基于觀測(cè)器的伺服系統(tǒng)反饋線性化控制

王 琳，謝敬華，鄧 華

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 2.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

高精度多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)被廣泛地應(yīng)用于機(jī)械領(lǐng)域中,特別是重載高精度多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)得到了越來(lái)越多的應(yīng)用，如中子譜儀樣品定位運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。在該中子譜儀樣品定位運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中，直線位移的精度可達(dá)到30 μm，而平臺(tái)的負(fù)載可以大范圍地變化(1～1000 kg)，這就導(dǎo)致系統(tǒng)中的非線性摩擦是不斷變化的[1-2]。不確定的摩擦?xí)o系統(tǒng)帶來(lái)很大的控制難度[3]。針對(duì)一般的多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，學(xué)者們提出了很多控制方法[4-6]，如魯棒性控制、自適應(yīng)控制、模糊控制和反饋線性化等。

一直以來(lái)有很多關(guān)于反饋線性化控制策略的研究。沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)的孫宜標(biāo)等人將非線性反饋策略應(yīng)用在一般直線伺服系統(tǒng)中，同時(shí)使用滑模觀測(cè)器對(duì)動(dòng)子的速度和加速度進(jìn)行了觀測(cè)，在速度跟蹤性能方面取得了較好的效果[7]。北京理工大學(xué)的趙玉壯等人在對(duì)整車(chē)懸架系統(tǒng)進(jìn)行反饋線性化的過(guò)程中，使用卡爾曼觀測(cè)器對(duì)懸架振動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了觀測(cè)[8]。中南大學(xué)的Zhong Guoliang等人提出了一種摩擦自適應(yīng)的全局滑模控制策略，用于系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化的伺服系統(tǒng)的高精度控制[9]。南京理工大學(xué)的Yao Jianyong提出了一種自適應(yīng)魯棒方法對(duì)直流電機(jī)進(jìn)行控制，同時(shí)采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)，實(shí)驗(yàn)證明應(yīng)用該策略的直流電機(jī)系統(tǒng)取得了較高的控制精度[10]。北京航空航天大學(xué)的Liu Chao利用反饋線性化策略將電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)線性化后，使用PID控制方法進(jìn)行控制，同時(shí)應(yīng)用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè),取得了較好的控制效果[11]。反饋線性化是一種針對(duì)非線性伺服系統(tǒng)較好的可以借鑒的方法，但是重載伺服平臺(tái)的模型必須是已知且準(zhǔn)確的。所建立的合適的摩擦模型中參數(shù)是不斷變化的，加之一般的速度傳感器通常引入較大的測(cè)量誤差。針對(duì)這種情況采用擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器對(duì)模型中不斷變化的參數(shù)和速度同時(shí)進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè)，然后采用反饋線性化方法將系統(tǒng)精確線性化后，再采用線性控制方法設(shè)計(jì)控制器，最后，對(duì)本文的控制方案進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 物理模型

多軸測(cè)試運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的精度是影響測(cè)試效果的關(guān)鍵問(wèn)題之一。中子譜儀重載多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)如圖1所示，可實(shí)現(xiàn)四維運(yùn)動(dòng)：X、Y、Z軸直線運(yùn)動(dòng)部分和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的Rz運(yùn)動(dòng)部分。根據(jù)平臺(tái)系統(tǒng)特性，單軸伺服系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化如圖2所示。

圖1 中子譜儀多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 單軸伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化圖

電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型可以表示為

(1)

τ(t)=c1i

(2)

s=hθ

(3)

包含摩擦非線性的平臺(tái)伺服系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

式中，J為驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c2為阻尼系數(shù)，k為剛度系數(shù)，k和c2均大于零；τ(t)為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；Tf為系統(tǒng)折算到電機(jī)軸上的摩擦力矩；Td為系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)，其中包括建模誤差以及系統(tǒng)所受到的未知擾動(dòng)，D為未知擾動(dòng)的上界，即，|Td|≤D。

基于中子平臺(tái)所采用的高精度的伺服系統(tǒng)，為提高系統(tǒng)的控制精度，應(yīng)盡可能多地考慮非線性影響因素，如非線性摩擦、建模誤差和外界不確定擾動(dòng)等。

分析系統(tǒng)中的非線性摩擦特性，如下摩擦力矩模型能較好地表示在重載高精度伺服系統(tǒng)中的摩擦力矩。

(5)

式中，vs為切換速度；fc和fs分別為庫(kù)侖摩擦和靜摩擦。

為了方便設(shè)計(jì)控制器，將系統(tǒng)的模型進(jìn)行整理，系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可以表示為

(6)

y=x2

(7)

2 非線性反射控制策略

為得到y(tǒng)跟x的關(guān)系，對(duì)y進(jìn)行求導(dǎo)，得

(8)

分析系統(tǒng)的特性可知，該系統(tǒng)適合反射非線性系統(tǒng)特性。為更好地控制誤差的收斂方式，將式(8)轉(zhuǎn)化為

(9)

(10)

式(9)和式(10)表明了y和u之間的關(guān)系。首先，不考慮系統(tǒng)中未知擾動(dòng)項(xiàng)，控制器可以設(shè)計(jì)為

(11)

式中，v為控制率的輔助項(xiàng)。

對(duì)比上述公式，可得

θ(3)=ν

(12)

定義誤差e=θd-θ，設(shè)計(jì)v為反饋線性化的形式為

(13)

式中，k1，k2，k2為大于0的常數(shù)。

3 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的狀態(tài)跟參數(shù)估計(jì)

精確的非線性反射控制的前提就是能得到系統(tǒng)的準(zhǔn)確動(dòng)力學(xué)模型。準(zhǔn)確動(dòng)力學(xué)模型的獲得需要用到準(zhǔn)確的速度值和參數(shù)值，通常的做法是對(duì)傳感器測(cè)量的位移信號(hào)進(jìn)行一階微分來(lái)求取速度。但是對(duì)于像中子衍射多軸平臺(tái)這樣的重載低速運(yùn)行的設(shè)備而言，數(shù)字微分通常放大傳感器噪聲，使得獲得的速度信號(hào)無(wú)法直接用于動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算。系統(tǒng)中負(fù)載慣量大范圍變化后，模型中參數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。采用擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器對(duì)速度[12]和系統(tǒng)摩擦模型中參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[13]。

假設(shè)有一離散的非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(14)

式中，F(xiàn)[X(k)]和H[X(k)]為非線性方程;X(k)為狀態(tài)向量；Z(k)為輸出向量；U(k)為輸入向量；W(k)和V(k)分別假設(shè)為零均值的過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲。

系統(tǒng)模型離散化后

(15)

式中，X1(k)、X2(k)、X3(k)分別為電機(jī)的輸入電流，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)速度；Ts為采樣時(shí)間，由于系統(tǒng)非線性項(xiàng)的存在，對(duì)F[X(k)]和H[X(k)] 取雅克比變換

(16)

則可以得到

(17)

式中，

故式(16)可以表示為

(18)

最后，擴(kuò)展卡爾曼波觀測(cè)器可總結(jié)為如下。

(1) 預(yù)測(cè)部分。

(19)

P-(k+1)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)

(20)

(2) 修正部分。

K(k)=P-(k)DT[HP-(k)HT+R(k)]-1

(21)

(22)

P(k)=[I-K(k)H]P-(k)

(23)

4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證控制策略的有效性，輸入階梯型理想位移。測(cè)量末端的位移，用EKF來(lái)實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)中的速度，從而進(jìn)一步用非線性反射控制的方法進(jìn)行平臺(tái)控制效果的驗(yàn)證。過(guò)程噪音和測(cè)量噪音協(xié)方差矩陣取為

(24)

R(k)=3.5×10-5

(25)

(26)

在仿真軟件包MATLAB/Simulink平臺(tái)上進(jìn)行了系統(tǒng)仿真。切換速度初始值設(shè)置為0.018 rad/s,所采用的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

將輸入的角位移取值為階梯形曲線進(jìn)行驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，時(shí)間設(shè)為30 s，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3～圖7所示。從圖3中可以看出，使用卡爾曼觀測(cè)器對(duì)參數(shù)值和速度準(zhǔn)確值進(jìn)行觀測(cè)后，位置跟蹤誤差能在一個(gè)較短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)一個(gè)較小的區(qū)間。從圖4中可以看出，每次位移方向轉(zhuǎn)變時(shí)，速度的震蕩比較大，但該卡爾曼觀測(cè)器較好地觀測(cè)到速度的準(zhǔn)確值。圖5中顯示了切換速度的觀測(cè)值，該值在原來(lái)固定參數(shù)0.05 mm/s附近不斷振蕩。圖6中顯示了庫(kù)侖摩擦的觀測(cè)值在原來(lái)固定參數(shù)0.28 N·m附近不斷振蕩。圖7中顯示了靜摩擦的觀測(cè)值在原來(lái)固定參數(shù)0.34 mm/s附近不斷振蕩。

圖3 位移跟蹤曲線

圖4 預(yù)測(cè)速度跟真實(shí)速度

圖5 切換速度的觀測(cè)值

圖6 庫(kù)侖摩擦觀測(cè)值

圖7 靜摩擦觀測(cè)值

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)多軸中子衍射運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，由于速度傳感器通常引入較大的測(cè)量誤差，一般不安裝高精度的速度傳感器，故所建立卡爾曼觀測(cè)器對(duì)速度和相關(guān)參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)，同時(shí)將準(zhǔn)確的速度值和參數(shù)值實(shí)時(shí)應(yīng)用到非線性反射控制策略中，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，觀測(cè)的速度較準(zhǔn)確，驗(yàn)證了觀測(cè)器的有效性，系統(tǒng)的位置跟蹤也取得了較好的結(jié)果，可為平臺(tái)的測(cè)量技術(shù)和控制提供一定的參考和借鑒。