例談含參不等式恒成立問題的處理策略

■河北省唐山市灤南縣第一中學 劉明遠

縱觀近幾年的高考和模擬考試,函數壓軸題目中有一類很常見的題型——由“不等式恒成立”來確定參數的取值范圍,這類題目從內容上講,可以涉及函數、方程、切線、不等式等知識;從數學思想方法上講,可以涉及轉化與化歸、函數與方程、分類與整合等思想方法;從能力上講,可以考查同學們的觀察能力、創造能力等綜合能力,所以此類問題綜合性強,解法靈活,常令同學們感到頭疼,從而如何有效地突破這一難點是同學們亟待解決的一大課題,下面通過例題具體談一下此類問題的處理策略。

一、數形結合

例1已知f(x)=ex-ax(2x-3),若f(x)≥0,求a的取值范圍。

解析：由f(x)≥0得ex≥ax(2x-3),令g(x)=ex,h(x)=ax(2x-3),在同一坐標系中畫出g(x)和h(x)的圖像,顯然a＞0時不成立;a=0時成立。

圖1

若a＜0,當g(x)與h(x)僅有一個交點時,如圖1所示,設交點為A且橫坐標為t,此時兩曲線在點A處有相同的切線。

所以g(t)=h(t);g′(t)=h′(t),即 et=at(2t-3),et=a(4t-3),解得t=,a=-,或t=3,a=(舍)。

所以a的取值范圍是-e≤a≤0。

評注

：利用數形結合解決此類問題的做法是將其轉化為兩個函數圖像間的關系,首先,必須明確參數的變化對圖像的影響;其次,參數的取值范圍一般來源于區間的端點值和圖像相切時的臨界位置,所以對學生研究切線的基本功和作圖能力要求比較高。

二、分離參數

例2 已知函數f(x)=xex-axln

x-1,若f(x)≥0,求a的取值范圍。

解析：由xex-ax-lnx-1≥0得ax≤xex-ln

x-1。

當x∈(0,t)時,h(x)＜0,從而g′(x)＜0,即g(x)單調遞減;

當x∈(t,+∞)時,h(x)＞0,從而g′(x)＞0,即g(x)單調遞增。

故a的取值范圍是a≤1。

評注：利用分離參數解決此類問題的做法是將其轉化為另外一個函數的最值或極限值,這樣就避免了對參數的討論。但是此方法往往會得到一個分式型函數,所以對學生求導數和討論單調性的基本功要求比較高。

三、證明最值

例3 已知函數f(x)=aln(x+1)-xe-x,若x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍。

解析：顯然f(0)=0,所以x=0為函數f(x)的最小值點。,f′(0)=a-1。

①當a＜1時,f′(0)＜0,所以存在x0,使得x∈(0,x0)時,f′(x)＜0,從而f(x)在(0,x0)上單調遞減,這與f(0)為最小值矛盾,因此a＜1時不成立。

當x∈(0,1)時,g′(x)＞0,即g(x)單調遞增,因此g(x)≥g(0)=0;

當x∈[1,+∞)時,(x2-1)e-x≥0,所以g(x)≥1。

所以a≥1時,g(x)≥0,從而f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增。

因此f(x)≥f(0)=0。

綜上,a的取值范圍是a≥1。

評注：利用證明最值解決此類問題的做法是將其轉化為證明函數的最值點,這樣就能輕松找到對參數分類討論的標準。但是此方法對同學們的觀察能力要求比較高。

四、討論最值

例4 已知函數f(x)=x2-axlnx+a+1,若x∈[1,e]時,f(x)≥0,求a的取值范圍。x≤e。

①當a+1≤1,即a≤0時,g′(x)≥0,所以g(x)在[1,e]上單調遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=a+2,從而a+2≥0,a≥-2。

所以-2≤a≤0時滿足題意。

②當1＜a+1＜e,即0＜a＜e-1時：

若x∈[1,a+1),則g′(x)＜0,從而g(x)單調遞減;

若x∈(a+1,e],則g′(x)＞0,從而g(x)單調遞增。

評注：利用討論最值解決此類問題的做法是通過討論單調性,用參數表示函數的最值,最后通過解參數的不等式得到所求范圍。但是此方法對同學們處理導函數的能力要求比較高,而且常用因式分解和二次求導等基本技巧。

利用以上四種方法解題時,并不是每種方法彼此獨立的,可能只有一種方法可行,也可能所有方法都能適用,解題時要抓住題目特征,進行比較,選擇其中最為簡單的一種方法進行解答即可。