桿干涉。

(6)

式中，Ri為轉動副i的位置向量；Li為連桿i的方向向量；D為連桿截面直徑；Mi為相鄰兩連桿中心線之間的最短距離。

本文采用搜索法求解3-RPS并聯機構的可達工作空間。首先設定尺寸參數，然后確定搜索初值，在某個Z截面上搜索滿足約束條件的姿態角α，β；再以增量形式改變Z的值，直到遍歷搜索完Z最小值到最大值范圍之間所有的截面。3-RPS并聯機構的結構尺寸以及工作空間約束條件如表1所示。

表1 并聯機構結構參數與轉角約束

借助Matlab編程求解可得工作空間如圖2所示，并獲得1348320個點坐標。

圖2 工作空間三維圖

2 Delaunay三角剖分相關理論

三角剖分中以Delaunay三角剖分最具有代表性,本節主要介紹相關的Delaunay三角剖分理論和改進的增量式Delaunay三角剖分法算法[11]。

2.1 Delaunay三角剖分的定義及準則

Delaunay邊：假設E中的一條邊e(兩個端點為a,b)，e若滿足下列條件，則稱之為Delaunay邊：存在一個圓經過a,b兩點，圓內不含點集V中任何其他的點，這一特性又稱空圓特性。

Delaunay三角剖分：如果點集V的一個三角剖分T只包含Delaunay邊，那么該三角剖分稱為Delaunay三角剖分。

要滿足Delaunay三角剖分的定義，必須符合兩個重要的準則。

① 空圓特性：Delaunay三角網是唯一的(任意4點不能共圓)，在Delaunay三角形網中任一三角形的外接圓范圍內不會有其他點存在。如圖3所示。

圖3 空圓特性圖

② 最大化最小角特性：在散點集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。從這個意義上講，Delaunay三角網是“最接近于規則化的”的三角網。具體說是指在兩個相鄰的三角形構成凸四邊形的對角線，在相互交換后，6個內角的最小角不再增大。如圖4所示。

圖4 最大化最小角特性圖

2.2 算法

① 先構建一個初始四面體，形成初始化四面體網格。

② 將散亂點插入當前四面體網格中，對于輸入點P，使用隨機行走方法來尋找包含P的四面體。先指定一個四面體T，如果P位于該四面體內，則完成行走。如果不在四面體內，則隨機指定一個三角面E，如果E所在的平面將T和P分割開(即T和P在平面的兩邊)，下一個訪問的四面體就是共享E的鄰近四面體；否則，就按預定的順序遍歷其他的面，直到找到分割開T和P的面。

③ 找到包含P的四面體，則分割該四面體為4個小四面體。

④ 如果P位于當前四面體網格外，則選擇網格的一個可見面(即P在面的一側)，連接P與該三角面的3個頂點構成新的四面體加入到四面體網格中，選擇可見面時，盡量避免使新生成的四面體是狹長的。

⑤ 重復步驟②～步驟④，直到所有散亂點都被插入四面體網格。

(6) 驗證Delaunay三角剖分的有效性。首先檢Delaunay三角剖分數據結構的連貫性，即四面體的鄰接關系。

3 工作空間體積求解

基于改進的增量式Delaunay三角剖分法，對圖2中并聯機器人工作空間點云進行了計算，并與二值化處理求解算法和微元法進行實驗對比。

3.1 子空間體積疊加法求解工作空間體積

子空間體積疊加法是借助Matlab中圖片處理工具箱(Image Processing Toolbox)，對Z值一定，厚度為ΔZ的子空間在X-O-Y平面投影的不規則圖像增加規則邊框，然后進行二值化處理[12]。

假設規則圖形的面積為S，二值化處理后可以求出不規則圖形像素點數占規則圖形像素點的比值η，那么可以求得Z值對應的子空間的面積為ΔS=S·η，那么此子空間的體積為ΔV=ΔS·ΔZ，則整個工作空間的體積為

(7)

求解過程可用圖5表示。

根據本文的3-RPS并聯機構參數，按照上述方法計算每一幅截面圖面積，然后求和。在相同電腦配置下，編寫Matlab程序求得其體積V=6.2639×105mm3，耗時27 min。

3.2 微元法求解工作空間體積

微元法是運用平行于X-Y面的平面將工作空間分割成厚度為ΔZ的微元，計算出每一微元的體積，將所有微元體相加得到的便是機構的工作空間體積，如圖6所示。

令Δρ、Δφ分別為極坐標中的極徑和極角的搜索步長，陰影部分面積可以表示為

(8)

工作空間某一截面面積為

圖6 體積求解示意圖工作空間某一截面面積為

(9)

該截面對應的微元體積為

ΔV=ΔS·ΔZ

(10)

工作空間總體積為

(11)

根據本文的3-RPS并聯機構參數，采用微元法編寫Matlab程序，計算得到其體積值V=6.2643×105mm3，并耗時31 min。

3.3 Delaunay三角剖分法求解工作空間體積

采用改進的增量式Delaunay三角剖分法進行編程對并聯機器人工作空間點云進行三維Delaunay三角剖分生成四面體，如圖7所示。

圖7 空間散點四面體化示意圖

利用convexhull凸包處理函數將所得四面體數據進行分析，得到最外圍的凸包，并按著順序對凸包邊界上的點進行排列。同時也直接給出了凸包的體積或者面積。根據本文的3-RPS并聯機構參數，采用基于增量式Delaunay三角剖分的改進算法編寫Matlab程序計算其體積值V為6.2645×105mm3，并耗時21 min。

以基礎算法微元法計算的數值為標準值，則二值法和Delaunay三角剖分法的相對誤差分別為6.38×10-3%和3.19×10-3%，由此可知Delaunay三角剖分法的相對誤差較小。

4 結束語

針對傳統二值化處理法求解并聯機器人工作空間體積法的流程，采用改進的Delaunay三角剖分法，本方法通過對空間的散點進行三維Delaunay三角剖分生成四面體，進而求得其體積，與二值化處理法和微元法相比，改進的增量式Delaunay三角剖分法相對誤差較小，耗時少，即改進的增量式Delaunay三角剖分法降低了編程難度并提高了計算效率。