高等數(shù)學(xué)視野下的高中數(shù)學(xué)
——議泰勒公式在高考中的應(yīng)用

孫 博

(浙江省永康市第一中學(xué) 321300)

一、引言

1.泰勒公式

在初等函數(shù)中，多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的函數(shù).因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算只有加、減、乘三種運(yùn)算.如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計(jì)算都有重要意義.

若任意一個(gè)函數(shù)f(x)(不一定是多項(xiàng)式函數(shù))，只要函數(shù)f(x)在a存在n階導(dǎo)數(shù)，總能形式地寫出一個(gè)相應(yīng)的n次多項(xiàng)式

定理1(泰勒定理)若函數(shù)f(x)在a存在n階導(dǎo)數(shù)，則?x∈U(a)，有

f(x)=Tn(x)+ο[(x-a)n]，(1)

2.泰勒公式常用的幾個(gè)展開式

二、高考中的泰勒公式

例1 (2015年福建高考數(shù)學(xué)第20題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx(k∈R)，

(1)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)

(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，存在x0>0,使得對(duì)任意x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；

(3)確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對(duì)任意的x∈(0,t)恒有|f(x)-g(x)|

分析與解答在(1)問中，高考的標(biāo)準(zhǔn)答案是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)上界，進(jìn)而證明出不等式的成立，證明如下：

令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x，x∈(0，+)，則有

當(dāng)x∈(0，+)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在(0，+)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x>0時(shí)，

F(x)0時(shí)，f(x)

ex>1+x，當(dāng)x>0時(shí)，不等式兩端同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)并化簡(jiǎn)得x>ln(1+x)，得證.這就是含有高等數(shù)學(xué)知識(shí)中泰勒公式身影的一道高考題目，了解題目的起源，會(huì)更加透徹的看清題目的內(nèi)涵，其余各問迎刃而解.

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

分析與解答在(2)中，要證明不等式的成立，參考答案給出了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明的思想方法，這道題目有泰勒公式的背景，可以利用泰勒公式得出的不等式來進(jìn)一步轉(zhuǎn)化與證明，如下：

因?yàn)橛商├展降胑x>1+x，x>0，

①

以泰勒公式為背景的不等式經(jīng)過轉(zhuǎn)化與變形，便可以在相應(yīng)題目中得以“秒殺”，很大程度上簡(jiǎn)化解題步驟.

總之，從以上具體的高考真題實(shí)例的探究與發(fā)現(xiàn)中，在高等數(shù)學(xué)視野下，利用泰勒公式來解決高考函數(shù)中的有關(guān)不等式問題主要是實(shí)現(xiàn)將超越不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式不等式，既簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，又為高考中的函數(shù)不等式問題的解法注入了新的活力并充分展現(xiàn)了泰勒公式無盡的魅力,對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)起到重要作用.