解析2017年湖北省預賽試題第2題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

2017年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題(高二)第2題為：已知正項等比數列{an}滿足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，則a9+a8+a7的最小值為.

這是一道看似平淡無奇實則蘊含的數學思想方法非常豐富的數列最值題，題面簡潔，立意新穎，構思巧妙，結構優美，設計精巧，很有創意，讓人賞心悅目，引起筆者極大的探究興趣，值得深入解析.

解析1 設該等比數列的公比為q，

∵an>0，∴q>0.

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴q3(a3+a2+a1)-(a3+a2+a1)=49，

∵a3+a2+a1>0，∴q3>1，

∴f(t)≥49×(2+2)=196，

綜上，a9+a8+a7的最小值為196.

解析4設該等比數列的公比為q，

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴a1q5+a1q4+a1q3-a1q2-a1q-a1=49，

∴a1q3(q2+q+1)-a1(q2+q+1)=49，

∴a1(q2+q+1)(q3-1)=49.

以下略，解法同上述解析1、解析2、解析3.

解析1是運用等比數列{an}的性質an=amqn-m，通過代換，轉化為關于公比q的函數.解析4是運用等比數列{an}的通項公式an=a1qn-1，通過代換，轉化為關于公比q的函數.解析1、解析2，解析3、解析4的共同核心都是回歸到函數問題.