靈活化歸探析圓錐曲線中的距離問題

董頂國

(上海市松江一中 201600)

圓錐曲線中距離問題是高考的熱點內(nèi)容.通常使用距離或弦長公式轉(zhuǎn)化求解，但也有較多的距離問題使用此法，要么難以解出、要么過于繁瑣.為了準確選擇解題思路 , 快速解決此類問題,本文對距離常見轉(zhuǎn)化作如下辨析.

一、利用兩點間的距離公式或弦長公式結(jié)合曲線性質(zhì)建模求解

(1)求橢圓M的標準方程；

(2){x2+4y2=4,

點評該問題中距離處理運用公式常規(guī)轉(zhuǎn)化，但對|ST|的求解要結(jié)合圖形分類求解，較多的考題也結(jié)合曲線性質(zhì)和定義直接求解.

二、運用射影思想降維轉(zhuǎn)化求解

將有關(guān)的線段投影到坐標軸上，化二維空間的問題為一維空間的問題，結(jié)合曲線方程達到求解的目的.

解析問題關(guān)鍵是對|OQ|·|OP|=|OR|2處理，把關(guān)系|OQ|·|OP|=|OR|2投影到x軸上降維求解.

點評本題主要考查直線、橢圓的方程和性質(zhì)，軌跡方程求法.求解問題的關(guān)鍵是合理降維.

三、借助曲線定義結(jié)合性質(zhì)求解

圓錐曲線的第一定義和第二定義都與距離有關(guān),利用這兩個定義可以把兩個動距離的和、差、商轉(zhuǎn)化為定值, 結(jié)合性質(zhì)解決問題.

解題分析(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min.

設(shè)圓(x+5)2+y2=4的圓心為F1(-5,0).

設(shè)圓(x-5)2+y2=1的圓心為F2(5,0),|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1.

所以(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=|PF1|+2-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=9

點評該類問題的核心是利用圓的幾何性質(zhì)和雙曲線定義，把兩動點距離化歸為動點到圓心的距離問題，減少了變量個數(shù)，簡化了思考過程.

四、距離關(guān)系轉(zhuǎn)換為向量關(guān)系求解

向量的模就是向量起點和終點間的距離 , 因而圓錐曲線中的距離問題即可轉(zhuǎn)化為平面向量的模的問題，化距離關(guān)系為向量關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為向量的坐標來解決.

設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，代入橢圓方程得：(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.

點評將長度關(guān)系向量化后，再將向量關(guān)系坐標化時往往會遇到縱、橫坐標的選取，選擇的原則是以簡便為主.

五、中點公式法求解距離相等問題

對于直線與兩種曲線相交所截得線段長相等問題，用中點坐標公式解決可收到事半功倍之效.

例5已知拋物線y2=x和圓(x-7)2+y2=5，過點P(a,0)作直線l交拋物線于A,B,交圓于C,D,(自下而上依次為B,D,C,A),且|AC|=|BD|,求a得取值范圍.

當直線l的斜率存在設(shè)為k(k≠0)，方程為y=k(x-a).

∵|AC|=|BD|,

點評若|AC|=|BD|，則AB,CD的中點重合，反之也成立.由四點共線，等價轉(zhuǎn)化為兩中點橫坐標的相等.這一轉(zhuǎn)化充分利用了曲線的幾何性質(zhì)，大大簡化了解題過程.