論Benford法則作為一種反舞弊審計手段的局限性

吳國平

【摘要】二十世紀80年代末以來，國內外理論界試圖將Benford法則作為一種數值分析方法引入舞弊審計領域;國內外相關研究文獻雖多，卻鮮少論及最核心、最關鍵的問題：即Benfird法則作為一種數值分析方法在舞弊審計中是否具有有效性的問題。stCVCnw.smich基于傅里葉變換視角提出的一套理論解析框架，有助于該關鍵性問題的分析。這一理論解析框架的適當完善與擴展，表明并非所有隨機過程產生的數據都符合Benford法則，因此，在審計實務中把Benford法則作為一種財務舞弊檢驗器是缺乏嚴密理論依據的。

【關鍵詞】Benford法則;舞弊審計;卷積定理;smith判別定理

隨著財務欺詐與舞弊行為的頻繁發生，欺詐與舞弊手段也日趨隱蔽復雜，如何改進和提升財務欺詐與舞弊行為審計能力成為審計界與社會公眾共同關注的焦點。20世紀80年代末以來，作為一種數值分析方法，Benford法則逐漸被引入舞弊審計領域。相關研究文獻雖多，卻鮮少論及最核心也是最關鍵的問題：即Benford法則作為一種數值分析方法在舞弊審計中是否具有有效性問題。眾多研究文獻事實上都先驗性假定其所分析的數據對象，本質上應符合該法則，如果“實然”狀態偏離“應然”狀態，則推斷存在欺詐與舞弊行為。本文認為正是囿于此種邏輯推理上的局限，導致了對該工具本身普適性的懷疑，因而不具有廣泛、系統地推廣使用的基礎。

一、Benford法則內涵

Benford法則是關于隨機數組非零首位數概率分布的規律，亦稱“首位數分布規律”。simon New comb在1881年首次發現許多類型的隨機數組都很好地符合以下規律：以1為首位數的隨機數要比以2為首位數的隨機數出現的概率大，而以2為首位數的隨機數又比以3為首位數的隨機數出現的概率要大，依此類推，但紐卡姆并沒有對這一定律做出任何解釋。1938年Frank Benford再次注意到同樣的現象，并首次推導出Benford法則的數學表達式，即各非零首位數出現的概率為：

P（n）=log10（1+1/n）

其中：n=1，2，3……，9;P（n）玳表隨機數首位數為n的概率。

根據以上公式，數字首位非零數字為整數“1”的概率大約為30.10%，為整數“2”的概率大約為17.61%，而整數9在首位出現的概率僅為4.58%，完全顛覆了均勻分布的預期。

二、文獻回顧

1988年，Carslaw首次運用Benfofd法則對公司利潤舞弊進行實證研究。1994年Raim和Boyk對大部分財務數據為什么都符合Benford法則的原因進行了研究。Nigrin（1996）認為審計人員可以通過檢測實際數據中各首位數字出現的頻率并與Benford法則理論值進行比較，發現兩者的差異，從而獲得通過傳統的數據分析方法和抽樣技術不能獲得的信息。Nigrin溈此開發了對財務數據進行Benford法則測試的計算機軟件，首次把Benford法則系統廣泛地應用到舞弊審計領域。

國內學者自本世紀初起對Benford法則展開研究。馮郁和丁國勇（2003）對Benford法則的正確性進行了驗證;張蘇彤（2005）利用2003年1394家上市公司的主要財務數據進行驗證性測試;張蘇彤和康智慧（2007）對2006年我國1447家上市公司的主要財務數據與Benford法則理論值進行相關系數的驗證性測試，并從相關系數的角度得出了財務舞弊公司的主要財務數據與Benford法則理論值相關性較差的結論;李勛（2006）對Benford法則在審計中的適用性和效果進行分析，進行相關技術手段設計，總結了在審計實踐中應用該法則的優缺點、應該注意的問題以及應用展望。王福生、李勛和孫遜（2007）闡述了Benford法則在審計領域應用的成果、適用性以及優缺點，并借助于某股份公司的財務數據驗證其在舞弊識別上的有效性。

陳曦、萬宇飛、李璐（2012）采用近11年的中國上市公司財務數據，對Benford法則的適用性作出檢測。劉云霞，曾五一（2013）探討了如何將Benfofd法則與異常值探測、數據挖掘技術等方法相結合，從而找出可能存在數據質量問題的具體樣本及其規律的方法，并利用該方法對我國保險行業2006-2011年主要經濟指標的數據質量進行了實證分析。張蘇彤即（2016）利用“人為造假”的樣本數據與隨機數樣本數據對該法則進行測試，證明了Benford法則在舞弊偵測方面的有效性，認為Benford法則在識別“人為造假”數據方面具有明顯作用，可以將Benford法則及其相關的數值分析工具視為“財務舞弊檢驗器”：羅玉波（2016）對相關研究文獻進行了系統的梳理、總結與述評，指出應用Benford法則于經濟信息質量檢測方面的研究較多，主要表現為應用相關經濟信息數據庫對Benford法則進行實證研究，但作為一種審計技術方法使用得比較少，應用于中小企業會計信息的鑒證則更少。孟杰、王欣、張然（2017）指出，Benford法則通常只適用于完整數據集的數據質量評估;對于完整數據集的有界子集，應采用修正Benford法則評估其數據質量。陳偉、吳正、劉海（2017）則在自主研發的審計軟件中實現基于Benford法則的大數據審計方法。牛志勇、張耀武（2018）針對1999-2011年中國工業企業和城市經濟統計數據，利用Benford法則對中國工業企業財務數據進行了質量檢驗和分析。結果顯示中國工業企業的資產、納稅數據質量相對較好，銷售和成本數據可能存在質量問題，有證據表明工業企業在銷售等數據上有調整的可能性，數據質量需引起注意。

除此之外，尚有若干作者運用Benford法則于礦山安全數據、醫療數據、保險理賠數據、農業統計數據可信度評估等方向。

國內研究文獻早期注重于對Benford法則的驗證性測試，中期則關注其在實務中的可運用性問題，后期則涉及到此方法的局限、修正與完善。總體而言，研究的深度和廣度遠不及國外同行，缺乏標桿性的理論成果，學術界相關理論研究雖多，但并未得到廣大審計實務工作者的普遍認可。

三、Smith判別定理

如何判斷連續型隨機變量是否符合Benford法則呢？Steven w.Sm汕基于傅里葉變換視角提出的一套理論解析框架，有助于以上關鍵性問題的解決。

（一）模型構建

設x為一連續隨機變量（假定其取值為正實數），其概率密度函數為pdf（x）;sfn（f））為寬度τn、高度1、周期長度1的周期矩形方波函數，因用其完成取樣，所以又稱取樣函數。

（三）結論檢驗

在Mathb R2012b上對上述推論2、4、5進行檢驗，推論2的區間設定為（O，1），推論4的區間設定為（-1，1），均勻分布隨機數用rand函數生成，推論4用逆變換法（Invecse Transform Method）從其概率密度函數生成所需隨機數，推論5直接用no仰rnd函數生成所需隨機數。為了比較對每個分布均采用兩個以上不同的方案進行檢驗，檢驗結果如表1所示，表明理論分析結果完全正確。

四、結論

以上研究表明，并不是任何隨機過程產生的數據都符合Benford法則，當且僅當在滿足特定條件后Benford法則才嚴格成立。有鑒于此，在審計實務中把Benford法則作為一種反舞弊審計手段是缺乏堅實理論基礎的，不能充當財務舞弊檢驗器角色，數值分析的結果具有一定程度的誤導性。審計作為一種鑒證技術方法，不論是風險導向審計，亦或合規性審計，都需要審計人員通過制訂合理審計計劃，執行風險評估、實施控制測試，采取針對性實質性程序等一系列審計工作，在獲取充分適當的審計證據基礎上形成審計結論，最終發表審計意見。審計執業質量的高低更多依賴于廣大審計人員對審計實踐經驗的歸納、總結和積累，寄希望于通過Benford法則來高效精準地發現隱藏在財務數據謎霧后面的舞弊真相是不切實際的。